第35頁(yè)（共35頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷常考題之拋物線一．選擇題（共5小題）1．（2025?臨清市校級(jí)開學(xué)）已知直線mx+ny＝1與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則n＝（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024秋?青海月考）已知P（﹣2，y1），Q（x2，8）是拋物線C：x2＝2y上的兩點(diǎn)，C的焦點(diǎn)為F，則|FP|+|FQ|＝（）A．11 B．12 C．13 D．143．（2025?安徽開學(xué)）雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F2為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為PA．3 B．2 C．1+52 D4．（2024秋?深圳期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若|MF|＝3，則∠FMN＝（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．（2024秋?榆林期末）若圓C：x2+（y﹣23）2＝4與雙曲線E：x2a2-y2b2=1（aA．2 B．3 C．22 D．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?泉州月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，點(diǎn)N（﹣1，0），若NM的延長(zhǎng)線與C交于點(diǎn)A．記∠ANF＝α，∠AFN＝β，∠MFN＝γ，則（）A．tanα＝sinβ B．tanα＝cosβ C．tanα＝sinγ D．tanα＝cosγ（多選）7．（2024秋?德州月考）以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．若點(diǎn)A（4，3），B（3，5）到直線l：2x+ay+1＝0的距離相等，則a的值為1或﹣2． B．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-3(x-1)過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于C．若圓（x﹣a）2+y2＝1（a≥0）與圓x2+（y﹣2）2＝25有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[23D．點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線y＝3x+3的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，7）（多選）8．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Γ的方程為：x2y＝x+y﹣y2，試判斷下列說(shuō)法中正確的是（）A．曲線Γ與直線：y=2B．存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn) C．曲線Γ與直線：x+y+3＝0有兩個(gè)交點(diǎn) D．曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)三．填空題（共4小題）9．（2025?河南開學(xué)）已知拋物線E：y2＝4x，直線x＝m與E分別交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線x＝n與E分別交于C，D不同的兩點(diǎn)，且|CD|＝2|AB|，m，n＞0，則nm=10．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）已知拋物線C：x2＝4y焦點(diǎn)為F，過(guò)F向第一象限作射線FA，過(guò)點(diǎn)A作C的切線l，切點(diǎn)為B，且∠FAB＝135°，則點(diǎn)A的軌跡是的一部分（選填：直線，圓，橢圓，拋物線，雙曲線）．11．（2025?三水區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在直線l：y＝x﹣4上方的雙曲線y=2x(x＞0)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，連接OP，OQ，則△12．（2025?石峰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，第一象限與第四象限內(nèi)的點(diǎn)M，N在C上，且MF⊥NF，則△MFN的面積為25時(shí)，|MF|+|NF|＝．四．解答題（共3小題）13．（2025?蘇州開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，記P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)F與曲線E交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q滿足MQ→=9QF→，當(dāng)直線14．（2025秋?瓊山區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在圓C2：(x-4)2+y2=7外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l：（1）求曲線C1的方程；（2）若直線l上一動(dòng)點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T，求四邊形NSC2T面積的最小值；（3）設(shè)N(x0，y0)(y0≠±7)為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，15．（2025?潁上縣校級(jí)開學(xué)）已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y=-14．點(diǎn)A，B，C均在E上，且直線BC由直線AB繞點(diǎn)B（1）設(shè)直線AB，BC的斜率分別為k1，k2，求k1（2）設(shè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，并記m=3(x2+x3（3）已知各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解．證明：對(duì)任意給定的點(diǎn)A，存在點(diǎn)B，C，使得△ABC為正三角形．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之拋物線參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號(hào)12345答案AAABB二．多選題（共3小題）題號(hào)678答案ACACDBD一．選擇題（共5小題）1．（2025?