數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)報(bào)告

(2014-2015第二學(xué)期)

姓名:王美玲

學(xué)號(hào):08131()104

任課教師:楊熙

南京航空航天大學(xué)

2015年6月18

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR

迭代法求解線性方程組的數(shù)值效果比較

摘要：Jacobi迭代法，Gauss?Seidel迭代法，SOR迭代法是三種經(jīng)典

的用于求解線性方程組的迭代方法，本文主要對(duì)這三種方法的數(shù)值逼

近效果進(jìn)行比較。

關(guān)鍵詞：Jacobi迭代法；Gauss?Seide】迭代法；SOR迭代法；線性方

程組

線性方程組的求解方法可歸納為直接法和迭代法。迭代法中有三

種最為經(jīng)典的迭代方法，就是Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和

SOR迭代法。然而三種方法的收斂性，近似解的逼近效果有不同。

本文將對(duì)三種方法求解線性方程組的迭代效果做相應(yīng)探討。

設(shè)有線性方程組Ax=b,A為非奇異矩陣，求x的近似解，三種

迭代方法如下。

1.Jacobi迭代法

算法：

（1）選取初始點(diǎn)x⑼，精度要求ep,最大迭代次數(shù)N,初始

化迭代次數(shù)k=0。

（2）由Jacobi迭代法計(jì)算公式計(jì)算點(diǎn)o

Jacobi迭代法的計(jì)算公式為：

\（0）=（x?,x?尸，

'X—）_根.n化）“Z

、i-（bi-2.aijxj）/aii；

i=1.i

（3）相對(duì)誤差err小于等于精度要求ep時(shí)，輸出化+D作為方

A

程的近似解。

(4)x(k)=x(k+D,k=k+1,轉(zhuǎn)步驟(2)o

2.Gauss-Seidel迭代法

算法：

(1)選取初始點(diǎn)x(0)，精度要求ep,最大迭代次數(shù)N,初

始化迭代次數(shù)k=0o

(k+1)

(2)由Gauss-Seidel迭代法計(jì)算公式計(jì)算點(diǎn)x。

Gauss-Seidel迭代法計(jì)算公式為：

4。)=依?,？)T(初始向量)，

x,“)=5〉a/皆)>aqx?)由

j=1)=d*l

(1.3)

(3)相對(duì)誤差err小于等于精度要求ep時(shí)，輸出、*+1)作為方

X

程的近似解。

(4)x?=x(k+D，k=k+1,轉(zhuǎn)步驟(2)o

3.SOR迭代法

算法：

(1)選取初始點(diǎn)x(0)，精度要求ep,最大迭代次數(shù)N,初

始化迭代次數(shù)k=0。

(2)由SOR迭代法計(jì)算公式計(jì)算點(diǎn)x*+Do

迭代法均收斂。Jacobi迭代次數(shù)為3。Gauss-Seidel迭代次數(shù)為3。

SOR迭代法：當(dāng)w取0到1時(shí)，收斂，迭代次數(shù)遞減，w=l時(shí)

迭代次數(shù)為3；w取1到2時(shí)，迭代次數(shù)遞增；w大于等于2時(shí)迭代

次數(shù)超過(guò)最大迭代次數(shù)500,不收斂。

多次計(jì)算可得出計(jì)算速度Jacobi>Gauss-Seidel>SOR。

⑵A=b=

12-21

1113

2215

Jacobi迭代法，迭代矩陣譜半徑為0,小于1,收斂，迭代次數(shù)3。

Gauss-Seidel迭代法，迭代矩陣半徑為2,大于等于1,不收斂。

(3)A=b=

2-111

1113

11-25

Jacobi迭代法，迭代矩陣譜半徑乃/2,大于等于1,不收斂。

Gauss-Seidel迭代法，迭代矩陣半徑為1/2,小于1,收斂,迭代

次數(shù)為23。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪仲文.解線性方程組的迭代方法之比較.喀什:喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),

第29卷第6期,2008年11月

⑵徐樹(shù)方.數(shù)值線性代數(shù).北京:北京大學(xué)出版社」995.

⑶馬昌鳳.現(xiàn)代數(shù)值分析.北京:國(guó)防工業(yè)出版社.2013.

[4]劉春鳳，米翠蘭.實(shí)用數(shù)值分析教程.北京冶金工業(yè)出版社.2006

附錄：

源代碼

1.Jacobi迭代法

function[x,k]=myjacobi(A,b,x,ep,N)

%雅可比迭代法解線性方程組Ax二b

%A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認(rèn)為零向量)，ep

為精度

%?4為最大迭代次數(shù)(默認(rèn)最大值為500),x為近似解，k為迭代次數(shù)

clearkx;

ifnargin<5

N=500;

End

ifnargin<4

ep=le-6;

end

ifnargin<3

x=zeros(size(b));

end

D=diag(diag(A));

fork=l:N

x=D\((D?A)*x+b);

err=norm(b-A*x)/norm(b);

iferr<cp

break

end

end

end

2.Gauss-Seidel迭代法

function[x,k]=myseidel(A,b,x,ep,N)

%高斯-賽德?tīng)柕ń饩€性方程組Ax=b

%A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認(rèn)為零向量)，ep

為精度

%?4為最大迭代次數(shù)(默認(rèn)最大值為500),x為近似解，k為迭代次數(shù)

clearkx;

ifnargin<5

N=500;

end

ifnargin<4

ep=le-6;

end

ifnargin<3

x=zeros(size(b));

end

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

fork=l:N

x=(D-L)\(U*x+b);

err=norm(b-A*x)/norm(b);

iferr<ep

break;

end

end

3.SOR迭代法

function[x,k]=mysordd(A,b,w,x,ep,N)

%超松弛迭代法(SOR)解線性方程組Ax二b

%w為松弛因子

%A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認(rèn)為零向量)，ep

為精度

%?4為最大迭代次數(shù)(默認(rèn)最大值為500),x為近似解，k為迭代次數(shù)

clearkx;

ifnargin<6

N=50();

end

ifnargin<5

ep=le-6;

end

ifnargin<4

x=zeros(s