重難點19數(shù)列的單調性、周期性、最值性質及其應用

【全國通用】

【題型1數(shù)列的單調性及其應用】...........................................................................................................................4

【題型2數(shù)列的周期性及其應用】...........................................................................................................................4

【題型3數(shù)列的最大（?。╉棥?..............................................................................................................................5

【題型4求數(shù)列前n項和Sn的最值】......................................................................................................................5

【題型5定義法求數(shù)列的最值】...............................................................................................................................6

【題型6函數(shù)法求數(shù)列的最值】...............................................................................................................................6

1、數(shù)列的單調性、周期性、最值性質及其應用

數(shù)列的性質及其應用是高考的熱點問題，也是重點問題，主要包括數(shù)列的單調性問題、數(shù)列的周期性

問題以及數(shù)列的最值問題這幾類問題.

從近幾年的高考情況來看，對數(shù)列的性質的考查也是高考的一個重要趨勢，所以在高考復習時要注意

加強對數(shù)列的性質的理解，對數(shù)列的幾類性質問題學會求解.

知識點1數(shù)列的概念與基本知識

1．數(shù)列的定義

一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一個位

置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示

第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.

．數(shù)列的分類

?2?

分類標準名稱含義舉例

有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,n

按項的個數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,0,1,0,1,0,…

從第2項起，每一項都大于它的前一

遞增數(shù)列3,4,5,6,…,n+2

項的數(shù)列

按項的變化趨勢

從第2項起，每一項都小于它的前一

遞減數(shù)列-1,-2,-3,…,-n

項的數(shù)列

常數(shù)列各項相等的數(shù)列0,0,0,0,…

從第2項起，有些項大于它的前一

擺動數(shù)列1,-2,3,-4,…

項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

3．數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)

列的通項公式.

4．數(shù)列的遞推公式

(1)遞推公式的概念

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推

公式.

(2)對數(shù)列遞推公式的理解

①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.如果

用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：

基礎——數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)；

遞推關系——數(shù)列{an}的任意一項an與它的前一項an-1()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可以用等

式來表示.

5．數(shù)列表示方法及其比較

優(yōu)點缺點

一些數(shù)列用通項公式表示比較

通項公式法便于求出數(shù)列中任意指定的一項，

困難

利于對數(shù)列性質進行研究

內容具體、方法簡單，給定項的序確切表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)

列表法

號，易得相應項比較多的有窮數(shù)列時比較困難

能直觀形象地表示出隨著序號的變數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比

圖象法

化，相應項的變化趨勢較困難

可以揭示數(shù)列的一些性質，如前后不容易了解數(shù)列的全貌，計算也

遞推公式法

幾項之間的關系不方便

6．數(shù)列的前n項和

數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作，即.

如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個

數(shù)列的前n項和公式.

=.

知識點2數(shù)列的性質

1．數(shù)列的性質

(1)單調性

如果對所有的，都有，那么稱數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；如果對所有的，都有，

那么稱數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.

(2)周期性

如果對所有的，都有(k為正整數(shù))，那么稱{an}是以k為周期的周期數(shù)列.

(3)有界性

如果對所有的，都有，那么稱{an}為有界數(shù)列，否則稱{an}為無界數(shù)列.

知識點3數(shù)列的性質有關問題的解題策略

1．數(shù)列的單調性的判斷方法

(1)作差比較法：

數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}是

常數(shù)列.

(2)作商比較法：

①當an>0時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}

是常數(shù)列；

②當an<0時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}

是常數(shù)列；

(3)圖象法：

結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對應的函數(shù)，利用導數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調性探求其單調

性，再將函數(shù)的單調性對應到數(shù)列中去，進而得出數(shù)列的單調性，即可得解.

2．數(shù)列周期性問題的解題策略：

解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關

項的值或前n項和.

3．求數(shù)列最大項與最小項的常用方法

(1)函數(shù)法：利用相關的函數(shù)求最值.若借助通項的表達式觀察出單調性，直接確定最大(小)項，否則，利用

作差法.

(2)利用確定最大項，利用確定最小項.

【方法技巧與總結】

1．在數(shù)列{an}中，若an最大，則；若an最小，則.

【題型1數(shù)列的單調性及其應用】

【例1】（2025·天津·二模）已知是一個無窮數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件??B．必要不?充2>分?條1件??

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式1-1】（2025·貴州黔南·三模）數(shù)列滿足，若數(shù)列單調遞增，

??1

?,?>2,*

????=?∈???

