第1頁/共1頁2022北京工大附中高一3月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．在△ABC中，BC＝3，AC＝6，C＝120°，則邊長(zhǎng)AB為（）A． B． C． D．2．一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形，則該圓柱的體積是（）A．64π B．32π C．16π D．8π3．棱長(zhǎng)都是3的三棱錐的表面積為（）A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2acosB＝c，則△ABC的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形5．把△ABC按斜二測(cè)畫法得到△A′B′C′（如圖所示），其中B′O′＝C′O′＝1，，那么△ABC是一個(gè)（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形6．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AC＝4，BC⊥AC，，則?＝（）A．20 B．﹣20 C．12 D．﹣127．如圖，在山根A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000米到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為（）A．500米 B．1000米 C．1200米 D．1500米8．在△ABC中，sinA＞sinC是A＞C的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，P是平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若＝+λ（+），λ∈（0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)說法中正確個(gè)數(shù)是（）①若，則△ABC一定是等邊三角形；②若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形；③若bcosC+ccosB＝b，則△ABC一定是等腰三角形；④若a2+b2﹣c2＞0，則△ABC一定是銳角三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，則實(shí)數(shù)x＝．12．如圖，在圓C中弦AB的長(zhǎng)度為6，則?＝．13．已知向量＝（2，1），|，，那么向量與的夾角為．14．已知正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)球的表面積為12π，則這個(gè)正方體的體積為．15．已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，﹣1），則|2﹣|的最大值是．16．在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，則這些幾何圖形是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．①不是矩形的平行四邊形；②有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；③每個(gè)面都是等邊三角形的四面體（即正四面體）；④每個(gè)面都是直角三角形的四面體．四、解答題（本大題共4個(gè)小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）已知向量|．（1）求向量，的夾角θ；（2）求的值．18．（8分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若向量＝（1，a），＝（﹣a，cosB），且⊥．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝2，a＝2，求角A．19．（10分）在△ABC中，a+b＝11，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和△ABC的面積．條件①：c＝7，cosA＝﹣；條件②：cosA＝，cosB＝．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且有a2+b2﹣c2＝4S△ABC．（1）求角C的大??；（2）若c＝，求a﹣b的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．【分析】直接利用余弦定理求解，即可．【解答】解：由余弦定理知，AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BCcosC＝36+9﹣2×6×3×（﹣）＝63，所以AB＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意，求得圓柱的底面直徑和高，代入公式，即可求得答案．【解答】解：因?yàn)檩S截面的面積為16，所以圓柱的底面直徑和高均為4，所以圓柱的體積V＝π?22×4＝16π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的體積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】先計(jì)算一個(gè)等邊三角形的面積，再計(jì)算4個(gè)等邊三角形的面積和．【解答】解：棱長(zhǎng)都是2的三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形，每個(gè)等邊三角形的面積，所以三棱錐的表面積是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的表面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可求得tanA＝tanB，根據(jù)0＜A，B＜π，可得結(jié)論．【解答】解：c＝2acosB，由正弦定理可得sinC＝sin（A+B）＝2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB＝cosAsinB，可得tanA＝tanB，又0＜A，B＜π，∴A＝B，故△ABC的形狀為等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小得到tanA＝tanB是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，進(jìn)而分析出△ABC的形狀．【解答】解：根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2故△ABC為等邊三角形，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是斜二側(cè)畫法，三角形形狀的判斷，解答的關(guān)鍵是斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形．6．【分析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AC＝4，BC⊥AC，，如圖，可知||＝5，?＝||?||cos（π﹣A）＝﹣||||＝﹣5×4＝﹣20．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．【分析】作出圖形，過點(diǎn)S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依題意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的長(zhǎng)，從而可得山頂高BC．【解答】解：依題意，過S點(diǎn)作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，∵∠SAE＝30°，AS＝1000米，∴CD＝SE＝AS?sin30°＝500米，依題意，在Rt△HAS中，∠HAS＝45°﹣30°＝15°，∴HS＝AS?sin15°，在Rt△BHS中，∠HBS＝30°，∴BS＝2HS＝2000sin15°，在Rt△BSD中，BD＝BS?sin75°＝2000sin15°?sin75°＝2000sin15°?cos15°＝1000×sin30°＝500米．∴BC＝BD+CD＝1000米．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查作圖與計(jì)算的能力，屬于中檔題．8．