重難點(diǎn)03指、對、冪數(shù)比較大小問題（舉一反三專項訓(xùn)練）

【全國通用】

【題型1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】...................................................................................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................................................................................2

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................................................................................3

【題型4作差法、作商法比較大小】.......................................................................................................................3

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】...............................................................................................................................3

【題型6數(shù)形結(jié)合法比較大小】...............................................................................................................................4

【題型7利用基本不等式比較大小】.......................................................................................................................4

【題型8放縮法比較大小】.......................................................................................................................................5

【題型9利用函數(shù)的綜合性質(zhì)比較大小】...............................................................................................................5

1、指、對、冪數(shù)的大小比較問題

指數(shù)與對數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要的知識點(diǎn)，從近幾年的高考情況來看，指、對、冪數(shù)的大小比較是

高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)問題，主要涉及指數(shù)與對數(shù)的互化、指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以

及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)等知識，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大.這類問題的

主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活求解.

知識點(diǎn)指、對、冪數(shù)比較大小的一般方法

1．單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

x

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如ax1和ax2，利用指數(shù)函數(shù)ya的單調(diào)性；

aaa

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如x1和x2，利用冪函數(shù)yx單調(diào)性比較大??；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如logax1和logax2，利用指數(shù)函數(shù)logax單調(diào)性比較大小.

2．中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其它

能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．

3．作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4．估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5．構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6．放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和冪函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

【題型1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】

【例1】（2025·天津·二模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

4.55.4

A．B．?=4.5?C=．5.4?=log4.55.4D．

?<?<??<?<??<?<??<?<?

【變式1-1】（2025·北京·三模）已知則下面結(jié)論正確的是（）

111.5

2

A．?=logB1.．5,?=2,?=2,

C．?<?<?D．?<?<?

【變式1-?2】<（?2<02?5·河北石家莊·三模）已知?，<?<?，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

0.60.8

A．B．?=C2．?=0.5?=loDg．20.9

【變式1-?3】<（?2<02?5·陜西咸陽?<·模?擬<預(yù)?測）若?<，?<?，?<?<，?則（）

0.010.02

A．B．?=C．0.5?=0.4D?．=5log302

?<?<??<?<??<?<??<?<?

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）若，，，則（）

0.202511

?=2024?=log20242025?=sin2025

A．B．C．D．

【變式2-?1】>（?2>02?5·天津·二?模>）?設(shè)>?，?>?，>?，則?，>?，>的?大小關(guān)系為（）

?0.1

A．B．?=3?C．=log35?=log32D．???

【變式2-?2】<（?2<02?5·天津·一?模<）?若<?，?<?，<?，則?（<?）<?

0.31.2

A．B．?=1.2C?．=0.3?=log30.3D．

【變式2-?3】<（?2<02?5·河北秦皇?島<·二?<模?）已知?<?，<?，?<?<，則?的大小關(guān)系為（）

0.9

A．B．?=Clo．g2678?=1.25?D=．log918?,?,?

?>?>??>?>??>?>??>?>?

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）

?0.3?0.6

A．B．?=log0C.50．.6?=0.49?=D0．.6???

【變式?】>（?>?西藏林芝?>模?擬>預(yù)?測）已知?>?>??，>則?（>?）

3-12025··1

11?2

5

A．B．?C．=ln3,?=log5,?=De．

【變式?】<（?<?天津紅橋?<二?模<）?若，?<?<?，，則?<，?，<?的大小關(guān)系為（）

3-22025··11abc

2312?4

?=(3)?=log25?=3

A．B．C．D．

【變式3-?3】>（?2>02?5·江西贛州?>·一?模>）?已知?，>記?>?，?<，?<?，則（）

53

A．B．7>C2．3?=log73?=D．log115?=log237

?>?>??>?>??>?>??>?>?

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知，則（）

A．?=log84B,?．=log0.40.6,?=log32

C．?<?<?D．?<?<?

?<?<??<?<?

【變式4-1】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知1，，，則（）

3?3

3

A．B．C．?=4?=Dl．g4?=log2

【變式4-?2】>（?2>02?5·浙江金華?>·二?模>）?已知?，>?>?，?，>則?>（?）

A．B．?=lCog．32?=log54?=Dlo．g98

【變式4-?3】<（?2<02?4·湖南岳陽?<·二?模<）?設(shè)，?<?<?，，?則<（?<?）

A．B．?=logC23．?=log35?=logD5．8

?>?>??>?>??>?>??>?>?

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】（2025·陜西漢中·二模）若，則（）

A．B．?=log914,C?．=lg15,?=2log114D．

?>?>??>?>??>?>??>?>?

【變式5-1】（2025·山西臨汾·二模）設(shè)，則（）

10.9

?=ln0.9,?=?9,?=e

A．B．C．D．

【變式?】>（?>?遼寧二?模>）?已>知?，?>?，>?，則（）?>?>?

5-22025··1

35

A．B．?=3ln1.5C．?=e?=3D．

?>?>??>?>??>?>??>?>?

【變式】（河南模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系是（）

5-32025··1

191937

A．B．?=eC．,?=18,?=1+ln35D．?,?,?

?<?<??<?<??<?<??<?<?

【題型6數(shù)形結(jié)合法比較大小】

【例6】（2025·湖北荊州·模擬預(yù)測）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（）

A．B．?log2C?．=?ln?=?log3?>0D．?,?,?

【變式6-?1】<（?2<02?5·湖北黃岡?<·模?擬<預(yù)?測）若?<?<??<?，<則?（）

?0.5

A．?=B．log50.5,?=5,?=log5.50.5

C．?>?>?D．?>?>?