臨清市校級(jí)開學(xué)）已知直線mx+ny＝1與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則n＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由題意，設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線OA與OB的斜率之和為4，列出等式求出y1+y2＝y(tǒng)1y2，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即可．【解答】解：設(shè)A（y124，y1），B（y2因?yàn)橹本€OA與OB的斜率之和為4，所以y1y即1y1所以y1+y2＝y(tǒng)1y2，聯(lián)立y2=4x，mx+ny=1，消去x由韋達(dá)定理得y1+y2=-4nm，y1y所以-4解得n＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?青海月考）已知P（﹣2，y1），Q（x2，8）是拋物線C：x2＝2y上的兩點(diǎn)，C的焦點(diǎn)為F，則|FP|+|FQ|＝（）A．11 B．12 C．13 D．14【考點(diǎn)】由拋物線的焦點(diǎn)或焦準(zhǔn)距求解拋物線方程或參數(shù)；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用點(diǎn)P（﹣2，y1）在拋物線C上求得y1，進(jìn)而利用焦半徑公式可求得|FP|+|FQ|．【解答】解：P（﹣2，y1）是拋物線C：x2＝2y上的點(diǎn)，所以4＝2y1，解得y1＝2．又p＝1，Q（x2，8）是拋物線C：x2＝2y上的點(diǎn)，所以|FP|+|FQ|＝y(tǒng)1+y2+p＝2+8+1＝11．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．3．（2025?安徽開學(xué)）雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F2為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為PA．3 B．2 C．1+52 D【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合；拋物線的定義；雙曲線的定義；求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)得出|PF1|=a【解答】解：因?yàn)殡p曲線C：x2a2-y2b2所以F2(p2，0)，雙曲線的半焦距為c，P（x0，y0過(guò)F1作x軸的垂線l，過(guò)P作l的垂線，垂足為A，顯然直線AF1為拋物線的準(zhǔn)線，則|PA|＝|PF2|，因?yàn)閨P則|P由勾股定理可知|A又y02=4cx0，所以即x0整理得3c2﹣3a2＝8ac，所以（3c+a）（c﹣3a）＝0，所以c＝3a，所以雙曲線C的離心率大小為3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024秋?深圳期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若|MF|＝3，則∠FMN＝（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑；拋物線的定義．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用拋物線的定義求出M的坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形可求答案．【解答】解：設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，設(shè)M（x0，y0），由拋物線的定義可得x0所以x0=9不妨設(shè)y0則sin∠所以∠FMN＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．5．（2024秋?榆林期末）若圓C：x2+（y﹣23）2＝4與雙曲線E：x2a2-y2b2=1（aA．2 B．3 C．22 D．【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；求雙曲線的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】求出漸近線方程，由圓心到漸近線距離等于半徑，得到方程，求出ca【解答】解：雙曲線E：x2圓C：x2+（y﹣23）2＝4的圓心C(0，2由對(duì)稱性，圓心C(0，23)圓C：x2+（y﹣23）2＝4與雙曲線E：x2a2-y2b2=1可得|23|1+所以離心率ca故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，雙曲線的離心率的求法，是中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?泉州月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，點(diǎn)N（﹣1，0），若NM的延長(zhǎng)線與C交于點(diǎn)A．記∠ANF＝α，∠AFN＝β，∠MFN＝γ，則（）A．tanα＝sinβ B．tanα＝cosβ C．tanα＝sinγ D．tanα＝cosγ【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的定義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】依題意得到拋物線C的準(zhǔn)線，根據(jù)準(zhǔn)線的性質(zhì)，正弦定理及三角函數(shù)的定義即可判斷各選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2＝4x，所以拋物線C的準(zhǔn)線為x＝﹣1，過(guò)點(diǎn)A作AA1垂直準(zhǔn)線于A1，此時(shí)|AA1|＝|AF|，在△AFN中，由正弦定理得|AF即sinαsinβ在△AA1N中，∠A1AN＝∠ANF＝α，且|AA1|＝|AF|，所以cosα=所以sinβ=sinαcosα當(dāng)β≠π4時(shí)，cosβ即當(dāng)β≠π4時(shí)，cosβ≠tanα過(guò)點(diǎn)M作MM1垂直準(zhǔn)線于M1，此時(shí)|MM1|＝|MF|，在△MFN中，由正弦定理得|MF即sinαsinγ在△MM1N中，∠M1MN＝∠ANF＝α，且|MM1|＝|MF|，則cosα=所以sinγ=sinαcosα當(dāng)γ≠π4時(shí)，cosγ即當(dāng)γ≠π4時(shí)，cosγ≠tanα故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?德州月考）以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．若點(diǎn)A（4，3），B（3，5）到直線l：2x+ay+1＝0的距離相等，則a的值為1或﹣2． B．