2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——微分幾何的局部性質(zhì)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)量是描述曲線局部彎曲程度的主要指標(biāo)？A.拐點(diǎn)B.垂直曲率C.主曲率D.漸伸線2.設(shè)曲線的Frenet標(biāo)架為\(\{\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf\}\)，則\(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=\)？A.0B.1C.-1D.任意實(shí)數(shù)3.曲面的第一基本形式\(I\)主要反映了什么？A.曲面的法向量B.曲面的面積C.曲面上的距離D.曲面的曲率4.對(duì)于一個(gè)曲面上的點(diǎn)，其Gaussian曲率\(K\)是由什么決定的？A.曲面的參數(shù)方程B.曲面的第一基本形式和第二基本形式C.曲面的法向量D.曲面上的曲線5.下列哪個(gè)定理將曲面積分與曲線積分聯(lián)系起來？A.高斯定理B.斯托克斯定理C.格林定理D.散度定理二、填空題（每題3分，共15分）1.曲線\(\mathbf{r}(s)\)的曲率\(\kappa\)的表達(dá)式為：\(\kappa=\)。2.曲面\(\mathbf{r}(u,v)\)的第一基本形式\(I\)的表達(dá)式為：\(I=\)。3.曲面\(\mathbf{r}(u,v)\)的第二基本形式\(II\)的表達(dá)式為：\(II=\)。4.曲面\(\mathbf{r}(u,v)\)上一點(diǎn)處的Gaussian曲率\(K\)的表達(dá)式為：\(K=\)。5.微分形式\(\omega=f(x,y)dx+g(x,y)dy\)的外微分\(d\omega\)為：\(d\omega=\)。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.給定曲線的參數(shù)方程為\(\mathbf{r}(t)=(t^2,t^3,t)\)，計(jì)算其在\(t=1\)處的曲率和Frenet標(biāo)架。2.給定曲面的參數(shù)方程為\(\mathbf{r}(u,v)=(u,v,u^2-v^2)\)，計(jì)算其在\((1,1)\)處的第一基本形式和第二基本形式。3.給定微分形式\(\omega=xdy-ydx\)，計(jì)算其外微分\(d\omega\)，并驗(yàn)證斯托克斯定理在該區(qū)域上的成立。四、證明題（每題15分，共30分）1.證明Frenet標(biāo)架的遞推關(guān)系式：\[\begin{cases}T'=\kappaN\\N'=-\kappaT+\tauB\\B'=-\tauN\end{cases}\]其中\(zhòng)(T,N,B\)分別是曲線的切向量、主法向量和副法向量，\(\kappa\)是曲率，\(\tau\)是扭轉(zhuǎn)率。2.證明曲面\(\mathbf{r}(u,v)\)上一點(diǎn)處的Gaussian曲率\(K\)可以表示為：\[K=\frac{eg-2fh+gk}{EG-F^2}\]其中\(zhòng)(E=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u\)，\(G=\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v\)，\(F=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v\)，\(e=\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}\)，\(g=\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}\)，\(f=\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}\)，\(\mathbf{n}\)是曲面的法向量。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.C4.B5.B二、填空題1.\(\frac{|\mathbf{r}'(s)\times\mathbf{r}''(s)|}{|\mathbf{r}'(s)|^3}\)2.\(\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_udu^2+2\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_vdudv+\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_vdv^2\)3.\(\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}du^2+2\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}dudv+\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}dv^2\)4.\(\frac{\det(\mathbf{r}_{uu},\mathbf{r}_{uv},\mathbf{r}_u)}{\det(\mathbf{r}_{uu},\mathbf{r}_{uv})}\)或者\(yùn)(\frac{eg-2fh+gk}{EG-F^2}\)(根據(jù)填空題第4題的格式)5.\(g(x,y)dx+f(x,y)dy\)三、計(jì)算題1.解析思路：*計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)\(\mathbf{r}'(t)=(2t,3t^2,1)\)和二階導(dǎo)數(shù)\(\mathbf{r}''(t)=(2,6t,0)\)。