2025年大學(xué)《信息與計(jì)算科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程實(shí)驗(yàn)驗(yàn)收考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算中舍入誤差的來(lái)源及其對(duì)計(jì)算結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。請(qǐng)舉例說(shuō)明至少兩種因舍入誤差可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂或精度嚴(yán)重下降的情況。二、設(shè)求解方程f(x)=0的迭代公式為x<0xE2><0x82><0x99>=g(x<0xE2><0x82><0x98>)，其中g(shù)(x)=x+(f(x)/f'(x))。證明若g'(x)<1，則該迭代法收斂。請(qǐng)說(shuō)明該條件在實(shí)際應(yīng)用中如何保證。三、編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)（偽代碼或C/C++/Python/Java代碼均可），實(shí)現(xiàn)如下功能：輸入一個(gè)包含n個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)組a[1..n]和一個(gè)實(shí)數(shù)x，返回?cái)?shù)組a中大于x的元素的平均值。如果數(shù)組中不存在大于x的元素，則返回0。請(qǐng)確保你的函數(shù)能夠處理數(shù)組為空或所有元素都不大于x的情況。四、考慮用二分法求解區(qū)間[a,b]上的方程f(x)=0的根，其中f(x)是連續(xù)函數(shù)。請(qǐng)簡(jiǎn)述二分法的基本思想。若二分法的初始區(qū)間長(zhǎng)度為L(zhǎng)<0xE1><0xB5><0x98>，請(qǐng)給出經(jīng)過(guò)k次迭代后，新區(qū)間長(zhǎng)度和近似誤差的表示式。并分析該方法的收斂速度。五、在數(shù)值計(jì)算中，求解線性方程組Ax=b可能遇到病態(tài)矩陣問(wèn)題。簡(jiǎn)述什么是病態(tài)矩陣，并說(shuō)明病態(tài)矩陣會(huì)給求解過(guò)程帶來(lái)哪些困難？為了提高病態(tài)方程組的求解精度，可以采取哪些措施（至少列舉兩種）？六、編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)（偽代碼或C/C++/Python/Java代碼均可），實(shí)現(xiàn)矩陣的LU分解（無(wú)需處理行交換）。輸入為一個(gè)n階方陣A，輸出為下三角矩陣L和上三角矩陣U，滿足A=LU。請(qǐng)描述你的實(shí)現(xiàn)思路，并簡(jiǎn)要說(shuō)明在分解過(guò)程中可能遇到的問(wèn)題（例如，主元為零或接近零的情況）。七、已知用某種數(shù)值方法近似計(jì)算定積分∫<0xE2><0x82><0x90><0xE2><0x82><0x81>sin(x)dx，得到了近似值0.9868。若該方法的截?cái)嗾`差階為O(h<0xE2><0x82><0x82>)，請(qǐng)估計(jì)當(dāng)步長(zhǎng)h減半時(shí)，新的近似值的相對(duì)誤差約為多少？（假設(shè)舍入誤差可以忽略不計(jì)）八、試比較求解線性方程組Ax=b的直接法（如高斯消元法）和迭代法（如Jacobi法或Gauss-Seidel法）的優(yōu)缺點(diǎn)。在哪些情況下，迭代法可能比直接法更受歡迎？請(qǐng)結(jié)合具體因素說(shuō)明。試卷答案一、浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算中舍入誤差主要來(lái)源于將實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換為有限位數(shù)的浮點(diǎn)表示時(shí)，小數(shù)部分被四舍五入或截?cái)嗨氲恼`差。舍入誤差可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果逐漸偏離真實(shí)值，尤其在迭代計(jì)算中。例如，在求解方程x2=a的牛頓迭代法中，若初始值x?選取得不當(dāng)（如a非常小），迭代過(guò)程中分子分母同時(shí)包含大的舍入誤差，可能導(dǎo)致迭代值在兩值之間震蕩，無(wú)法收斂。又如，在計(jì)算某個(gè)累加和時(shí)，舍入誤差的累積可能導(dǎo)致最終結(jié)果與理論值有較大偏差，甚至改變符號(hào)。二、證明：設(shè)x*是方程f(x)=0的根，即f(x*)=0。