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-3(x-1)過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于C．若圓（x﹣a）2+y2＝1（a≥0）與圓x2+（y﹣2）2＝25有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[23D．點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線y＝3x+3的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，7）【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，構(gòu)造方程計(jì)算即可；對(duì)于B選項(xiàng)，先求得拋物線方程為y2＝4x，再結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義計(jì)算即可；對(duì)于C選項(xiàng)，求出圓心距，進(jìn)而由位置關(guān)系構(gòu)造不等式計(jì)算即可；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線y＝3x+3的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x0，y0），運(yùn)用中點(diǎn)及直線垂直性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，點(diǎn)B（3，5）到直線l的距離d2A（4，3）到直線l：2x+ay+1＝0的距離d1由于d1＝d2，即|2×4+3a+1|4+a2=|2×3+5a+1|當(dāng)9+3a＝7+5a時(shí)，解得a＝1；當(dāng)9+3a＝﹣（7+5a）時(shí)，解得a＝﹣2．因此A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于y2＝2px（p＞0），其焦點(diǎn)為(py=-3(x-解得p＝2，則拋物線為y2＝4x．聯(lián)立直線與拋物線y=-3(x-1)y2=4x，將y=-3(x-1)代入設(shè)N（x2，y2），M（x1，y1），根據(jù)韋達(dá)定理可得x1根據(jù)拋物線弦長(zhǎng)公式|MN|=x對(duì)于C選項(xiàng)，兩圓的半徑分別為r1＝1，r2＝5，圓心分別為C1（a，0），C2（0，2），兩圓有公共點(diǎn)，則|r1﹣r2|≤|C1C2|≤r1+r2．|C1C對(duì)于4≤a2+4，解得a≥23或a≤-2對(duì)于a2+4≤6綜合得23≤a對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線y＝3x+3的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x0，y0）．則PQ中點(diǎn)(4+x02，5+y02)在直線y＝由kPQ×3＝﹣1得y0-5又5+y02聯(lián)立①②求解，由①得x0＝﹣3y0+19．將x0＝﹣3y0+19代入②解得y0＝7．將y0＝7代入x0＝﹣3y0+19得x0＝﹣2．因此D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Γ的方程為：x2y＝x+y﹣y2，試判斷下列說(shuō)法中正確的是（）A．曲線Γ與直線：y=2B．存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn) C．曲線Γ與直線：x+y+3＝0有兩個(gè)交點(diǎn) D．曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】對(duì)于A，代入后用判別式判斷即可；對(duì)于B，易知直線x＝﹣1與曲線Γ沒有交點(diǎn)；對(duì)于C，聯(lián)立得x3+2x2﹣6x﹣12＝0，可因式分解求根確定交點(diǎn)；對(duì)于D，代入后可得x2y＝x2，解得x＝0或y＝1，再代入圓中求解即可．【解答】解：對(duì)于A，y=22Δ=1-4×22對(duì)于B，因?yàn)閤＝﹣1時(shí)，y＝﹣1+y﹣y2，即﹣y2﹣1＝0無(wú)解，所以存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立x2解得x=-2y=-1或x即曲線Γ與直線：x+y+3＝0只有3個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將x2+y2＝x+y代入曲線得x2y＝x2，所以x＝0或y＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，即y2＝y(tǒng)，解得x=0y=0當(dāng)y＝1時(shí)，即x2＝x，解得x=0y=1綜上，曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)（0，0），（0，1），（1，1），故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線與方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?河南開學(xué)）已知拋物線E：y2＝4x，直線x＝m與E分別交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線x＝n與E分別交于C，D不同的兩點(diǎn)，且|CD|＝2|AB|，m，n＞0，則nm=4【考點(diǎn)】拋物線的弦及弦長(zhǎng)．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】4．【分析】分別求得|AB|和|CD|，由|CD|＝2|AB|可求得結(jié)果．【解答】解：已知拋物線E：y2＝4x，直線x＝m與E分別交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線x＝n與E分別交于C，D不同的兩點(diǎn)，且|CD|＝2|AB|，當(dāng)x＝m時(shí)，y=±2則|AB當(dāng)x＝n時(shí)，y=±2則|CD又|CD|＝2|AB|，所以4n即nm故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．10．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）已知拋物線C：x2＝4y焦點(diǎn)為F，過(guò)F向第一象限作射線FA，過(guò)點(diǎn)A作C的切線l，切點(diǎn)為B，且∠FAB＝135°，則點(diǎn)A的軌跡是直線的一部分（選填：直線，圓，橢圓，拋物線，雙曲線）．【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；軌跡方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】直線．【分析】設(shè)A（a，b），建立起∠FAB與AF，AB斜率的關(guān)系式，消元得到關(guān)于a，b的方程，即可得點(diǎn)A的軌跡方程，從而得到結(jié)果．