2025年高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)同理心能力試題一、情境分析題（共30分）（一）分階供水問題中的資源分配意識(shí)某城市自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，實(shí)行分階計(jì)費(fèi)模式：月用水量不超過15噸的部分按3.2元/噸收費(fèi)，超過15噸不超過25噸的部分按4.8元/噸收費(fèi)，超過25噸的部分按6.4元/噸收費(fèi)。現(xiàn)有A、B兩戶居民，A戶月收入8000元，月均用水量20噸；B戶月收入3000元，月均用水量18噸。分別計(jì)算兩戶居民的水費(fèi)支出占家庭收入的百分比（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。從經(jīng)濟(jì)學(xué)視角分析該計(jì)費(fèi)模式可能對(duì)低收入家庭造成的隱性壓力，用數(shù)學(xué)語言描述"水費(fèi)支出彈性系數(shù)"（定義為水費(fèi)變化率與收入變化率的比值）。設(shè)計(jì)一種更具同理心的計(jì)費(fèi)方案，要求新方案下B戶水費(fèi)占比降低15%，同時(shí)保證自來水公司的總營收不變（假設(shè)該城市共有10萬戶類似用戶，其中30%為A類用戶，70%為B類用戶）。（二）醫(yī)療資源調(diào)度中的公平性考量某醫(yī)院急診科在疫情期間面臨呼吸機(jī)資源緊張問題，現(xiàn)有5臺(tái)呼吸機(jī)可供分配給6名重癥患者，患者基本情況如下表：患者編號(hào)年齡基礎(chǔ)病情況預(yù)估治療周期（天）治愈概率128無100.92245高血壓140.85362糖尿病180.78475冠心病220.65533哮喘160.80650無120.88建立數(shù)學(xué)模型量化"生命價(jià)值指數(shù)"，要求綜合考慮年齡、治愈概率和治療周期三個(gè)因素，權(quán)重系數(shù)需通過層次分析法確定。若采用貪心算法分配呼吸機(jī)，可能會(huì)優(yōu)先選擇年輕患者，但這種方案可能引發(fā)倫理爭(zhēng)議。設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的0-1整數(shù)規(guī)劃模型，在目標(biāo)函數(shù)中引入"公平性懲罰項(xiàng)"，使得年齡最大患者與最小患者的指數(shù)差不超過20%。假設(shè)患者4的家屬提出"愿意承擔(dān)額外醫(yī)療費(fèi)用以換取治療機(jī)會(huì)"，從衛(wèi)生經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析這種提議對(duì)醫(yī)療資源分配公平性的影響，用洛倫茲曲線描述資源分配的變化。二、建模應(yīng)用題（共40分）（一）教育公平中的學(xué)習(xí)資源可達(dá)性某偏遠(yuǎn)山區(qū)共有8個(gè)行政村，計(jì)劃建設(shè)3個(gè)教學(xué)點(diǎn)，各村莊位置坐標(biāo)（單位：公里）及學(xué)齡兒童數(shù)量如下：A村（2,5）：42人B村（6,3）：28人C村（8,7）：35人D村（12,4）：19人E村（15,9）：22人F村（18,6）：30人G村（20,11）：15人H村（24,8）：26人用加權(quán)Voronoi圖模型確定教學(xué)點(diǎn)的最優(yōu)位置，權(quán)重為各村兒童數(shù)量，計(jì)算平均通勤距離。考慮到G村和D村有30%的兒童存在行動(dòng)障礙，需要額外配備無障礙設(shè)施，此時(shí)教學(xué)點(diǎn)選址模型需要做哪些調(diào)整？用數(shù)學(xué)語言定義"無障礙成本系數(shù)"。若財(cái)政預(yù)算只能支持建設(shè)2個(gè)教學(xué)點(diǎn)，構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃模型，目標(biāo)包括：最小化最大通勤距離、最大化服務(wù)覆蓋人口、均衡化各教學(xué)點(diǎn)規(guī)模（用變異系數(shù)衡量），并使用層次分析法確定目標(biāo)權(quán)重。（二）老齡化社會(huì)的養(yǎng)老資源配置某社區(qū)60歲以上老人共500人，年齡分布如下：60-69歲占60%，70-79歲占30%，80歲以上占10%。社區(qū)計(jì)劃建設(shè)日間照料中心，需考慮以下因素：不同年齡段老人的活動(dòng)能力差異：60-69歲老人平均每日可獨(dú)立活動(dòng)5小時(shí)，70-79歲為3小時(shí)，80歲以上為1.5小時(shí)服務(wù)需求差異：高齡老人對(duì)醫(yī)療護(hù)理需求是低齡老人的3倍空間需求差異：開展康復(fù)訓(xùn)練的空間需求是文化娛樂空間的1.8倍建立"老人活動(dòng)能力指數(shù)"與"服務(wù)資源需求矩陣"的映射關(guān)系，用矩陣乘法表示不同年齡段的綜合需求。