根據(jù)迭代公式x<0xE2><0x82><0x99>=g(x<0xE2><0x82><0x98>)，有x<0xE2><0x82><0x99>-x*=g(x<0xE2><0x82><0x98>)-g(x*)。由微分中值定理，存在ξ介于x<0xE2><0x82><0x98>和x*之間，使得g(x<0xE2><0x82><0x98>)-g(x*)=g'(ξ)*(x<0xE2><0x82><0x98>-x*)。因此，|x<0xE2><0x82><0x99>-x*|=|g'(ξ)|*|x<0xE2><0x82><0x98>-x*|。由于g'(x)<1，所以|g'(ξ)|<1。于是，|x<0xE2><0x82><0x99>-x*|<|x<0xE2><0x82><0x98>-x*|，即迭代過(guò)程收斂到根x*。該條件在實(shí)際應(yīng)用中，需要計(jì)算g'(x)并確保其在根x*附近以及迭代過(guò)程中所有涉及的x值處都滿足|g'(x)|<1。通常需要理論分析或通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。三、```pythondefaverage_above_x(a,x):sum=0.0count=0fornumina:ifnum>x:sum+=numcount+=1ifcount==0:return0else:returnsum/count#示例用法（Python）:#result=average_above_x([1,3,5,7],4)#返回6.0#result=average_above_x([1,2,3],4)#返回0```解析思路：遍歷數(shù)組a中的每一個(gè)元素。對(duì)于每個(gè)元素，判斷其是否大于x。如果是，則將其值累加到sum變量中，并將計(jì)數(shù)器count加一。遍歷結(jié)束后，檢查count的值。如果count為0（即沒(méi)有元素大于x），則返回0。否則，計(jì)算sum除以count的值，即大于x的元素的平均值，并返回該值。這種方法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，空間復(fù)雜度為O(1)。四、二分法的基本思想是：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f(a)f(b)<0的函數(shù)f(x)，不斷將區(qū)間一分為二，并在新的子區(qū)間中尋找包含根的區(qū)間，直到區(qū)間長(zhǎng)度足夠小，認(rèn)為根位于該區(qū)間內(nèi)。具體步驟為：計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)c=(a+b)/2，判斷f(c)是否為0（或足夠接近0）。如果f(c)=0，則c即為根。否則，判斷f(a)f(c)<0還是f(c)f(b)<0。若f(a)f(c)<0，則根位于區(qū)間[a,c]，令b=c；否則，根位于區(qū)間[c,b]，令a=c。重復(fù)此過(guò)程，直到滿足終止條件（如|b-a|<ε或|f(c)|<ε）。經(jīng)過(guò)k次迭代后，新區(qū)間長(zhǎng)度為(L?/2)<0xE2><0x82><0x98>=L?/2<0xE2><0x82><0x82>。近似誤差（以區(qū)間長(zhǎng)度的一半或中點(diǎn)值與根的差的絕對(duì)值表示）約為Δx<0xE2><0x82><0x98>=L?/(2<0xE2><0x82><0x82>)。二分法是線性收斂的，收斂速度較慢，每步迭代將誤差減半。五、病態(tài)矩陣是指對(duì)于輸入的微小擾動(dòng)（如元素微小變化或計(jì)算誤差），其對(duì)應(yīng)的輸出解會(huì)產(chǎn)生巨大的變化的矩陣。具體來(lái)說(shuō)，如果矩陣A的條件數(shù)κ(A)（通常定義為A的最大特征值與最小特征值之比，或A的范數(shù)與其逆矩陣范數(shù)的乘積）非常大，則稱A是病態(tài)的。病態(tài)矩陣會(huì)給求解過(guò)程帶來(lái)困難：1)計(jì)算精度低：即使使用高精度的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，求解得到的近似解可能與真實(shí)解相差很遠(yuǎn)，誤差被嚴(yán)重放大。2)數(shù)值穩(wěn)定性差：求解過(guò)程（如直接法的高斯消元，迭代法）可能對(duì)初始擾動(dòng)或計(jì)算誤差非常敏感，導(dǎo)致結(jié)果不可靠。為了提高病態(tài)方程組的求解精度，可以采?。?)使用更高精度的數(shù)據(jù)類(lèi)型（如雙精度代替單精度）。2)選擇更穩(wěn)定的算法，如帶部分選主元的LU分解或QR分解。3)增強(qiáng)算法的數(shù)值穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。4)利用矩陣的預(yù)處理技術(shù)，將原方程組變換為條件數(shù)較小的等價(jià)方程組后再求解。