【解答】解：不拋物線C：x2＝4y焦點(diǎn)為F，則F（0，1），不妨設(shè)A（a，b），設(shè)直線AF的斜率為k1=b-1a切線AB斜率為k2，傾斜角為β，由正切和差公式可得，tan（180°﹣135°）＝tan（β﹣α）=tanβ?k2﹣k1﹣1﹣k1k2＝0②，設(shè)切線AB方程為y﹣b＝k2（x﹣a），聯(lián)立y-得x2﹣4k2x+4k2a﹣4b＝0，由Δ＝0得b=k2a將①③代入②可得k2化簡(jiǎn)并因式分解有(k22+1)(k2-再代入③，得b＝ab﹣b2，由b＞0，則b＝a﹣1，∴點(diǎn)A的軌跡是直線y＝x﹣1的一部分．故答案為：直線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，軌跡方程的求法，是中檔題．11．（2025?三水區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在直線l：y＝x﹣4上方的雙曲線y=2x(x＞0)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，連接OP，OQ，則△【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】3，【分析】根據(jù)P(x，2x)，Q（【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x﹣4），∴PQ=∴S△∵-12＜0，二次函數(shù)圖象開口向下，有最大值，∴當(dāng)x＝2時(shí)，S△故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線與方程的應(yīng)用，三角形的面積的求法，是中檔題．12．（2025?石峰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，第一象限與第四象限內(nèi)的點(diǎn)M，N在C上，且MF⊥NF，則△MFN的面積為25時(shí)，|MF|+|NF|＝15．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑；拋物線的焦點(diǎn)三角形；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】15．【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與直線MN方程：x＝my+n，聯(lián)立直線方程和拋物線方程消元可得y2﹣4my﹣4n＝0，根據(jù)韋達(dá)定理與完全平方公式可得的性質(zhì)可得y12+y22=16m【解答】解：因?yàn)閽佄锞€C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，所以p＝2，所以F（1，0），設(shè)M(設(shè)直線MN的方程為x＝my+n，聯(lián)立x=my+ny2=4x，可得y2﹣則Δ＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n＜0，n＞0，y12+y22因?yàn)镸F⊥NF，所以FM→＝n2﹣6n+1﹣4m2＝0，所以m2所以△MFN的面積為1=1所以n＝6，m=±12故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?蘇州開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，記P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)F與曲線E交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q滿足MQ→=9QF→，當(dāng)直線【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）N(【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出方程；（2）先通過(guò)向量關(guān)系得到點(diǎn)M與Q的坐標(biāo)聯(lián)系，再結(jié)合拋物線方程，利用基本不等式求直線OQ斜率最大值，最后聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)N坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，∴(x-1)2+y2=|x（2）設(shè)Q（x0，y0），由MQ→=9QF→，即x0-xM=9(1-x0)，∵點(diǎn)M在軌跡E上，∴(10y0)∵要求OQ斜率的最大值，∴y0＞0，∴k=1025y0∴M（9，6），直線l：由l：y=34(x-1)與y∴yMyN＝﹣4，即6yN＝﹣4，∴yN∴N(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．（2025秋?瓊山區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在圓C2：(x-4)2+y2=7外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l：（1）求曲線C1的方程；（2）若直線l上一動(dòng)點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T，求四邊形NSC2T面積的最小值；（3）設(shè)N(x0，y0)(y0≠±7)為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】（1）y2＝16x．（2）76（3）是，定值2304．【分析】（1）由題意，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），利用距離關(guān)系列式化簡(jiǎn)即可求解軌跡方程．（2）四邊形NSC2T的面積=7×NC（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，y0），則切線方程為y﹣y0＝k（x+3），利用相切關(guān)系得關(guān)于k的二次方程，設(shè)過(guò)點(diǎn)N所作的兩條切線NS，NT的斜率分別為k1，k2，根據(jù)韋達(dá)定理得k1+k2=-y03，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，聯(lián)立直線NS與拋物線方程，由韋達(dá)定理得y1?y2=16(【解答】解：（1）由題意，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題意得|x+3|=(x-4)2+y2因此x+3＞0，所以(x-4)2+y2=x+4，化簡(jiǎn)得y2＝16x（2）由題意得，C2的圓心為（4，0），半徑r=又因?yàn)樗倪呅蜰SC2T的面積=NS因?yàn)楫?dāng)NC2的值最小時(shí)，四邊形NSC2T的面積最小，又NC2的最小值為：3+4＝7，所以四邊形NSC2T面積的最小值S=（3）當(dāng)點(diǎn)N在直線l：x＝﹣3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，y0）．