*計(jì)算\(\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=(-6t,2-2t^2,-6t)\)。*計(jì)算\(|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{4t^2+9t^4+1}\)和\(|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)|=\sqrt{36t^2+(2-2t^2)^2+36t^2}=\sqrt{8t^4+4t^2+4}\)。*在\(t=1\)處，計(jì)算\(\kappa=\frac{\sqrt{8+4+4}}{9+1}=\frac{\sqrt{16}}{10}=\frac{2}{5}\)。*計(jì)算\(\mathbf{r}'(1)=(2,3,1)\)，單位化得到\(\mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2,3,1)\)。*計(jì)算\(\mathbf{r}''(1)=(2,6,0)\)，計(jì)算\(\mathbf=\mathbf{t}\times\mathbf{r}''(1)=\frac{1}{\sqrt{14}}(-6,2,-6)\)。*計(jì)算\(\mathbf{n}=\mathbf\times\mathbf{t}=\frac{1}{7}(3,-2,6)\)。*Frenet標(biāo)架為\(\{\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{14}}(2,3,1),\frac{1}{7}(3,-2,6),\frac{1}{\sqrt{14}}(-6,2,-6)\right\}\)。2.解析思路：*計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)\(\mathbf{r}_u=(0,1,2u)\)和\(\mathbf{r}_v=(1,0,-2v)\)。*計(jì)算\(\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u=1+4u^2\)，\(\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v=1\)，\(\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v=1+4v^2\)。*在\((1,1)\)處，計(jì)算第一基本形式\(I=5du^2+2dudv+5dv^2\)。*計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)\(\mathbf{r}_{uu}=(0,0,2)\)，\(\mathbf{r}_{uv}=(0,0,0)\)，\(\mathbf{r}_{vv}=(0,0,-2)\)。*計(jì)算法向量\(\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(0,-2,1)\)。*計(jì)算\(\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}=0\)，\(\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}=-\frac{2}{\sqrt{5}}\)。*在\((1,1)\)處，計(jì)算第二基本形式\(II=\frac{2}{\sqrt{5}}du^2-\frac{2}{\sqrt{5}}dv^2\)。3.解析思路：*計(jì)算外微分\(d\omega=g(x,y)dx+f(x,y)dy=-ydx+xdy\)。*選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的區(qū)域，例如單位圓盤\(D:x^2+y^2\leq1\)。*計(jì)算曲線積分\(\int_{\partialD}\omega=\int_{\partialD}(-ydx+xdy)\)。*利用格林公式，\(\int_{\partialD}(-ydx+xdy)=\iint_D2dA=2\cdot\text{Area}(D)=2\pi\)。*計(jì)算曲面積分\(\iint_Dd\omega=\iint_Dd(xdy-ydx)=\iint_Dd\sigma=2\pi\)。*由于\(\int_{\partialD}\omega=\iint_Dd\omega=2\pi\)，斯托克斯定理在該區(qū)域上成立。四、證明題1.解析思路：*計(jì)算\(\mathbf{t}'=\mathbf{r}''\)。*利用Frenet公式\(\mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n}\)，得到\(\mathbf{r}''=\kappa\mathbf{n}\)。*計(jì)算\(\mathbf{n}'=\mathbf{t}\times\mathbf\)。*利用Frenet公式\(\mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf\)，得到\(\mathbf{t}\times\mathbf=-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf\)。*計(jì)算\(\mathbf'=-\mathbf{n}\times\mathbf{t}\)。*利用Frenet公式\(\mathbf'=-\tau\mathbf{n}\)，得到\(-\mathbf{n}\times\mathbf{t}=-\tau\mathbf{n}\)。*以上三式即為Frenet標(biāo)架的遞推關(guān)系式。2.解析思路：*曲面的Gaussian曲率\(K\)定義為\(K=\frac{\text{Area}(P)}{\text{Area}(\pi(P))}\)，其中\(zhòng)(