專題16.3二次根式（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022上·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若α≤0，1<β<4（β為整數(shù)），則下列式子中一定為最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．α+β B．β-2 C．α02．（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┰O(shè)221+7÷7的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分是nA．23+1 B．23?1 C．3．（2023上·山西晉中·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知a，b均為有理數(shù)，若3?12=a+b3，則A．3 B．2 C．5 D．64．（2022下·北京海淀·八年級(jí)101中學(xué)?？计谥校┮阎猰、n是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)(m<n)，且q＝mn，設(shè)p=q+n+q?mA．總是偶數(shù) B．總是奇數(shù)C．總是無理數(shù) D．有時(shí)是有理數(shù)，有時(shí)是無理數(shù)5．（2024上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足2m+2mn+n=2，則A．13 B．23 C．336．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知正整數(shù)a、m、n滿足a2?45=mA．有一組 B．有二組 C．多于二組 D．不存在7．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）若a、b、m滿足如下關(guān)系式：3a+5b?m?3+a+b?2013=32013?a?b?2A．1 B．2 C．±1 D．±28．（2023上·廣東·九年級(jí)華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知x=12021?2020，則A．0 B．1 C．2020 D．20219．（2023下·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谀┤鬭和b都是正整數(shù)且a<b，a和b是可以合并的二次根式，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①只存在一組a和b使得a+②只存在兩組a和b使得a+③不存在a和b使得a+④若只存在三組a和b使得a+b=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2024上·重慶北碚·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)二次根式：x+1,第一次操作：將x+1與x的和記為M1，差記為N第二次操作：將M1與N1的和記為M2第三次操作：將M2與N2的和記為M3下列說法：①當(dāng)x=1時(shí)，N2+N③M2n+1?N其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3評(píng)卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022上·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考階段練習(xí)）設(shè)x=t+1?tt+1+t，y=t+112．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)a是3+5?3?5的小數(shù)部分，b為6+3313．（2023下·四川攀枝花·七年級(jí)攀枝花市第十五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)x、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式：x3(y?x)3?x14．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b，c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=2a?1+4b?1+615．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若y=1?x+x?12的最大值為a，最小值為b評(píng)卷人得分三、解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（4分）（2023下·天津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算（1）5（2）12?17．（4分）（2023下·黑龍江綏化·八年級(jí)校考期中）計(jì)算（1）(a（2）(a+b?18．（4分）（2024上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中?？计谀┮阎獂，y，z為△ABC的三邊長(zhǎng)，且有x+y+19．（6分）（2022上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┮阎鰽BC三條邊的長(zhǎng)度分別是x+1，(5?x)2，4?(4?x)2（1）當(dāng)x=2時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)C△ABC（2）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)C△ABC（結(jié)果要求化簡(jiǎn)），并求出x的取值范圍．如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積為S，則S=若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時(shí)，請(qǐng)用秦九韶公式求出△ABC20．（6分）（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）任意一個(gè)無理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：m<T<n，（其中m、n為連續(xù)的整數(shù)），則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n，如1<2<2，所以2的“美好區(qū)間”為（1）無理數(shù)?13（2）若一個(gè)無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n，且滿足10<m+n<20，其中x=my=n是關(guān)于x，y的二元一次方程mx?ny=C的一組（3）實(shí)數(shù)x，y，m滿足如下關(guān)系式：(2x+3y+m)2+(3x+2y?3m)21．（6分）（2023下·湖北黃岡·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：把根式x±2y進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答問題：（1）填空：5+26（2）化簡(jiǎn)：7?43（3）122．（8分）（2024上·湖南郴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有a?b2=a?2ab（1）當(dāng)x>0時(shí)，x+1x的最小值為______；當(dāng)x<0時(shí)，（2）當(dāng)x<0時(shí)，求x2（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為8和18，設(shè)△BOC的面積為x，求四邊形ABCD的最小面積．