又y0所以過(guò)點(diǎn)N且與圓C2相切得直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與C1有兩個(gè)交點(diǎn)，則切線方程為y﹣y0＝k（x+3），即kx﹣y+y0+3k＝0，所以|4k+y0設(shè)過(guò)點(diǎn)N所作的兩條切線NS，NT的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以k1聯(lián)立k1x-y設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1同理可得y3?聯(lián)立①③⑤三式，得y1所以當(dāng)N在直線l：x＝﹣3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的縱坐標(biāo)之積為定值2304．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于難題．15．（2025?潁上縣校級(jí)開學(xué)）已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y=-14．點(diǎn)A，B，C均在E上，且直線BC由直線AB繞點(diǎn)B（1）設(shè)直線AB，BC的斜率分別為k1，k2，求k1（2）設(shè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，并記m=3(x2+x3（3）已知各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解．證明：對(duì)任意給定的點(diǎn)A，存在點(diǎn)B，C，使得△ABC為正三角形．【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）3；（2）證明：依題意，點(diǎn)A(x1，x12)則直線AB的斜率k1=x22-x1直線BC的斜率k2=x32-x2而m=3要證x3+mx2=(1-m即證x3由k1得(x則x3=x則x=x=x=[1-3=(1-m所以x3+mx2=(1-m（3）證明：設(shè)點(diǎn)A（a，a2），B（x，y），則AB→=（x﹣a，y﹣a2），AB→對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（x﹣a）+（y﹣a2將AB→繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋線60°得AC則△ABC為正三角形，則AC→對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為=1AC→=(于是點(diǎn)C(12由點(diǎn)B，C在拋物線x2＝y(tǒng)上，得y=則12（x2+a2）+32（x﹣a）＝[12（x+a）-32（x2﹣整理得12即2（x2+a2）﹣（x+a）2=-23則（x﹣a）2=(x顯然x≠a，因此x﹣a=3(x即3x3+(3a-由a為實(shí)數(shù)，得方程（*）是各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程，又各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則方程（*）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以對(duì)任意給定的點(diǎn)A，存在點(diǎn)B，C，使得△ABC為正三角形．【分析】（1）根根據(jù)給定條件求出拋物線的方程，利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合兩角差的正切公式求解k1（2）利用點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)求出直線AB，BC的斜率，結(jié)合給定表達(dá)式計(jì)算得證；（3）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，借助旋轉(zhuǎn)及復(fù)數(shù)乘法求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入拋物線方程，消元化簡(jiǎn)為關(guān)于點(diǎn)B橫坐標(biāo)的一元三次方程，利用給定結(jié)論即可得證．【解答】解：（1）拋物線E：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y=-則-p2=-拋物線方程為x2＝y(tǒng)，設(shè)直線AB的傾斜角為α，直線BC的傾斜角為β，而直線BC由直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)0°≤α＜60°時(shí)，β＝α+120°，α﹣β＝﹣120°，則tan（α﹣β）=3當(dāng)60°≤α＜180°，α≠90°，α≠150°時(shí)，α﹣β＝60°，則tan（α﹣β）=3又k1＝tanα，k2＝tanβ，所以k1-k21+k1k（2）證明：依題意，點(diǎn)A(x1，x12)則直線AB的斜率k1=x22-x1直線BC的斜率k2=x32-x2而m=3要證x3+mx2=(1-m即證x3由k1得(x則x3=x則x=x=x=[1-3=(1-m所以x3+mx2=(1-m（3）證明：設(shè)點(diǎn)A（a，a2），B（x，y），則AB→=（x﹣a，y﹣a2），AB→對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（x﹣a）+（y﹣a2將AB→繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋線60°得AC則△ABC為正三角形，則AC→對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為=1AC→=(于是點(diǎn)C(12由點(diǎn)B，C在拋物線x2＝y(tǒng)上，得y=則12（x2+a2）+32（x﹣a）＝[12（x+a）-32（x2﹣整理得12即2（x2+a2）﹣（x+a）2=-23則（x﹣a）2=(x顯然x≠a，因此x﹣a=3(x即3x3+(3a-由a為實(shí)數(shù)，得方程（*）是各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程，又各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)的一元三次方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則方程（*）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以對(duì)任意給定的點(diǎn)A，存在點(diǎn)B，C，使得△ABC為正三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．拋物線的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡．他有許多表示方法，比如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等．