第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C微分中值定理與導數(shù)的應用經(jīng)濟數(shù)學——微積分Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值一、函數(shù)的單調性目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)的單調性與極值一、函數(shù)的單調性先從幾何直觀圖形來觀察.若區(qū)間內,曲線是上升的,即函數(shù)是單調增加的,則曲線上每一點的切線斜率都非負,也即,(如圖3.3(a)).若區(qū)間內,曲線是下降的,即函數(shù)是單調減少的,則曲線上每一點的切線斜率都非正,,如圖也即(3.3(b)).圖3.3(a)(b)反過來,能否用導數(shù)的符號來判別函數(shù)的單調性呢?(a)函數(shù)圖形上升時切線斜率都非負(b)函數(shù)圖形下降時切線斜率都非正圖3.3反過來,能否用導數(shù)的符號來判別函數(shù)的單調性呢?一、函數(shù)的單調性OxyABaby=f(x)OxyABaby=f(x)一、函數(shù)的單調性定理3.6（單調性判定定理）在內可導,則在內單調增加；則在內單調減少.證明則函數(shù)在上連續(xù)，在內可導,由拉格朗日中值定理,得,.即函數(shù)在內單調增加.即函數(shù)在內單調減少.在上連續(xù),設函數(shù)（1）如果,恒有,（2）如果,恒有,對任意的設,（1）如果,恒有,于是（2）如果,恒有則,則,于是一、函數(shù)的單調性注意（1）如果定理中的換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間）,結論仍然成立；（2）若有（或）,且等號只是在個別點處成立,結論仍然成立.判斷函數(shù)單調性的步驟:①確定函數(shù)的定義域；②求,找出定義域內或不存在的點

,這些點將定義域分成若干區(qū)間；③列表.在各區(qū)間判別的符號,從而確定函數(shù)的單調性.一、函數(shù)的單調性↗↘↗解又令,得,.列表判斷如下:注:表中符號“↗”表示單調增加;“↘”表示單調減少.【例1】求函數(shù)

的單調區(qū)間.函數(shù)的定義域為,圖3.4一、函數(shù)的單調性所以,(如圖3.4).在

內單調減少

在

和

內單調增加；y22Ox11圖3.6一、函數(shù)的單調性↘↗y=x23yOx解函數(shù)的定義域為,又,當時不存在.列表判斷如下:所以,在內單調減少；(如圖3.6).內單調增加在【例2】求函數(shù)

的單調區(qū)間.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值一、函數(shù)單調性目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形二、函數(shù)的極值定義3.1設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義,對于鄰域內異于的任意一點均有,則稱是函數(shù)極大值,稱是函數(shù)的極大值點；對于鄰域內異于的任意一點均有,則稱函數(shù)極小值,稱是函數(shù)的極小值點.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱極值；函數(shù)的極大值點和極小值點統(tǒng)稱極值點.圖3.7Oxy二、函數(shù)的極值bax1x2x3x4x5函數(shù)在點,有極大值,,在點,有極小值,；即該切線的斜率為零,但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.例圖3.7中處曲線上有水平切線,但不是極值.顯然,函數(shù)的極值是一個局部性的概念,它只是在與極值點附近局部范圍的所有點的函數(shù)值相比較而言.為了研究函數(shù)極值的求法,先觀察(如圖3.7)所示函數(shù)的圖形.,如果曲線的切線存在,那么該切線平行于軸,在函數(shù)取得極值處二、函數(shù)的極值定理3.7(費馬引理)設函數(shù)在點處可導,且在點處取得極值，則則函數(shù)在點處的導數(shù)為零,即.證明不妨設為極大值(極小值情形可類似證明),由極大值的定義,在點的某個去心鄰域內,對于任何點,總有成立,于是當時,；當時,,由函數(shù)極限的保號性推論,可知二、函數(shù)的極值又由假設在處可導,所以即有.,；,二、函數(shù)的極值使導數(shù)為零即的點稱為函數(shù)的駐點.定理3.7說明,可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點；值點.例如,是函數(shù)的駐點,可它并不是極值點.另外,對于導數(shù)不存在的點,函數(shù)也可能取得極值.例如,函數(shù),它在點處導數(shù)不存在,但在該點卻取得極小值.所以,函數(shù)的可能的極值點在,或不存在的點中.下面給出函數(shù)極值的判別法.但駐點不一定是極二、函數(shù)的極值定理3.8(判別極值的第一充分條件)設函數(shù)在點的某一鄰域內連續(xù),在去心鄰域內可導,(1)若當時,；則是函數(shù)的極大值點；(2)若當時,；則是函數(shù)的極小值點；(3)若當時,保號,則不是函數(shù)的極值點.時,,當時,,當二、函數(shù)的極值證明根據(jù)函數(shù)單調性判別法,由(1)中假設可知,函數(shù)在點的左鄰域單調增加,函數(shù)在點的右鄰域單調減少,且在點處連續(xù),所以在點的某一鄰域內恒有,即是極大值,是函數(shù)的極大值點.同理可證(2).(3)因為在,保號,因此在左右兩邊均單調增加或單調減少,所以不可能是函數(shù)的極值點.二、函數(shù)的極值判別函數(shù)極值的一般步驟如下:①確定函數(shù)的定義域；②求,找出定義域內使或不存在的點,這些點將定義域分成若干區(qū)間；③列表由在上述點兩側的符號,確定是否是極值點,是極大值點還是極小值點；④求出極值.函數(shù)在處取得極小值.二、函數(shù)的極值↗↗↘解又令,列表判斷如下:所以,【例3】求函數(shù)的極值.函數(shù)的定義域為,得駐點二、函數(shù)的極值↗↘↗所以,函數(shù)在,內單調增加,在內單調減少；處取得極大值,在點處取得極小值.【例4】求函數(shù)的單調區(qū)間和極值.解函數(shù)的定義域是,又,令,得駐點,不存在的點.列表判斷如下:在點二、函數(shù)的極值當函數(shù)在駐點處有不等于零的二階導數(shù)時,我們往往利用二階導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的駐點是否為極值點,

定理3.9(判別極值的第二充分條件)設函數(shù)在點處有二階導數(shù),且,.(1)若,則函數(shù)在點處取得極大值；(2)若,則函數(shù)在點處取得極小值..即有下面判定定理二、函數(shù)的極值證明(1)由二階導數(shù)的定義,及,,得由函數(shù)極限的保號性,可知,所以當時,；由定理3.8可知,函數(shù)在處取得極大值.同理可證(2).,時,,當二、函數(shù)的極值判別可導函數(shù)極值的一般步驟如下:①確定函數(shù)的定義域；②求定義域內的駐點,即定義域內的點；③由在定義域內的駐點處的符號,④求出極值.確定是極大值點還是極小值點；二、函數(shù)的極值注意當時,定理3.9失效,此時需用定理3.8或極值定義判別.對于二階導數(shù)等于0的駐點是否為極值點，需使用極值第一充分條件進行判定.例如函數(shù)這3個函數(shù)在點處都有,但點分別為非極值點、極小值點和極大值點.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE