專(zhuān)題強(qiáng)化：平行的判定和性質(zhì)題型歸納【題型歸納】題型一：平行公理及其推論1．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）平面內(nèi)有三條直線，下列說(shuō)法：①若，，則；②若，，則，其中正確的是（）A．只有① B．只有②C．①②都正確 D．①②都不正確2．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？计谥校┮阎谕黄矫鎯?nèi)三條直線a、b、c，若，，則a與b的位置關(guān)系是（

）A． B．或 C． D．無(wú)法確定3．（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，，，且比大，那么的大小是（

）

A． B． C． D．題型二：平行線的判定4．（2024上·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，下列條件中，能判斷的是（

）A． B． C． D．5．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023下·廣東梅州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，則下列條件中，能判定的是（）

A． B． C． D．題型三；平行線的性質(zhì)定理7．（2024上·海南?？凇て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)D，若，則等于（

）A． B． C． D．8．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．9．（2023下·重慶江津·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在與兩條平行線之間．點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若，求的度數(shù)（

）A． B． C． D．題型四：平行線性質(zhì)的應(yīng)用10．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線，含有角的三角板的直角頂點(diǎn)O在直線m上，點(diǎn)A在直線n上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．11．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對(duì)邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④12．（2024上·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，為上一點(diǎn)，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④題型五：平行線之間的距離問(wèn)題13．（2024下·新疆烏魯木齊·七年級(jí)烏市八中?？计谀┤鐖D，，的角平分線與的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，若兩平行線與間的距離為4，則（

）

A．4 B．2 C．8 D．614．（2023下·廣西桂林·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，點(diǎn)在上，，的面積為6，則的面積為（

）

A．6 B．12 C．16 D．2015．（2022下·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，定直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)下列各值：①的周長(zhǎng)；②的面積；③點(diǎn)到的距離；④的大小.其中會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③題型六：平行線的判定和性質(zhì)的綜合問(wèn)題16．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線上，點(diǎn)G在線段上，與交于點(diǎn)H，．(1)請(qǐng)說(shuō)明：；(2)若，求的度數(shù)．17．（2024上·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）如圖，平分，，連接，使，且．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．18．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校考期末）如圖1，已知，，點(diǎn)F在上，射線交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，若，，則_________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)與交于點(diǎn)H，則、、之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論：(3)如圖3，平分，交于點(diǎn)K，交于點(diǎn)I，且，，，求的度數(shù)．【專(zhuān)題強(qiáng)化】一、單選題19．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)20．（2024下·江蘇·七年級(jí)周測(cè)）如圖，在下列條件中，能判定的是（

）A． B．C． D．21．（2024下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列命題；①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)22．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．23．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一、明代《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．24．（2024上·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小方、小輝、小明、小杰一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖所示，已知，，是邊上一點(diǎn)（不與，重合）．小方說(shuō)：“如果還知道，則能得到”；小輝說(shuō)：“把小方的已知和結(jié)論倒過(guò)來(lái)，即由，可得到”；小明說(shuō)：“一定大于”；小杰說(shuō)：“如果連接，則一定平行于”．他們四人中，有幾個(gè)人的說(shuō)法是正確的？（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)25．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．26．（2024上·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)27．（2024上·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，，是的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)28．（2024·全國(guó)·七年級(jí)競(jìng)賽）如圖，直線，交于點(diǎn)，連接，則、與之間的數(shù)量關(guān)系是（

）．A． B．C． D．二、填空題29．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校考期末）如圖，在下列給出的條件中，不可以判定的是（填序號(hào)）①；②；③；④．30．（2024上·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如右圖，已知條件：①；②；③；④；其中能夠判定直線的是．（只填序號(hào)）31．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有下列說(shuō)法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中說(shuō)法正確的有個(gè)．32．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，有下列條件：①；②；③且；④．其中能判定的是（填序號(hào)）．33．（2024上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，為兩直線間一定點(diǎn)，，若點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接，，則的平分線與的平分線所在直線所夾的銳角為．34．（2024上·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．使得，作的角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．