【分析】結(jié)合正弦定理與三角形“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝，若sinA＞sinC，則a＞c，所以A＞C，即充分性成立；若A＞C，則a＞c，所以sinA＞sinC，即必要性成立，所以sinA＞sinC是A＞C的充分必要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，充分必要條件的判斷，熟練掌握正弦定理，“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】設(shè)D是BC的中點(diǎn)，由，，知，所以點(diǎn)P的軌跡是射線AD，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【解答】解：如圖，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，∵，，∴，∴點(diǎn)P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形五心的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．10．【分析】對(duì)于①，由正弦定理可得tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，可判斷①；對(duì)于②，由正弦定理可得sin2A＝sin2B，可判斷②；對(duì)于③，由正弦定理與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得sinA＝sinB，可得a＝b，可求A＝B，可判斷③；對(duì)于④，由余弦定理可得角C為銳角，角A，B不一定是銳角，可判斷④．【解答】解：對(duì)于①，由，由正弦定理可得，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，△ABC是等邊三角形，①正確；對(duì)于②，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，可得△ABC是等腰或直角三角形，②不正確；對(duì)于③，因?yàn)閎cosC+ccosB＝b，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinB，即sin（B+C）＝sinA＝sinB，可得a＝b，所以A＝B，△ABC為等腰三角形，③正確；對(duì)于④，由正弦定理可得cosC＝＞0，角C為銳角，角A，B不一定是銳角，④不正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．【分析】由向量的平行可得1×4﹣（﹣2）x＝0，解之即可．【解答】解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案為：﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的充要條件，屬基礎(chǔ)題．12．【分析】取線段AB的中點(diǎn)D，得CD⊥AB，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合解直角三角形，求得．【解答】解：取線段AB的中點(diǎn)D，得CD⊥AB，所以?cosA＝||＝．所以．答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為θ，求出||，進(jìn)而由向量垂直的性質(zhì)可得?（﹣2）＝2﹣2?＝5﹣10cosθ＝0，解可得cosθ的值，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為θ，若向量＝（2，1），則||＝＝，若，則?（﹣2）＝2﹣2?＝5﹣10cosθ＝0，解可得cosθ＝，又由0≤θ≤π，則θ＝；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)球內(nèi)接正方體的性質(zhì)得到正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，求出正方體的棱長(zhǎng)即可．【解答】解：正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則體對(duì)角線為a，若球的表面積為12π，則4πR2＝12π，即R2＝3，則R＝，則a＝2R＝2，則a＝2，則正方體的體積V＝a3＝（2）3＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球內(nèi)接正方體的性質(zhì)，根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．【分析】先根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到2﹣的表達(dá)式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再結(jié)合正弦和余弦函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的最值可得到答案．【解答】解：∵2﹣＝（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|＝＝≤4．∴|2﹣|的最大值為4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的線性運(yùn)算和模的運(yùn)算以及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)與向量的綜合題是高考考查的重點(diǎn)，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．16．【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性分別舉例即可判斷．【解答】解：對(duì)①，∵正方體中任意兩點(diǎn)的棱和其余2點(diǎn)的棱如果共面，則形成的必定是矩形，∴①錯(cuò)誤；對(duì)②，如圖四面體FBEG滿足條件，∴②正確；對(duì)③，如圖，四面體DBEG為正四面體滿足條件，∴③正確；對(duì)④，如圖，四面體HABD滿足條件，∴④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．四、解答題（本大題共4個(gè)小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）直接對(duì)模長(zhǎng)平方整理即可求解；（2）直接展開其數(shù)量積即可求解結(jié)論．【解答】解：（1）∵向量．∴（3﹣2）2＝9﹣12?+4＝36；∴9×22﹣12×2×3cosθ+4×32＝36?cosθ＝?（向量夾角）；（2）＝2+3?﹣2＝2×22+3×2×3×﹣2×32＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積以及模長(zhǎng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．18．【分析】（I）由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表可求cosB，進(jìn)而可求B；（II）由已知結(jié)合正弦定理可求sinA，然后結(jié)合三角形的大邊對(duì)大角可求A．【解答】解：（I）由題意得＝﹣a+cosB＝0，故cosB＝，因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B＝；（II）若b＝2，a＝2，B＝，由正弦定理得，所以sinA＝＝＝，因?yàn)閎＜a，所以A＞B，故A＝或A＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理求出（a+b）（a﹣b）＝49+2b，再結(jié)合a+b＝11，即可求出a的值，（Ⅱ）由正弦定理可得sinC，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出，選擇條件②（Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理可得＝＝，再結(jié)合a+b＝11，即可求出a的值，（Ⅱ）由兩角和的正弦公式求出sinC，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【解答】解：選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2＝49﹣14b×（﹣）＝49+2b，∴（a+b）（a﹣b）＝49+2b，∵a+b＝11，∴11a﹣11b＝49+2b，即11a﹣13b＝49，聯(lián)立，解得a＝8，b＝3，故a＝8．（Ⅱ）在△ABC中，sinA＞0，∴sinA＝＝，由正弦定理可得＝，∴sinC＝＝＝，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6．選擇條件②（Ⅰ）在△ABC中，sinA＞0，sinB＞0，C＝π﹣（A+B），∵cosA＝，cosB