則實數(shù)的取值范圍為（）3???+2,?≤2

A．?B．C．D．

2,31,31,22,3

【變式1-2】（2025·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列

2?*

?11?+1??

是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）???≠3?+2?=4?∈??

1

A．?B．

222224

?3,3?3,3∪3,3

C．D．

2224

0,30,3∪3,3

【變式1-3】（2025·湖北·模擬預測）已知的面積為1，取各邊的中點作，然

后再取各邊的中點作△???依此方法一△直?繼?續(xù)?下去.記?1,?1,?1△?的1?面1?積1為

*

，數(shù)列△?1?的1?前1項和為?，2,則?（2,?2）△?2?2?2,?△??????(?∈?)

??A．數(shù)?列??為常數(shù)列??B．數(shù)列為遞增數(shù)列

??

2??2??

C．數(shù)列為遞減數(shù)列D．數(shù)列為遞增數(shù)列

????

{?}{?}

【題型2數(shù)列的周期性及其應用】

【例2】（2025·全國·模擬預測）數(shù)列滿足，，則（）

1

????+1=1????3=4?2025=

A．B．C．D．

1

?3202542024

【變式2-1】（2025·遼寧·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則（）

11

??????+4=?4,?4=2?200=

A．B．C．0D．

111

2?2?4

【變式2-2】（2025·天津南開·二模）若數(shù)列滿足，且則

?+1??+1?

?12?+2???,?≥?,?

??=2,?=1?=??+1?+1??

的前2025項的和為（）???,?<?,

A．1350B．1352C．2025D．2026

【變式2-3】（2025·上海嘉定·二模）設數(shù)列滿足，記其前n項和為，前

?π??π

????=sin3+?1cos4??

n項積為．則下列結論正確的是（）

A．數(shù)??列和數(shù)列均不是周期數(shù)列

B．數(shù)列??是周期數(shù)?列?，數(shù)列不是周期數(shù)列

C．數(shù)列??不是周期數(shù)列，數(shù)列??是周期數(shù)列

D．數(shù)列??和數(shù)列均為周期數(shù)?列?

????

【題型3數(shù)列的最大（小）項】

【例3】（2025·浙江溫州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列中的最小項為（）

111

???1=?5,??+1???=2??

A．B．C．D．

?2?3?4?5

【變式3-1】（2025·上?！と＃┮阎獢?shù)列的通項公式為，，則關于數(shù)列

??1??1

33*

???

的最值敘述正確的是（）??=44?1?∈N?

A．既有最大項也有最小項B．只有最大項沒有最小項

C．沒有最大項只有最小項D．沒有最大項也沒有最小項

【變式3-2】（2025·云南昭通·模擬預測）已知數(shù)列的通項公式為7，若

2??7,?≤5

??7

??=121?

是中唯一的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）7??7??1?,?≥6

?A?．B．?C．D．

【變式3-31】（42,10625·江西·二模）1已5,知16等差數(shù)列與等1比5,數(shù)16列的首項均為14,，1且6，則數(shù)列

（）?????1?2=8?4=1????

A．既有最大項又有最小項B．只有最大項沒有最小項

C．只有最小項沒有最大項D．沒有最大項也沒有最小項

【題型4求數(shù)列前n項和Sn的最值】

【例4】（2025·安徽馬鞍山·一模）已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則取得最小時n

??3

????

的值為（）??=2??17??

A．6B．7C．8D．9

【變式4-1】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知數(shù)列，若該數(shù)列的前項和

為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（1）,1,3,1,3,9,1,3,9,27,1,3,9,27,81,???

??A．26??>160B0．27?C．28D．29

【變式4-2】（24-25高三上·四川成都·階段練習）若數(shù)列滿足，其前項和為，則（）

?128

????=2?????

A．既無最大值，又無最小值B．當且僅當時，取得最小值

C．當??且僅當時，取得最小值D．，?=1??

?

?=8???7

【變式4-3】（2025·北京海淀?·三模）已知數(shù)列?的?通∈項公式?為≥?，前n項和為，前n項積為.

2??7

????

則下列結論正確的個數(shù)為（）??=2??15??

①既有最小值，又有最大值，

②?滿?足的n的值共有6個；

③使取??得??+最1?小?+值2的<0n為7；

④?有?最小值，無最大值；

??A．1B．2C．3D．4

【題型5定義法求數(shù)列的最值】

【例5】（24-25高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列的通項公式為，它的前項中最小項是（）

2025

????=?+?+150

A．B．C．D．

【變式5-?1】50（2024·遼寧大連?4·6一模）數(shù)列中，?45，若數(shù)列?44是等差數(shù)列，則最大

2

項為（）???1=5,?2=9??+???