35．（2024上·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┤鐖D①，，分別在上，且．如圖②，將繞點(diǎn)以的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，將繞點(diǎn)以的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若它們同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所在射線后，二者同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與互相平行或互相垂直時(shí)，的值為．三、解答題36．（2024下·黑龍江綏化·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知．

(1)求證：；(2)若平分，求的度數(shù)．37．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知：中，D、E、F、G分別在、和上，連接、和，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；(2)若，，求的度數(shù)．38．（2024下·江蘇·七年級(jí)周測(cè)）如圖，已知直線，、和、分別交于點(diǎn)、、、，點(diǎn)在直線或上且不與點(diǎn)、、、重合．記，，．

(1)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，求證：；(2)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、、之間的關(guān)系；(3)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，寫(xiě)出、、之間的關(guān)系并給予證明；(4)若點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、、之間的關(guān)系．39．（2024上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”．如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．解：過(guò)點(diǎn)作，，，又．．【問(wèn)題解決】（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過(guò)程．【解題反思】從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．【方法運(yùn)用】（2）如圖所示，已知，、交于點(diǎn)，，在圖的情況下求的度數(shù)．（3）如圖，若，點(diǎn)在，外部，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的關(guān)系．40．（2024上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過(guò)點(diǎn)作，所以______，因?yàn)椋?，所以______，因?yàn)?，所以．?）從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．【方法應(yīng)用】（3）如圖2，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，作和的平分線，交于點(diǎn)（交點(diǎn)在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為_(kāi)_______（用含的式子表示）．41．（2024上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在同一個(gè)平面上，已知點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，將三角板（）按如圖所示放置，且直角頂點(diǎn)與O重合，三角板可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)（），點(diǎn)F在線段上．(1)【問(wèn)題探究】已知，且，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：平分；(2)【類(lèi)比探究】當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，平分，求的度數(shù)（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）；(3)【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出與存在的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．專(zhuān)題強(qiáng)化：平行的判定和性質(zhì)題型歸納【題型歸納】題型一：平行公理及其推論1．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）平面內(nèi)有三條直線，下列說(shuō)法：①若，，則；②若，，則，其中正確的是（）A．只有① B．只有②C．①②都正確 D．①②都不正確【答案】A【分析】此題主要考查了平行公理和垂線，解題關(guān)鍵是注意同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行．根據(jù)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行可得①正確；根據(jù)應(yīng)為同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行可得②錯(cuò)誤．【詳解】解：①若，，則，該說(shuō)法正確；②若，，則，說(shuō)法錯(cuò)誤，應(yīng)為同一平面內(nèi)，若，，則．故選：A．2．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校考期中）已知在同一平面內(nèi)三條直線a、b、c，若，，則a與b的位置關(guān)系是（

）A． B．或 C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)平行公理的推論即可得出．【詳解】解：∵，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行公理的推論．掌握平行于同一直線的兩條直線平行是解題關(guān)鍵．3．（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，，，且比大，那么的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，然后計(jì)算出，結(jié)合比大，即可得解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，即，，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵比大，即，∴，∴，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．掌握平行線的性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．題型二：平行線的判定4．（2024上·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，下列條件中，能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，然后作答即可．【詳解】解：由，可得，不能判斷，故A不符合要求；由，可得，故B符合要求；由，可得，不能判斷，故C不符合要求；由，可得，不能判斷，故D不符合要求；故選：B．5．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定，根據(jù)題目中的條件，可以寫(xiě)出各個(gè)小題中的條件可以得到哪兩條線平行，從而可以解答本題．【詳解】解：①∵，∴，故①符合題意；②∵，∴，故②不符合題意；③∵，∴，故③符合題意；④∵，∴，故④符合題意；⑤，不能證明，故⑤符合題意；⑥∵．∴，故⑥不符合題意；故選：C．6．（2023下·廣東梅州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，則下列條件中，能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是平行線的判定，由結(jié)合內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，由結(jié)合同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得，由而且兩個(gè)角不是內(nèi)錯(cuò)角，不是同位角，不能判定兩直線平行，由同理可得，熟記平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故A不符合題意；∵，∴，故B不符合題意；由，不能判定，故C不符合題意；∵，∴，故D符合題意；故選：D．題型三；平行線的性質(zhì)定理7．（2024上·海南?？凇て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)D，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形兩銳角互余，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出的度數(shù)，再次根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．8．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：，，，，，．故選：B．9．（2023下·重慶江津·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在與兩條平行線之間．點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若，求的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線定義求出，進(jìn)而可求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，，平分平分，，，故選：C．題型四：平行線性質(zhì)的應(yīng)用10．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線，含有角的三角板的直角頂點(diǎn)O在直線m上，點(diǎn)A在直線n上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，過(guò)B作，推出，由平行線的性質(zhì)得到，，求出，即可得到．【詳解】解：過(guò)B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：B．11．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對(duì)邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析，即可解答．【詳解】解：，，，①結(jié)論正確；由折疊可知，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；，，③結(jié)論正確；，且，，④結(jié)論正確；所以，以上結(jié)論正確的是①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．12．（2024上·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，為上一點(diǎn)，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，熟記“一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線”，“當(dāng)兩直線所組成的角為直角時(shí)，稱(chēng)它們互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”的相關(guān)概念，利用表示各個(gè)角度．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線和垂線的定義逐個(gè)分析計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，平分，，故①正確；，，，即平分，故②正確；，，，，，，，故③正確；，，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：C．題型五：平行線之間的距離問(wèn)題13．（2024下·新疆烏魯木齊·七年級(jí)烏市八中?？计谀┤鐖D，，的角平分線與的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，若兩平行線與間的距離為4，則（

）

A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P作于M，交于N，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出，，即可得出答案．【詳解】解:過(guò)點(diǎn)P作于M，交于N，如圖，

∴，∵的角平分線與的角平分線相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)E，∴，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．14．（2023下·廣西桂林·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，點(diǎn)在上，，的面積為6，則的面積為（

