第27頁（共27頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之橢圓一．選擇題（共5小題）1．（2025?河北三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)A和左頂點(diǎn)BA．13 B．23 C．12 2．（2025?9月份開學(xué)）與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．拋物線上 D．圓上3．（2025?平度市模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F2為圓心，F(xiàn)1F2為半徑的圓與橢圓CA．2-1 B．2-2 C．3-4．（2025?蘭州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），△AF1B的周長為4A．y23+x2C．x23+y5．（2025?邵陽模擬）經(jīng)過橢圓x22+y2＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為π3的直線l，直線l與橢圓相交于A，A．227 B．427 C．6二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?河南月考）設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，短軸長為23，AA．E的長軸長為4 B．設(shè)點(diǎn)D(14，0)，則|C．△OBC的面積不小于23D．∠F1AB＝∠F2AC（多選）7．（2024秋?南昌校級期末）如圖所示，用一個與圓柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．橢圓的長軸長等于4 B．橢圓的離心率為32C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是x2D．橢圓上的點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為4-2（多選）8．（2025?綿陽校級模擬）以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題：則其中正確的說法是（）A．直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)（﹣1，2）和到直線2x+3y﹣4＝0距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線 B．設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，若|PA|﹣|PB|＝2，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 C．方程2x2﹣5x+2＝0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率 D．若直線mx+ny＝4和圓O：x2+y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P（m，n）的直線與橢圓x29三．填空題（共4小題）9．（2025?道縣校級開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，設(shè)F1是C的左焦點(diǎn)，P(0，10．（2025?河北開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與y軸交于點(diǎn)M11．（2025?上海校級模擬）已知點(diǎn)A（4，0），B（2，2）是橢圓x225+y29=1內(nèi)的兩個點(diǎn)，M是橢圓上的動點(diǎn)，則|MA|+|MB|12．（2025?烏魯木齊模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，過點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交y軸于點(diǎn)M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），|AF1|：|MF1|＝8：7四．解答題（共3小題）13．（2025?涪城區(qū)校級開學(xué)）已知F1，F(xiàn)2是給定橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞（1）用含a，b的表達(dá)式來表達(dá)該橢圓的離心率．（2）請結(jié)合距離公式證明：|PF1|+|PF2|＝2a．（3）求|PF1||14．（2025春?合肥期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝4，過F2的直線l與橢圓C交于P（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)1分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N都在x軸上方）．且∠AF1M＝∠OF1N．證明：直線m過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2025?天津模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)M（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為N，若點(diǎn)N恒在以AB為直徑的圓內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之橢圓參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案BABDD二．多選題（共3小題）題號678答案ACDBCDCD一．選擇題（共5小題）1．（2025?河北三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)A和左頂點(diǎn)BA．13 B．23 C．12 【考點(diǎn)】橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】結(jié)合圖形表示出|AF|，|AB|，借助于三角形的面積公式列方程求出b2＝7，利用離心率公式計(jì)算即可．【解答】解：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)A和左頂點(diǎn)B由x29+y2b2=1可得a＝3，由圖知，|AF又∠BAF＝60°，則△BAF的面積為12解得b2＝7，則c=9-b故選：B．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．2．（2025?9月份開學(xué)）與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．拋物線上 D．圓上【考點(diǎn)】橢圓的定義；根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得|O1P|+|O2P|＝7，再根據(jù)橢圓的定義可得動圓圓心的軌跡．【解答】解：設(shè)動圓的圓心為P，半徑為r，圓O1：x因?yàn)閯訄A與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切，則|O1P|＝r+1，|O2P|＝6﹣r，|O1O2|＝3．又|O1P|+|O2P|＝7＞|O1O2|，所以點(diǎn)P在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，屬于中檔題．3．（2025?平度市模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F2為圓心，F(xiàn)1F2為半徑的圓與橢圓CA．2-1 B．2-2 C．