【變式6-?2】>（?2>02?4·河南·模擬預(yù)測）已知?>?>?，則的大小關(guān)系是（）

A．B．?=lCn?．,?=log3?,?=?lnD2．?,?,?

【變式6-?3】<（?2<02?4·廣東茂名?<·統(tǒng)?考<一?模）已知?均<為?<大于?0的實數(shù)，且b<c<a，則大小關(guān)

??

系正確的是（）?,?,?2=3=log5??,?,?

A．B．

C．?>?>?D．?>?>?

?>?>??>?>?

【題型7利用基本不等式比較大小】

【例7】（2025·廣東廣州·一模）已知，，，則（）

3??

?=23=55=8

A．B．C．D．

?<?<??<?<??<?<?b<c<a

【變式7-1】（2025·北京海淀·一模）已知四個數(shù)，，，，其中最小的

lg2+lg5

是（）?=2?=lg2?lg5?=lg2?=lg5

A．B．

C．?D．?

【變式7-?2】（2025·云南·一模）已知，?，，則，，的大小關(guān)系為（）

A．B．?=log32C．?=log53?=log85D．???

?<?<??<?<??<?<??<?<?

【變式7-3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若，則有（）

3

1.52

32

A．?=B．0.31,?=log12,?=log6,?=?3

C．?>?>?D．?>?>?

?>?>??>?>?

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2025·甘肅白銀·三模）若，則（）

A．?=log53,?B=．log5018,?=lg6

C．?<?<?D．?<?<?

?<?<??<?<?

【變式】（天津南開二模）已知，則（）．

8-12025··1

3

32

A．B．?=lCog．2,?=log3,?=2D．

【變式8-?2】>（?2>02?5·四川樂山?>·三?模>）?若?>?>?，則?>?的>大?小關(guān)系是（）

?2

A．?=logB32．,?=log43,?=e?,?,?

C．?<?<?D．?<?<?

【變式?】<（?<?全國模擬預(yù)測）已知?<?<?，則（）

8-32025··3

?42

53

A．?=B1．9?17,?=6,?=log3?9log5

C．?<?<?D．b<c<a

?<?<?c<a<b

【題型9利用函數(shù)的綜合性質(zhì)比較大小】

【例9】（2025·陜西商洛·三模）已知是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）

A．??B．???∞,0

130.110.13

?log23>?2>?0.9?log23>?0.9>?2

C．D．

0.1130.131

?0.9>?log23>?2?0.9>?2>?log23

【變式9-1】（2025·湖北·一模）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，.

若，，?，(?則)a，Rb，c的大小關(guān)?系(?為)=（??）(?)

0.8

?A=．?(?log25.1)?=?(2)?=?(3)B．

C．?<?<?D．?<?<?

【變式9-?2】<（?2<02?5·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)?<?<?．若為偶函數(shù)，

2

3

，則（）??=2?+?+log?+???+1?=

537

?2,??=?e,??=?ln2

A．B．C．D．

【變式9-3?】（>2?02>5·?天津紅橋·?二>模?）>已知?是定義在?>上?>的?偶函數(shù)且在?>?上>為?減函數(shù)，若，

1

，，則（）?(?)R[0,+∞)?=?log23

1.11.2

?=A?．0.9?=?0.9B．

?>?>??>?>?

C．D．

?>?>??>?>?

一、單選題

．（天津南開模擬預(yù)測）若，，則實數(shù)、、的大小順序為（）

12025··2

?ln3

?

A．B．2=3=loCg．9?=eD?．??

?>?>??>?>??>?>??>?>?

2．（2025·河南許昌·模擬預(yù)測）已知，，，則（）

log23.4log163.31log20.3

?=3?=9?=(3)

A．B．C．D．

3．（20?2>5·山?東>泰?安·模擬預(yù)?測>）?>??>?>?，則?>的?大>小?關(guān)系為（）

0.70.3

A．?=0.3,?=B．0.7,?=log0.70.3?,?,?

C．?>?>?D．?>?>?

4．（20?2>5·海?>南?·模擬預(yù)測）若?>?>?，則的大小關(guān)系為（）

0.5

A．?=3,?=logB5．4,?=cos2?,?,?

C．?<?<?D．?<?<?

?<?<??<?<?

5．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)，，，

?1

??=??e?=?log35?=??log32?=

，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

?lnA3．B．C．D．

6．（20?2>5·重?>慶?·三模）已知?函>數(shù)?>?是R?上>的?偶>函?數(shù)，對任意?>?>?，且都有

1212

，若，?=?(?+1)，，則的大?小,?關(guān)系∈是1,（+∞）?≠?

ln4

12

?(?)??(?)e2

?1??232

A．b<a><0c?=?B．loga<6b<c?=?(ln)C．?=c<?b(<ea)?,?,?D．b<c<a

7．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知，，，則（）

?1

A．B．?=log74C．?=log117?=?D．

?<?<??<?<??<?<??<?<?

8．（2025·天津·一模）已知1，則（）

315

3

A．B．?=log3,?=loCg．53,?=5D．

二、多選?>題?>??>?>??>?>??>?>?

9．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（）

A．B．

0.20.3

C．log0.30.2>log0.20.3D．0.3>0.2

0.20.3

log30.2<log20.23<2

10．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知，則（）

??

A．?,?∈?B,1．5=3,15=5

?>??+?>1

C．D．

1

??<4?+?<2

．（甘肅慶陽模擬預(yù)測）已知非零實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的有（）

112025··??

e?e

2

A．B．?,?>???

33

3

C．?>?D．log???>0

11