A．B．或C．D．

45

334411

【變式5-2】（2025·河南駐馬店·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且，若

2

???

，則數(shù)列的最大項為（）???2?=3?+17?

10?

??11?

?=A?．?第5項B．?第6項C．第7項D．第8項

【變式】（高三全國專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則此數(shù)列的最大項為（）

5-32025··?

9?+1

?

????=10

．．．．

ABC9D9

10999

98

9101010

【題型6函數(shù)法求數(shù)列的最值】

【例6】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（）

?

2

????=?+6?

A．B．C．D．

1115

25631

【變式6-1】（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的最大

23

??=??+3?+4??

值是（）

A．3B．2C．D．

113

44

【變式6-2】（2025·遼寧·一模）已知在數(shù)列中，，則的前

??*

項中的最大項為（）???1=?,?∈0,1,??+1=???2??1?∈?,?≥

3A．B．C．D．

12?2??1

【變式6-?3】（24-25高二下?·遼寧遼陽·期末）在數(shù)列?中，，?則的最大值是（）

?

2

????=?+14??

A．B．C．D．

14132

2882315

一、單選題

1．（2025·湖南·模擬預測）在數(shù)列中，，且，則（）

1+??

???1=3??+1=1????2025=

A．3B．-2C．D．

11

?32

2．（2025·吉林通化·一模）數(shù)列{an}的通項公式為，該數(shù)列的前50項中最大項是（）

??2023

?

A．B．C．?=??2024D．

3．（202?51·河南·模擬預測）已?4知4數(shù)列滿足?4，5，且對任意?50，，

?

則（）??1=?1?2=?8?∈?????+1+2??+1=??+?

2025

?A．=B．C．D．

35

?8?122

4．（2025·北京平谷·一模）在等比數(shù)列中，，記，

16

?1223?12?

則數(shù)列（）??+?=?16,?+?=3?=?????=1,2,?

A．無??最大項，有最小項B．有最大項，無最小項

C．有最大項，有最小項D．無最大項，無最小項

5．（2025·湖北·二模）若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2025項的乘積是（）

1+???

???1=2??+1=1????∈N

A．B．

C．2?2D．?11

6．（2025·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，前項積為，若，則使取得最

大值時的值為（）??????????+??=1000??

A．?7B．8C．9D．10

7．（2025·湖南湘潭·一模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，則

??4

?,?≥5?

??=2????=???∈?

“為遞增數(shù)列”是“”的（）??+2???19,?<5

??A．充分不必要條4件≤?<5B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

8．（2025·北京房山·一模）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），

2

則下列四個結論中正確的是（）????+1???=???=1,2,3,?

A．若，則數(shù)列是等比數(shù)列

B．若?=0，則數(shù)列l(wèi)n?是?遞增數(shù)列

?>0??

C．若數(shù)列是常數(shù)列，則

1

???≥?4

D．若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2

二、多選題??

9．（2025·黑龍江大慶·一模）已知數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是

（）??????1=9??=??+1+3

A．B．是遞增數(shù)列

C．當?5??1=時?，12D．當??或4時，取得最大值

??

．（?>遼4寧三模?）<已0知數(shù)列滿足?=3?，則（）

102025··2

???

???1=?(0<?<1),??+1=??+2024,?∈N

A．當時，B．當時，

11

?=3?2025<1?=2?2025>1

C．當時，D．當時，

23

?=3?2025<1?=4?2025>1

11．（2025·江蘇泰州·模擬預測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），

2

則下列四個結論中正確的是（）????+1???=???=1,2,3,???

A．若且，則數(shù)列是等比數(shù)列

B．若?=0，則?1數(shù)≠列1是遞增l數(shù)n?列?

?>0??

C．若數(shù)列是常數(shù)列，則

1

???≥?4

D．若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2

三、填空題??

12．（2025·湖北鄂州·一模）設正整數(shù)數(shù)列滿足，，則.

????+2???+1???=10?≥1?3=5?623=

13．（2025·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列是遞

2????1,?<5?

????=??4?∈N,?>0??

?,?≥5

增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為．

14．（2025·海南·?模擬預測）已知首項為2數(shù)列的前項和為，且．若