它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處．拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線．拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖象．標(biāo)準(zhǔn)方程①y2＝2px，當(dāng)p＞0時(shí)，為右開口的拋物線；當(dāng)p＜0時(shí)，為左開口拋物線；②x2＝2py，當(dāng)p＞0時(shí)，為開口向上的拋物線，當(dāng)p＜0時(shí)，為開口向下的拋物線．性質(zhì)我們以y2＝2px（p＞0）為例：①焦點(diǎn)為（p2，0）；②準(zhǔn)線方程為：x=-p2；③離心率為e＝1．④通徑為2p（過(guò)焦點(diǎn)并垂直于x【解題方法點(diǎn)撥】例1：點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），則|PQ|的最小值為解：∵點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（x，x），∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），∴|PQ|==x=(∴當(dāng)x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案為：112這個(gè)例題其實(shí)是一個(gè)求最值的問(wèn)題，一般的解題思路就是把他轉(zhuǎn)化為求一個(gè)未知數(shù)的最值，需要注意的是一定要明確這個(gè)未知數(shù)的定義域，后面的工作就是求函數(shù)的最值了．例2：已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)（0，3）的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是．解：如圖所示，設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線l：x＝﹣1．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．則|PM|＝|PF|．設(shè)Q（0，3），因此當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值為10．故答案為：10．這是個(gè)經(jīng)典的例題，解題的關(guān)鍵是用到了拋物線的定義：到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，然后再根據(jù)幾何里面的兩點(diǎn)之間線段最短的特征求出p點(diǎn)．這個(gè)題很有參考價(jià)值，我希望看了這個(gè)例題的同學(xué)能把這個(gè)題記下了，并拓展到橢圓和雙曲線上面去．【命題方向】拋物線是初中高中階段重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，高中主要是增加了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線還有定義，這也提示我們這將是它的一個(gè)重點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候要多多理會(huì)它的含義，并能夠靈活運(yùn)用．2．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：3．由拋物線的焦點(diǎn)或焦準(zhǔn)距求解拋物線方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知焦點(diǎn)坐標(biāo)(p2，0)或(0，【解題方法點(diǎn)撥】1．確定p：由焦點(diǎn)坐標(biāo)或焦準(zhǔn)距求出p的值．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：計(jì)算拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定焦點(diǎn)或焦準(zhǔn)距，求拋物線的參數(shù)和方程．﹣利用焦點(diǎn)坐標(biāo)或焦準(zhǔn)距計(jì)算拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．4．直線與拋物線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時(shí)應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組y2（1）若k≠0，則當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個(gè)公共點(diǎn)；特別地，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)x＝m，則當(dāng)m＞0時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＝0時(shí)，直線l與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．【命題方向】掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力．對(duì)相對(duì)固定的題型，比如弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對(duì)拋物線與直線的綜合研究，涉及到定點(diǎn)、定值等相關(guān)結(jié)論，往往是高考考試的熱點(diǎn)．5．拋物線的弦及弦長(zhǎng)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】弦是連接拋物線上的兩點(diǎn)的線段．弦長(zhǎng)可以通過(guò)弦中點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算弦長(zhǎng)：利用弦中點(diǎn)和焦點(diǎn)距離計(jì)算弦長(zhǎng)．2．使用公式：應(yīng)用相關(guān)公式計(jì)算弦的長(zhǎng)度．【命題方向】﹣給定兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算弦的長(zhǎng)度．﹣利用拋物線方程求弦長(zhǎng)．6．拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】焦點(diǎn)弦是通過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線的兩條切線相交的弦．焦半徑是從焦點(diǎn)到弦上任意一點(diǎn)的距離．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算焦點(diǎn)弦：使用焦點(diǎn)和弦的方程計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．