3-【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題意可得|OM|＝|MF1|，結(jié)合橢圓的定義，利用直角三角形，通過勾股定理，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可得|OM|＝|MF1|，|MF2|＝2c，|MF1|＝2a﹣2c，取OF1的中點(diǎn)為D，|MD|=4可得2a﹣2c=2c所以e=ca=故選：B．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．4．（2025?蘭州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），△AF1B的周長為4A．y23+x2C．x23+y【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由題意及三角形的周長，可得a的值，且可知M，N的坐標(biāo)，設(shè)A的坐標(biāo)，可得A的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線AM，AN的斜率之積，由題意可得a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程．【解答】解：由題意可得△AF1B的周長為43，即4a＝43，可得a=由題意可得M（﹣a，0），N（a，0），設(shè)A（x1，y1），可得x12a2+y12b則kAM?kAN=y1x1+a?y1x1-a所以橢圓的方程為：x23故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及直線斜率之積的求法，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?邵陽模擬）經(jīng)過橢圓x22+y2＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為π3的直線l，直線l與橢圓相交于A，A．227 B．427 C．6【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】由題意可知直線方程為y=3（x+1），將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知x1+x2=-127，x1x2=【解答】解：∵橢圓方程：x22+y∴焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），∵直線AB過左焦點(diǎn)F1傾斜角為60°，∴直線AB的方程為y=3（x+1∴由y=3(x+1)x22+設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-127，x1x2由現(xiàn)場公式丨AB丨=1+k2?(故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長公式等知識，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?河南月考）設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，短軸長為23，AA．E的長軸長為4 B．設(shè)點(diǎn)D(14，0)，則|C．△OBC的面積不小于23D．∠F1AB＝∠F2AC【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個數(shù)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓E的方程，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解判斷AB；求出切線方程，結(jié)合三角形面積公式、三角恒等變換求解判斷CD．【解答】解：對于A，半焦距c＝1，短半軸長b=則長半軸長a=b2+c2=2對于B，由A可知橢圓E：設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），則y02=1當(dāng)且僅當(dāng)x0＝1時取等號，故B錯誤；如圖，對于C，設(shè)切線的方程為y＝kx+m，由3x2+4y2-12=0y=kx+m，得（4k2+3）則2x0=-8km4k2切線方程為y=-3x04y0x+m，由點(diǎn)所以點(diǎn)B(0，3又1=x024+對于D，設(shè)F1A的傾斜角為α，F(xiàn)2A的傾斜角為β，BC的傾斜角為γ，由γ＝α+∠F1AC＝α+180°﹣∠F1AB，γ＝β+∠F2AC，得2γ＝α+β+180°+∠F2AC﹣∠F1AB，要證∠F1AB＝∠F2AC，只要證明180°+α+β＝2γ即可，當(dāng)x0≠1時，tan2tanα=y0因此tan(180°+又1=x02即tan（α+β）＝tan2γ，由0°＜α＜β＜γ＜180°，得0°＜α+β＜2γ＜360°，于是180°+α+β＝2γ，∠F1AB＝∠F2AC；當(dāng)x0＝1時，F(xiàn)2A⊥x軸，點(diǎn)A，直線BC方程為y=-12x+2，tan∠F2ACtan∠F1AB=tan(∠AF1C因此∠F1AB＝∠F2AC，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?南昌校級期末）如圖所示，用一個與圓柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．橢圓的長軸長等于4 B．橢圓的離心率為32C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是x2D．橢圓上的點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為4-2【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定圖形，求出橢圓長短半軸長a，b，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答．【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角θ=π3得：2a=4cosθ顯然b＝2，則c=a2-b當(dāng)以橢圓長軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程y2橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a-故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）8．（2025?綿陽校級模擬）以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題：則其中正確的說法是（）A．直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)（﹣1，2）和到直線2x+3y﹣4＝0距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線 B．設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，若|PA|﹣|PB|＝2，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 C．方程2x2﹣5x+2＝0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率 D．若直線mx+ny＝4和圓O：x2+y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P（m，n）的直線與橢圓x29【考點(diǎn)】橢圓的定義；圓錐曲線的綜合；圓錐曲線的軌跡問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】CD【分析】利用拋物線和雙曲線的定義判斷AB，根據(jù)方程的解結(jié)合橢圓和雙曲線的離心率的取值范圍判斷C；利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系判斷D．