23．（8分）（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)校考階段練習(xí)）若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足xyz≠0，且x+y+z=0，則有：1x例如：1根據(jù)以上閱讀，請(qǐng)解決下列問題：【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）求11【能力提升】（2）設(shè)S=1+11【拓展升華】（3）已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．當(dāng)1x2+24．（9分）（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)東北師大附中校聯(lián)考期中）定義：我們將a+b與a?例如：已知18?x?11?x=1因?yàn)?8?x?11?x×（1）已知：20?x+①20?x?4?x②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：20?x+（2）代數(shù)式10?x+x?2中x的取值范圍是（3）計(jì)算：131專題16.3二次根式（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022上·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若α≤0，1<β<4（β為整數(shù)），則下列式子中一定為最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．α+β B．β-2 C．α0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解題過程】解：A、α≤0，1<β<4(β為整數(shù))，則α+β不一定是最簡(jiǎn)二次根式，例如α取?12，β取2，則B、1<β<4(β為整數(shù))，則β等于2或3，β?2為14或C、α≤0，當(dāng)α=0時(shí)，α0無意義；α<0時(shí)，αD、1<β<4(β為整數(shù))，則β等于2或3，β為2或3，均是最簡(jiǎn)二次根式，D正確．故選：D．2．（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┰O(shè)221+7÷7的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分是nA．23+1 B．23?1 C．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算得出結(jié)果23+1，然后估算【解題過程】解：221∵1<即1<3∴2<23又∵2∴4<23∴23+1的整數(shù)部分是m=4，小數(shù)部分是n=故選：D．3．（2023上·山西晉中·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知a，b均為有理數(shù)，若3?12=a+b3，則A．3 B．2 C．5 D．6【思路點(diǎn)撥】由3?12=a+b3，可得3?23+1=4?23=a+b3，由a，b【解題過程】解：∵3?1∴3?23∵a，b均為有理數(shù)，∴a=4，b=?2，∴a?b的算術(shù)平方根為6，故選：D．4．（2022下·北京海淀·八年級(jí)101中學(xué)?？计谥校┮阎猰、n是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)(m<n)，且q＝mn，設(shè)p=q+n+q?mA．總是偶數(shù) B．總是奇數(shù)C．總是無理數(shù) D．有時(shí)是有理數(shù)，有時(shí)是無理數(shù)【思路點(diǎn)撥】由題意可知，n=m+1，q=mn，代入p=q+n【解題過程】解：由題意可知，n=m+1，q=mn，而p=q+n則p=mn+n由于m是自然數(shù)，所以2m+1是奇數(shù)，故選B5．（2024上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足2m+2mn+n=2，則A．13 B．23 C．33【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)，完全平方公式，平方的非負(fù)性．根據(jù)二次根式的性質(zhì)將2m+2mn+n=2變形為2m2+2mn+n【解題過程】解：∵m，n均為正實(shí)數(shù)，∴2m+2mn+n=2可化為∴2m2即2m?∵2m?∴2?32mn∴mn≤∴mn的最大值為23故選：B6．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知正整數(shù)a、m、n滿足a2?45=mA．有一組 B．有二組 C．多于二組 D．不存在【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．根據(jù)a2?45=m?n，得出a2?45=m+n?2【解題過程】解：∵a2∴a2∴a2=m+n，mn=20，又∵20=20×1=10×2=5×4，當(dāng)m=20,n=1時(shí)，a2當(dāng)m=10,n=2時(shí)，a2當(dāng)m=5,n=4時(shí)，a2∴滿足條件的取值只有1組．故選：A．7．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）若a、b、m滿足如下關(guān)系式：3a+5b?m?3+a+b?2013=32013?a?b?2A．1 B．2 C．±1 D．±2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件，求一個(gè)數(shù)的平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件，求出a+b=2013，得出3a+5b?m?3+22a+3b?m=0，根據(jù)算術(shù)平方公的非負(fù)性得出5a+5b?m?3=02a+3b?m=0，整理得出a+b=m?3，從而得出【解題過程】解：根據(jù)題意得：a+b?2013≥0,2013∴a+b=2013，①∴3a+5b?m?3+2∴5a+5b?m?3=02a+3b?m=0∴22a+3b?m∴a+b=m?3，②由①②得m?3=2013，解得：m=2016，∴m?2012=4，∴m?2012平方根即為4的平方根，為±2．故選：D．8．（2023上·廣東·九年級(jí)華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知x=12021?2020，則A．0 B．1 C．2020 D．2021【思路點(diǎn)撥】由x的值進(jìn)行化簡(jiǎn)到x=2021+2020，再求得x?2020=2021，把式子兩邊平方，整理得到x2?22020x=1【解題過程】解∵x==2021+=2021∴x?∴(x?整理得x∴x∵x?∴(x?整理得x∴x∴x∴x=x=x=x?=2021+2020=2020故選：C9．