2．計(jì)算焦半徑：計(jì)算焦點(diǎn)到弦上點(diǎn)的距離．【命題方向】﹣給定焦點(diǎn)和弦，計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度和焦半徑．﹣分析焦點(diǎn)弦和焦半徑的性質(zhì)．7．拋物線的焦點(diǎn)三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】焦點(diǎn)三角形是由拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)及其切線交點(diǎn)組成的三角形．焦點(diǎn)三角形的面積可以通過(guò)拋物線的參數(shù)p計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．確定三角形頂點(diǎn)：計(jì)算拋物線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)的坐標(biāo)．2．計(jì)算面積：使用焦點(diǎn)三角形的面積公式計(jì)算面積．【命題方向】﹣給定拋物線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)，求焦點(diǎn)三角形的面積．﹣分析焦點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)及計(jì)算方法．8．雙曲線的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)（focus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標(biāo)準(zhǔn)方程①x2a2-y2b2=1②y2a2-x2b2=1性質(zhì)這里的性質(zhì)以x2a2-y2b①焦點(diǎn)為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±a2c；③離心率e=ca＞1；④漸近線：y＝±bax；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝【解題方法點(diǎn)撥】例1：雙曲線x24解：由x24-y216=0可得y＝±2x，即雙曲線x故答案為：y＝±2x．這個(gè)小題主要考察了對(duì)漸近線的理解，如果實(shí)在記不住，可以把那個(gè)等號(hào)后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個(gè)式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設(shè)雙曲線方程為x24-y2＝λ（∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P（4，3），∴424-32＝λ，即λ∴所求雙曲線方程為x24-y2即：y25一般來(lái)說(shuō)，這是解答題的第一問(wèn)，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式來(lái)，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點(diǎn)在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達(dá)式了．【命題方向】這里面的兩個(gè)例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個(gè)解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對(duì)于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來(lái)說(shuō)，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對(duì)于還剩下的部分，盡量多寫．9．求雙曲線的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：利用公式e=2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．﹣根據(jù)離心率計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．10．曲線與方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對(duì)定點(diǎn)B分類討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以12④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個(gè)點(diǎn)，而不可能是一條直線．故選A．這是一個(gè)非常好的題，一個(gè)題把幾個(gè)很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個(gè)題值得每一個(gè)學(xué)生去好好研究一下．這個(gè)題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個(gè)等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點(diǎn)的距離相等這個(gè)特點(diǎn)，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來(lái)判斷，是個(gè)非常有價(jià)值的題．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，但也比較難，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這個(gè)考點(diǎn)的時(shí)候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會(huì)去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．11．直線與圓錐曲線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考的必考點(diǎn)，比方說(shuō)求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率e=（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使PA→解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為x2a2+y2b∴c＝1，∵e=∴a＝2，∴b=所求方程為x2（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為y＝k（x﹣1），由x2得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，從而xA+x設(shè)P（t，0），則PA→當(dāng)3t解得t此時(shí)