【解答】解：對于A：點(diǎn)（﹣1，2）在直線2x+3y﹣4＝0上，所以到點(diǎn)（﹣1，2）和到直線2x+3y﹣4＝0距離相等的點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)（﹣1，2），且與直線2x+3y﹣4＝0垂直的直線，不正確；對于B：因?yàn)锳，B為兩個定點(diǎn)，若||PA|﹣|PB||＝2＜|AB|時，才是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，不正確；對于C：方程2x2﹣5x+2＝0，得x1＝2∈（1，+∞）x2對于D：由題可得：圓心（0，0）到直線mx+ny＝4的距離d=則m2+n2＜4，可得m29+n2所以過點(diǎn)P（m，n）的直線與橢圓x2故選：CD．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義以及方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?道縣校級開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，設(shè)F1是C的左焦點(diǎn)，P(0，【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】13+1【分析】作出圖形，計(jì)算出∠OF1P的大小，可得出|QF1|，利用余弦定理求出|QF2|，然后利用雙曲線的定義可得出關(guān)于a、c的等式，即可解得該雙曲線離心率的值．【解答】解：根據(jù)題意可知，F(xiàn)1是C的左焦點(diǎn)，如下圖所示：P2設(shè)c=a2+b2，則|OF1則tan∠OF1P=|∵QO⊥PF1，則|Q根據(jù)余弦定理可得|Q∴，|QF2|=132c，根據(jù)雙曲線的定義可得|QF2|﹣|即132c-故答案為：13+1【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?河北開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與y軸交于點(diǎn)M【考點(diǎn)】橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】3-【分析】利用橢圓的定義以及勾股定理，求解橢圓的離心率即可．【解答】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，若MF2→=F2N→，F(xiàn)1M→?F1N→=0，可得F1M＝MF2＝可得23c+2c＝2a，e=2故答案為：3-【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．11．（2025?上海校級模擬）已知點(diǎn)A（4，0），B（2，2）是橢圓x225+y29=1內(nèi)的兩個點(diǎn)，M是橢圓上的動點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最大值為【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】10+210．【分析】由橢圓的定義可知，|MA|+|MB|＝10+|MB|﹣|MF|．當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時，在第一象限交點(diǎn)時有|MB|﹣|MF|＝﹣|BF|，在第三象限交點(diǎn)時有|MB|﹣|MF|＝|BF|．顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時，|MA|+|MB|有最小值，當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時|MA|+|MB|有最大值，由兩點(diǎn)間的距離公式能夠求出|MA|+|MB|的最值．【解答】解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為F（﹣4，0），B在橢圓內(nèi)，則由橢圓定義|MA|+|MF|＝2a＝10，于是|MA|+|MB|＝10+|MB|﹣|MF|．當(dāng)M不在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時，在第一象限交點(diǎn)時，有|MB|﹣|MF|＝﹣|BF|，在第三象限交點(diǎn)時有|MB|﹣|MF|＝|BF|．顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時，|MA|+|MB|有最小值，其最小值為|MA|+|MB|＝10+|MB|﹣|MF|＝10﹣|BF|＝10-(2+4)2+(2-0)當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時，|MA|+|MB|有最大值，其最大值為MA|+|MB|＝10+|MB|﹣|MF|＝10+|BF|＝10+(2+4)2故答案為：10+210．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義及最值的求法，注意轉(zhuǎn)化思想，以及三點(diǎn)共線求最值的方法，解題時要熟練掌握定義法的運(yùn)用，屬中檔題．12．（2025?烏魯木齊模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，過點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交y軸于點(diǎn)M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），|AF1|：|MF1|＝8：7【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】13【分析】設(shè)直線AB的方程為y=3(x+c)，取x＝0求得M的縱坐標(biāo)，結(jié)合|AF1|：|MF1|＝8：7列式算出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A【解答】解：設(shè)直線AB的方程為y=3(x+c)，取x＝0因?yàn)閨AF1|：|MF1|＝8：7，所以|yA|=87|yM|結(jié)合yA＜0，得yA將yA=-837將A（-15c7，8結(jié)合b2＝a2﹣c2，可得225c化簡整理，可得（a2﹣9c2）（49a2﹣25c2）＝0，因?yàn)閍＞c，可得49a2﹣25c2＞0，所以a2＝9c2，即a＝3c，橢圓的離心率e=故答案為：13【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?涪城區(qū)校級開學(xué)）已知F1，F(xiàn)2是給定橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞（1）用含a，b的表達(dá)式來表達(dá)該橢圓的離心率．（2）請結(jié)合距離公式證明：|PF1|+|PF2|＝2a．（3）求|PF1||【考點(diǎn)】求橢圓的離心率；橢圓的定義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）e=（2）證明：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x0，y0），則x02則|PF1|+|PF2|==x=c=(＝|cax0+a又∵﹣a≤x0≤a且a＞c，∴|PF1|+|PF2|＝|cax0+a|+|cax0-a|（3）2(2a【分析】（1）由離心率公式可直接得答案；（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到點(diǎn)的距離列出|PF1|+|PF2|，結(jié)合橢圓方程化簡代數(shù)式即可得證；（3）設(shè)P（x0，y0），PF1→=λF1M→，PF2【解答】解：（1）離心率e=ca，∴e=c（2）證明：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x0，y0），則x02則|PF1|+|PF2|==x=c=(＝|cax0+a又∵﹣a≤x0≤a且a＞c，∴|PF1|+|PF2|＝|cax0+a|+|cax0-a|（3）設(shè)P（x0，y0），PF1→故（﹣c﹣x0，﹣y0）＝λ（xM+c，yM），故xM所以(-c-故(c+λc同理x0=a故a2（λ﹣1）﹣c2（λ+1）+a2（μ﹣1）﹣c2（μ+1）＝0，故（a2﹣c2）（λ+μ）﹣2（a2+c2）＝0，即λ+而|PF1【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．