（2023下·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谀┤鬭和b都是正整數(shù)且a<b，a和b是可以合并的二次根式，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①只存在一組a和b使得a+②只存在兩組a和b使得a+③不存在a和b使得a+④若只存在三組a和b使得a+b=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】直接利用同類二次根式的定義得出a和b是同類二次根式，進(jìn)而得出答案．【解題過程】解：①a和b都是正整數(shù)且a<b，a和b可以合并的二次根式，∵a∴a當(dāng)a=2時(shí)b=8，故該選項(xiàng)①正確；②a+當(dāng)a=3，則b=48,當(dāng)a=12，則b=27故選項(xiàng)②正確；③a+當(dāng)a=65時(shí)，b=65,a<b，所以不存在，故該選項(xiàng)③正確；④∵a∴1+b當(dāng)ca=49時(shí)，∴b∴b=36a，有無數(shù)a和b滿足等式，故該選項(xiàng)④錯(cuò)誤．故選：C．10．（2024上·重慶北碚·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)二次根式：x+1,第一次操作：將x+1與x的和記為M1，差記為N第二次操作：將M1與N1的和記為M2第三次操作：將M2與N2的和記為M3下列說法：①當(dāng)x=1時(shí)，N2+N③M2n+1?N其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一般規(guī)律，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則．①根據(jù)題意得出N2=2，N4=4，②根據(jù)題意得出一般規(guī)律：M2n=2nx+1，N2n=③根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則，求出M2n+1【解題過程】解：①當(dāng)x=1時(shí)，M1=2M2=2M3=22M4=22…按照此規(guī)律：N2=2，N4=4，∴N2②M1=x+1M2=x+1M3=2x+1M4=2x+1…按照此規(guī)律可得：M2n=2nx+1，N∴M12③根據(jù)以上規(guī)律可知，M2n+1=2∴M===2綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故D正確．故選：D．評(píng)卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2022上·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考階段練習(xí)）設(shè)x=t+1?tt+1+t，y=t+1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)x，y的表達(dá)式，可以觀察出xy=1，x+y=2t+2，再將20x2+62xy+20y2改寫為含有x+y【解題過程】解：∵x=t+1?∴x+y=t+1xy=t+1∵20∴204t+22+22=2022，解得t故答案為：212．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)a是3+5?3?5的小數(shù)部分，b為6+33【思路點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的估算，求代數(shù)式的值及二次根式的運(yùn)算；令t＝3+5?3?5，則可求得t的值，進(jìn)而求得a；同理，令p＝6+33【解題過程】解：令t=3+5則t2∴t=2∴a=2?1，令p=6+33則p2∴p=6∴b=6?2，∴1a故答案為：2213．（2023下·四川攀枝花·七年級(jí)攀枝花市第十五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)x、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式：x3(y?x)3?x【思路點(diǎn)撥】利用二次根式被開方數(shù)非負(fù)性得到x、y、z大小關(guān)系，最后由符號(hào)之間的關(guān)系推導(dǎo)得到x=0及y、z等量關(guān)系，最后直接計(jì)算整式x3【解題過程】解：∵y?x及x?z且x、y、z∴y?x>0且x?z>0，∴y>x>z，∵x3(y?x)∴x與(y?x)、(z?x)均同號(hào)，或x=0，又∵y?x>0，z?x<0，故(y?x)、(z?x)不同號(hào)，∴x=0，∴x∴y=?z，∴故答案為0．14．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b，c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=2a?1+4b?1+6【思路點(diǎn)撥】結(jié)合態(tài)，根據(jù)完全平方公式的性質(zhì)，將代數(shù)式變形，即可計(jì)算得a，b，c的值，從而得到答案．【解題過程】解：∵a+b+c=2∴a?2∴(∴(∴a?1∴a?1=1∴a=2∴2b+c=2×5+11=21．15．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若y=1?x+x?12的最大值為a，最小值為b【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負(fù)性，根據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負(fù)性即可求出x的取值范圍和y的取值范圍，然后將等式兩邊平方得到y(tǒng)2=12+2?x?【解題過程】解：∵y=∴y≥0，1?x≥0解得：12將等式兩邊平方，得y2∴y2∴y∴y2∴y2∵x?3∴?x?∴?x?∴y2∴a2當(dāng)x=12時(shí)，又∵?x?∴y2∴b∴a故答案為：32評(píng)卷人得分三、解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（2023下·天津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算（1）5（2）12?【思路點(diǎn)撥】（1）先計(jì)算完全平方和二次根式的乘法，再合并同類二次根式即可；（2）先化簡(jiǎn)每一個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可；本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)和二次根式乘法法則是解題的關(guān)鍵．注意：最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式．【解題過程】解：（1）5=(5?4=9?4=17（2）12=2=17．（2023下·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算（1）(a（2）(a+b?【思路點(diǎn)撥】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，然后利用乘法的分配率分別相乘，根據(jù)二次根式、分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先對(duì)括號(hào)內(nèi)分別通分計(jì)算加減法，將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，根據(jù)二次根式、分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解題過程】（1）解：(=＝1＝1b2－1=a（2）解：(===＝a+ba+=?18．