）

A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】的邊上的高和的邊上的高長(zhǎng)度相同，設(shè)高為，可求得和之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】∵，，∴．∵，∴的邊上的高和的邊上的高長(zhǎng)度相同．設(shè)的邊上的高和的邊上的高為．根據(jù)題意，得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條平行線之間的距離（如果兩條直線平行，那么其中一條直線上每個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離都相等，這個(gè)距離，叫做這兩條平行線之間的距離），牢記兩條平行線之間的距離的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022下·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，定直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)下列各值：①的周長(zhǎng)；②的面積；③點(diǎn)到的距離；④的大小.其中會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷③；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)變化可判斷①④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷②；進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵直線，∴點(diǎn)M到直線的距離不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故③正確；∵，的長(zhǎng)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，∴的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，的大小會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故①④錯(cuò)誤；∵點(diǎn)M到直線的距離不變，的長(zhǎng)度不變，∴的面積不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化，故②正確；綜上，不會(huì)隨點(diǎn)M的移動(dòng)而變化的是①④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．題型六：平行線的判定和性質(zhì)的綜合問(wèn)題16．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線上，點(diǎn)G在線段上，與交于點(diǎn)H，．(1)請(qǐng)說(shuō)明：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平角的定義∶（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和判定證明；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等可求，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平角的定義可求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．17．（2024上·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┤鐖D，平分，，連接，使，且．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出，進(jìn)而利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，平分，．18．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，已知，，點(diǎn)F在上，射線交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，若，，則_________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)與交于點(diǎn)H，則、、之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論：(3)如圖3，平分，交于點(diǎn)K，交于點(diǎn)I，且，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角計(jì)算求解．（1）過(guò)點(diǎn)E作，則，即可得到，，然后解題即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作，則，即可得到，，然后解題即可；（3）設(shè)，則，，則，，根據(jù)列方程求出的值，即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．（2）解：，理由為：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴，（3）∵，∴設(shè)，則，，∵，，∴由（2）結(jié)論知，，，∵平分，∴，即，解得：，∴，在中，．【專(zhuān)題強(qiáng)化】一、單選題19．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了平行線、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，注意平行公理是在同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行公理、點(diǎn)到直線的距離，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故該說(shuō)法錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故該說(shuō)法錯(cuò)誤；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離，故該說(shuō)法錯(cuò)誤；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，該說(shuō)法正確．綜上所述，說(shuō)法錯(cuò)誤的是①②③，合計(jì)3個(gè)．故選：C．20．（2024下·江蘇·七年級(jí)周測(cè)）如圖，在下列條件中，能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定．解答此類(lèi)要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．根據(jù)各選項(xiàng)中各角的關(guān)系及利用平行線的判定定理，分別分析判斷、是否平行即可．【詳解】解：A、，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故A正確，符合題意；B、根據(jù)只能判定，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C、根據(jù)只能判定，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D、根據(jù)只能判定，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．21．（2024下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列命題；①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)．利用平行線的性質(zhì)及判定，即可判斷①③④，根據(jù)銳角和鈍角的特點(diǎn)即可判斷②，分別判斷后確定正確的選項(xiàng)，即可解題．【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②兩個(gè)銳角的和不一定是鈍角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；正確，是真命題，符合題意；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則，正確，是真命題，符合題意；綜上所述，真命題有2個(gè)，故選：B．22．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的內(nèi)角和是求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∴．故選：B．23．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一、明代《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，故選：A．24．（2024上·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小方、小輝、小明、小杰一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖所示，已知，，是邊上一點(diǎn)（不與，重合）．小方說(shuō)：“如果還知道，則能得到”；小輝說(shuō)：“把小方的已知和結(jié)論倒過(guò)來(lái)，即由，可得到”；小明說(shuō)：“一定大于”；小杰說(shuō)：“如果連接，則一定平行于”．他們四人中，有幾個(gè)人的說(shuō)法是正確的？（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．由，，知，得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可得出答案．【詳解】已知，，∴，∴，小方：若，∴，∴，∴，故小方的說(shuō)法是正確的；小輝：若，∴，∴，∵，∴，故小輝的說(shuō)法是正確的；小明：不一定大于，故小明的說(shuō)法是不正確的；小杰：如果連接，則不一定平行于，故小杰的說(shuō)法是不正確的；綜上所述，正確的說(shuō)法有2個(gè)．故選B．25．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．假設(shè)與的交點(diǎn)為，由平行的性質(zhì)可求出，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，即可求解．【詳解】解：假設(shè)與的交點(diǎn)為，，；，．故選:C．26．（2024上·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義、角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)結(jié)合可得，即可判斷①；由垂線的定義可得，從而得出，，結(jié)合，即可判斷③；由平行線的性質(zhì)可得，從而得出，即可判斷②；由已知條件無(wú)法證出，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故①正確，符合題意；，，，，，，故③正確，符合題意；，，，平分，故②正確，符合題意；由已知條件無(wú)法證出，故④錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，共個(gè)，故選：C．27．（2024上·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，，是的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用，平分，平分，可以判斷出①②正確；再證明，再利用，可判斷出③正確；根據(jù)，推出與是等底等高的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，故①②正確；∵，∴，∵，，∴，故③正確；∵，∴與是等底等高的三角形，∴，∴，故④正確，∴①②③④正確．故選：D．28．（2024·全國(guó)·七年級(jí)競(jìng)賽）如圖，直線，交于點(diǎn)，連接，則、與之間的數(shù)量關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握平行于同一直線的兩直線互相平行、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，；結(jié)合題意可得；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，如圖：∵，，∴，，∵，∴，在中，，即，∴．故選：C．二、填空題29．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在下列給出的條件中，不可以判定的是（填序號(hào)）①；②；③；④．【答案】③【分析】本題主要考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】①∵，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），不符合題意；②∵，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），不符合題意；③∵，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），符合題意；④∵，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），不符合題意；故答案為：③．30．（2024上·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如右圖，已知條件：①；②；③；④；其中能夠判定直線的是．（只填序號(hào)）【答案】①②③④【分析】本題考查了平行線的判定和平行線有關(guān)的輔助線，根據(jù)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：若，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得，故①符合題意；若，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得，故②符合題意；若，∵∴，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得，故③符合題意；若，過(guò)點(diǎn)C作直線b，則，由已知，，∴，∴直線a，∴，故④符合題意；故答案為：①②③④31．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有下列說(shuō)法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中說(shuō)法正確的有個(gè)．【答案】1【解析】略32．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，有下列條件：①；②；③且；④．其中能判定的是（填序號(hào)）．【答案】③④【詳解】解:①中，因?yàn)?，所以（?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），不符合題意；②中，因?yàn)?，所以（同位角相等，兩直線平行），不符合題意；③中，因?yàn)榍遥?，所以（?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），符合題意；④中，因?yàn)?，所以（同旁?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），符合題意，33．（2024上·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，為兩直線間一定點(diǎn)，，若點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接，，則的平分線與的平分線所在直線所夾的銳角為．【答案】或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平線的定義，根據(jù)題意可分兩種情況進(jìn)行討論，一種是點(diǎn)F在下方，一種是點(diǎn)F在上方，先作平行線，設(shè)出來(lái)角度，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義可得到結(jié)果，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解角平分線的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作，過(guò)點(diǎn)E作，如圖1所示：設(shè)，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)F在上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作，如圖2所示：設(shè)，∵，，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，綜上所示：的平分線與的平分線所在直線所夾的銳角為或，故答案為：14°或37°．34．（2024上·福建福州·七年級(jí)校考期末）如圖，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．使得，作的角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．