（2025春?合肥期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝4，過F2的直線l與橢圓C交于P（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)1分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N都在x軸上方）．且∠AF1M＝∠OF1N．證明：直線m過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可得2c，由橢圓的定義可得4a，求得a，c，b，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線m的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式以及∠AF1M＝∠OF1N，即可求k，n的關(guān)系式，即可求出．【解答】解：（1）|F1F2|＝4，即2c＝4，可得c＝2，△PQF1的周長為82，由橢圓的定義可得4a＝82即a＝22，b=a2則橢圓方程為x28（2）設(shè)直線m的方程為：y＝kx+n，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），把直線m代入橢圓方程，整理可得（2k2+1）x2+4kn+2n2﹣8＝0，Δ＝16k2n2﹣4（2k2+1）（2n2﹣8）＞0，即8k2﹣n2+4＞0，∴x1+x2=-4kn1+2k2，x∵kF1M=y∵M(jìn)、N都在x軸上方．且∠AF1M＝∠OF1N，∴kF1M=-∴y1即（kx1+n）（x2+2）＝﹣（kx2+n）（x1+2），整理可得2kx1x2+（2k+n）（x1+x2）+4n＝0，∴2k?2n2-81+2k2+（2k+n即4kn2﹣16k﹣8k2n﹣4kn2+8k2n+4n＝0，整理可得n＝4k，∴直線m方程為y＝kx+4k即y＝k（x+4），∴直線m過定點(diǎn)（﹣4，0）．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15．（2025?天津模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)M（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為N，若點(diǎn)N恒在以AB為直徑的圓內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）運(yùn)用離心率公式和四邊形為菱形，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝0，|AB|＝2，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，由y＝kx+m，x2+2y2＝2，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、由此能求出m的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得e=ca=22，4解得a=2，c＝1，b=a則橢圓方程為x22+y2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x＝0，此時，A，B為橢圓的上下頂點(diǎn)，且|AB|＝2，∵點(diǎn)N總在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，且m＞0，∴0＜m＜1，∴點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，由方程組y＝kx+m，x2+2y2＝2，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∵直線l與橢圓有兩個公共點(diǎn)，∴Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-4km1+2k2，x設(shè)AB的中點(diǎn)G（x0，y0），則x0=x1+x22=-2km1+2∴G（-2km1+2∴|NG|=(|AB|=1+∵點(diǎn)N總位于以線段AB為直徑的圓內(nèi)，∴|NG|＜|AB|2對于∴m4化簡，得2m2k4+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得m2＜k而g（k）=k2+1k2當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時，等號成立，∴m2＜13，由m＞0，解得0＜m∴m的取值范圍是（0，33【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，關(guān)鍵是注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于難題..

考點(diǎn)卡片1．根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣位置關(guān)系：兩圓的位置關(guān)系可以通過圓心距和半徑之和與半徑之差確定：﹣相交：圓心距小于兩半徑之和且大于半徑之差﹣外離：圓心距大于兩半徑之和﹣內(nèi)切：圓心距等于半徑之差﹣外切：圓心距等于兩半徑之和【解題方法點(diǎn)撥】﹣確定位置關(guān)系：1．計(jì)算圓心距．2．比較半徑和圓心距，確定圓與圓的位置關(guān)系．【命題方向】﹣圓與圓的位置關(guān)系：考查如何通過圓心距和半徑的比較確定圓與圓的位置關(guān)系，涉及幾何計(jì)算和代數(shù)比較．2．橢圓的定義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時，動點(diǎn)P沒有運(yùn)動軌跡．【命題方向】利用定義判斷動點(diǎn)運(yùn)動軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動點(diǎn)軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點(diǎn)P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．故選A點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計(jì)算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，再用第二定義求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于4-32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點(diǎn)評：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡單性質(zhì)．3．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a4．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．5．橢圓的離心率【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：