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中校考期末）已知x，y，z為△ABC的三邊長(zhǎng)，且有x+y+【思路點(diǎn)撥】該題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，平方根的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是對(duì)所給條件進(jìn)行化簡(jiǎn)；根據(jù)x+y+【解題過程】解：∵x+∴x+y+z+2∴x+y+z?∴2x+2y+2z?2∴∴∴x=y=z,∴△ABC是等邊三角形．19．（2022上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┮阎鰽BC三條邊的長(zhǎng)度分別是x+1，(5?x)2，4?(4?x)2（1）當(dāng)x=2時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)C△ABC（2）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)C△ABC（結(jié)果要求化簡(jiǎn)），并求出x的取值范圍．如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積為S，則S=若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時(shí)，請(qǐng)用秦九韶公式求出△ABC【思路點(diǎn)撥】（1）利用x=2分別計(jì)算△ABC三條邊的長(zhǎng)度，然后求和即可獲得答案；（2）依據(jù)二次根式有意義的條件可得x的取值范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到△ABC的周長(zhǎng)；由于x為整數(shù)，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以從大到小依次驗(yàn)證，即可得出△ABC【解題過程】（1）解：當(dāng)x=2時(shí)，x+1=2+1=3，∴C△ABC故答案為：5+3（2）根據(jù)題意，可得x+1≥04?x≥0，解得?1≤x≤4∴5?x>0∴C△ABC===5+x+1∵x為整數(shù)，且C△ABC∴x=4或3或2或1或0或?1，當(dāng)x=4時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為4+1=5，(5?4)2∵5+1<4∴此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系，故x≠4，當(dāng)x=3時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為3+1=2，(5?3)2=2滿足三角形三邊關(guān)系，可設(shè)a=2，b=2，c=3，∴S△ABC=320．（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）任意一個(gè)無理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：m<T<n，（其中m、n為連續(xù)的整數(shù)），則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n，如1<2<2，所以2的“美好區(qū)間”為（1）無理數(shù)?13（2）若一個(gè)無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n，且滿足10<m+n<20，其中x=my=n是關(guān)于x，y的二元一次方程mx?ny=C的一組（3）實(shí)數(shù)x，y，m滿足如下關(guān)系式：(2x+3y+m)2+(3x+2y?3m)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查無理數(shù)的估算，以及二次根式有意義的條件：（1）根據(jù)“美好區(qū)間”的定義，確定?13（2）根據(jù)“美好區(qū)間”的定義和二元一次方程正整數(shù)解這兩個(gè)條件，找到符合的情況即可求出C的值；（3）先根據(jù)x+y?2024≥0，2024?x?y≥0，得出x+y=2024，進(jìn)而得出2x+3y+m=0，3x+2y?3m=0，兩式相加得5x+y?2m=0，得，【解題過程】（1）∵9<13<16，∴3<13∴?4<?∴無理數(shù)?13的“美好區(qū)間”是?4,?3故答案為：?4,?3（2）∵m,n為“美好區(qū)間”∴m，n為連續(xù)的整數(shù)又∵x=my=n是關(guān)于x，y的二元一次方程∴n是一個(gè)平方數(shù)又∵10<m+∴滿足題意的m，n的值為m=8n=9或當(dāng)m=8n=9時(shí)，∴8×8?9×3=C∴C=37，當(dāng)m=15n=16時(shí)，x=15∴15×15?16×4=C，∴C=161，綜上所述：C的值為37或161．（3）∵(2x+3y+m)2∴x+y?2024≥0，2024?x?y≥0，∴x+y=2024，∴(2x+3y+m)2∴2x+3y+m=0，3x+2y?3m=0，兩式相加得5∴m=5060∴m的算術(shù)平方根為5060∵71<5060m的算術(shù)平方根的美好區(qū)間為71,72．21．（2023下·湖北黃岡·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：把根式x±2y進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)m、n，是m2+n2=x且mn=y如：3+2解答問題：（1）填空：5+26（2）化簡(jiǎn)：7?43（3）1【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，把5+26化為3（2）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，把7?43化為2（3）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，對(duì)13+2【解題過程】（1）解：5+26故答案為：3+（2）7?43故答案為：2?3（3）1====故答案為：5?122．（2024上·湖南郴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有a?b2=a?2ab（1）當(dāng)x>0時(shí)，x+1x的最小值為______；當(dāng)x<0時(shí)，（2）當(dāng)x<0時(shí)，求x2（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為8和18，設(shè)△BOC的面積為x，求四邊形ABCD的最小面積．

【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行解答即可；（2）先將x2+2x+6x（3）設(shè)S△BOC=x，根據(jù)等高三角形性質(zhì)得出S△BOCS△COD=S【解題過程】（1）解：∵當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2∴x+1x的最小值為∵當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，∴?x+?2x∴?x?2∴?x?2x的最小值為故答案為：2；22（2）解：x2∵x<0，∴?x>0∴?x+?6∴x