【答案】/35度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線、外角定理，本題關(guān)鍵是掌握有關(guān)定理、定義，題目難度較大．，，則，則，在中，，故，即可等量代換求解．【詳解】解：，，，的角平分線為，，，，而，，，，，，，，．故答案為：35．（2024上·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┤鐖D①，，分別在上，且．如圖②，將繞點(diǎn)以的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，將繞點(diǎn)以的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若它們同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所在射線后，二者同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與互相平行或互相垂直時(shí)，的值為．【答案】2或6.5【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，分與互相平行及與互相垂直兩種情況，找出關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．利用“旋轉(zhuǎn)時(shí)間的度數(shù)射線的旋轉(zhuǎn)速度”，可求出轉(zhuǎn)至所在射線所需時(shí)間，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，當(dāng)與互相平行時(shí)，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值；當(dāng)與互相垂直時(shí)，由，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值．綜上即可得出答案．【詳解】解：（秒），當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，當(dāng)與互相平行時(shí)，，即，解得；當(dāng)與互相垂直時(shí)，，即，解得．∴當(dāng)與互相平行或垂直時(shí)，的值為2或6.5．故答案為：2或6.5．三、解答題36．（2024下·黑龍江綏化·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知．

(1)求證：；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．（1）由證得，得到，結(jié)合可得，由此可證得；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，由平分求出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．37．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知：中，D、E、F、G分別在、和上，連接、和，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)詳解(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．（1）先證明，可得，等量代換后可得，繼而得到；（2）由平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得，根據(jù)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等可得，依據(jù)，可計(jì)算出．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵．∴，∴．（2）由（1）可知，，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．38．（2024下·江蘇·七年級(jí)周測(cè)）如圖，已知直線，、和、分別交于點(diǎn)、、、，點(diǎn)在直線或上且不與點(diǎn)、、、重合．記，，．

(1)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，求證：；(2)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、、之間的關(guān)系；(3)若點(diǎn)在圖（）位置時(shí)，寫(xiě)出、、之間的關(guān)系并給予證明；(4)若點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、、之間的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)，．【分析】（）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合圖形的位置，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合圖形的位置，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)的位置，結(jié)合兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)圖形，可以確定分為當(dāng)P在點(diǎn)上方，當(dāng)在點(diǎn)下方兩種情況，結(jié)合前面的證明，可以確定（）的答案；本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和正確添加輔助線．【詳解】（1）證明：如圖，

過(guò)作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2），理由：如圖，

過(guò)作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（3），如圖，

過(guò)作，∵，∴，同（）可證得：，∵，，∴，即；（4）當(dāng)在上方時(shí)，不妨將點(diǎn)設(shè)為，如圖，

過(guò)作，