六、```pythondeflu_decomposition(A):n=len(A)L=[[0.0]*nfor_inrange(n)]U=[[0.0]*nfor_inrange(n)]foriinrange(n):#構(gòu)造U的第i行forjinrange(i,n):sum_upper=0forkinrange(i):sum_upper+=L[i][k]*U[k][j]U[i][j]=A[i][j]-sum_upper#構(gòu)造L的第i列（主對(duì)角線元素設(shè)為1）forjinrange(i,n):ifi==j:L[i][i]=1.0#單位對(duì)角線else:sum_lower=0forkinrange(i):sum_lower+=L[j][k]*U[k][i]L[j][i]=(A[j][i]-sum_lower)/U[i][i]returnL,U```解析思路：LU分解的目標(biāo)是將矩陣A分解為一個(gè)下三角矩陣L（對(duì)角線元素為1）和一個(gè)上三角矩陣U，使得A=LU。分解過(guò)程通常按列進(jìn)行。對(duì)于第i列：首先計(jì)算U的第i行元素，通過(guò)A的第i行減去L的第i行與U的第i列的乘積；然后計(jì)算L的第i列元素（除了第i行i列交叉處），通過(guò)A的第j行減去L的第j行與U的第i行的乘積后，再除以U的第i行第i列元素。需要注意，在計(jì)算L的對(duì)角線元素時(shí)，需要將U的第i行第i列元素（即U的對(duì)角線元素）初始化為1。可能遇到的問(wèn)題是：1)在計(jì)算U的第i行或L的第j列時(shí)，遇到U[i][i]或L[j][j]為零或接近零的情況，這會(huì)導(dǎo)致除零錯(cuò)誤或數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定，需要采用選主元技術(shù)。2)對(duì)于某些矩陣，可能無(wú)法進(jìn)行無(wú)零除法的LU分解。七、根據(jù)題意，截?cái)嗾`差階為O(h<0xE2><0x82><0x82>)，表示當(dāng)步長(zhǎng)h減半時(shí)，截?cái)嗾`差將減小為原來(lái)的1/(2<0xE2><0x82><0x82>)。設(shè)當(dāng)前步長(zhǎng)為h，近似值為I<0xE1><0xB5><0x98>，截?cái)嗾`差為E<0xE1><0xB5><0x98>=O(h<0xE2><0x82><0x82>)。新的步長(zhǎng)為h/2，新的近似值為I<0xE1><0xB5><0x99>，新的截?cái)嗾`差為E<0xE1><0xB5><0x99>=O((h/2)<0xE2><0x82><0x82>)=O(h<0xE2><0x82><0x82>)/2^<0xE2><0x82><0x82>。新的總誤差（近似值與真實(shí)值之差）的絕對(duì)值約為|I<0xE1><0xB5><0x99>-I|≈|I<0xE1><0xB5><0x98>-I|+|E<0xE1><0xB5><0x99>|≈|I<0xE1><0xB5><0x98>-I|+E<0xE1><0xB5><0x98>/2^<0xE2><0x82><0x82>。因此，新的近似值的相對(duì)誤差約為(|I<0xE1><0xB5><0x99>-I|)/|I|≈(|I<0xE1><0xB5><0x98>-I|+E<0xE1><0xB5><0x98>/2^<0xE2><0x82><0x82>)/|I|≈(相對(duì)誤差<0xE1><0xB5><0x98>+O(1/h^<0xE2><0x82><0x82>))/|I|。如果原始相對(duì)誤差也較小，且h足夠小使得O(1/h^<0xE2><0x82><0x82>)相對(duì)于原始相對(duì)誤差可以忽略，則近似新的相對(duì)誤差約為原始相對(duì)誤差的一半。在本題假設(shè)下，忽略原始相對(duì)誤差的影響，可估計(jì)新的相對(duì)誤差約為原誤差的1/2^<0xE2><0x82><0x82>。八、直接法（如高斯消元法）通過(guò)有限步數(shù)的精確計(jì)算（忽略舍入誤差影響）將線性方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為上三角形式求解，其計(jì)算量主要取決于矩陣的階數(shù)n和非零元素的數(shù)量，通常為O(n3)。優(yōu)點(diǎn)是：1)對(duì)于求解次數(shù)較少的大型方程組，一旦系數(shù)矩陣確定，求解過(guò)程是固定的，計(jì)算效率高。2)結(jié)果精確（理論上的）。缺點(diǎn)是：1)計(jì)算量隨n的增長(zhǎng)而迅速增大，對(duì)于非常大的n效率不高。2)對(duì)矩陣的存儲(chǔ)需求大，需要存儲(chǔ)整個(gè)矩陣A。3)對(duì)病態(tài)矩陣非常敏感，舍入誤差可能被放大，導(dǎo)致結(jié)果不可靠。迭代法（如Jacobi法或Gauss-Seidel法）從初始猜測(cè)值出發(fā)，