設(shè)計(jì)照料中心的功能分區(qū)面積分配方案，總面積300平方米，要求使用灰色關(guān)聯(lián)分析法確定各功能區(qū)（生活照料區(qū)、醫(yī)療護(hù)理區(qū)、文化娛樂區(qū)、康復(fù)訓(xùn)練區(qū)）的面積占比?？紤]到獨(dú)居老人占比達(dá)40%，且其中25%存在社交隔離風(fēng)險(xiǎn)，在模型中引入"社交連接度"參數(shù)（定義為實(shí)際社交時(shí)長(zhǎng)與期望社交時(shí)長(zhǎng)的比值），重新優(yōu)化資源配置方案。三、綜合創(chuàng)新題（共30分）（一）算法偏見修正中的數(shù)學(xué)建模某招聘平臺(tái)使用機(jī)器學(xué)習(xí)算法篩選簡(jiǎn)歷，輸入特征包括學(xué)歷（本科/碩士/博士）、工作年限、筆試成績(jī)等，輸出為錄用概率。經(jīng)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)算法存在性別偏見：同等條件下女性錄用概率比男性低12%。已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)中男性求職者占比65%，且筆試成績(jī)方差比女性高15%。用貝葉斯定理分析先驗(yàn)概率對(duì)算法決策的影響，推導(dǎo)"性別修正系數(shù)"的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)計(jì)一種公平感知機(jī)器學(xué)習(xí)模型，要求在保持算法整體準(zhǔn)確率（AUC值不低于0.85）的前提下，將性別差異控制在3%以內(nèi)。可選用的技術(shù)手段包括：預(yù)處理階段的樣本重加權(quán)訓(xùn)練過程中的對(duì)抗性去偏后處理階段的閾值調(diào)整從羅爾斯"無知之幕"理論出發(fā)，構(gòu)建"最大最小公平性指標(biāo)"，量化算法決策的倫理風(fēng)險(xiǎn)。（二）公共交通系統(tǒng)的弱勢(shì)群體關(guān)懷某城市地鐵早高峰時(shí)段（7:30-8:30）面臨客流壓力，現(xiàn)有限流方案為：各站點(diǎn)統(tǒng)一限制站臺(tái)人數(shù)不超過設(shè)計(jì)容量的80%。但該方案對(duì)通勤距離長(zhǎng)的乘客造成較大影響，特別是攜帶大件行李的乘客和殘障人士。定義"通勤痛苦指數(shù)"，綜合考慮候車時(shí)間（分鐘）、車廂擁擠度（人/平方米）、換乘次數(shù)三個(gè)因素，用模糊數(shù)學(xué)方法構(gòu)建評(píng)價(jià)模型。設(shè)計(jì)差異化限流方案，要求：對(duì)通勤距離超過15公里的乘客，候車時(shí)間減少20%對(duì)攜帶大件行李的乘客，開辟專用候車區(qū)域（占站臺(tái)面積15%）殘障人士?jī)?yōu)先通行通道的通過效率提升50%用排隊(duì)論M/M/1模型驗(yàn)證新方案的可行性。建立社會(huì)福利函數(shù)，比較原方案與新方案的社會(huì)總福利變化，其中需包含"弱勢(shì)群體效用權(quán)重"（取值范圍1.2-1.5）。四、數(shù)學(xué)寫作題（共20分）（一）數(shù)學(xué)證明中的人文關(guān)懷以"哥德爾不完備定理"為切入點(diǎn)，撰寫一篇短文，闡述數(shù)學(xué)真理的局限性如何啟示我們?cè)谌斯ぶ悄軅惱斫ㄔO(shè)中保持謙遜態(tài)度。要求：用通俗語言解釋緊致性定理與道德判斷的不確定性類比"停機(jī)問題"與人類認(rèn)知的邊界提出"數(shù)學(xué)同理心三原則"，包括：認(rèn)知謙遜原則（承認(rèn)數(shù)學(xué)模型的局限性）多元表征原則（允許不同視角下的模型構(gòu)建）人文嵌入原則（在形式化系統(tǒng)中保留價(jià)值判斷接口）（二）跨學(xué)科視角下的數(shù)學(xué)應(yīng)用反思分析以下三個(gè)案例中數(shù)學(xué)模型可能存在的倫理風(fēng)險(xiǎn)，并提出改進(jìn)建議：高校錄取中的GPA加權(quán)模型（權(quán)重設(shè)置是否加劇教育不平等）信用卡評(píng)分中的還款能力評(píng)估（是否忽視臨時(shí)性財(cái)務(wù)危機(jī)）社交媒體內(nèi)容推薦算法（馬太效應(yīng)導(dǎo)致的信息繭房）要求每個(gè)案例分析包含：數(shù)學(xué)模型的形式化描述弱勢(shì)群體的效用損失計(jì)算引入同理心參數(shù)后的修正模型五、實(shí)踐操作題（共40分）（一）社區(qū)互助網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)某社區(qū)計(jì)劃建立"時(shí)間銀行"互助系統(tǒng)：居民提供志愿服務(wù)（如老年陪護(hù)、兒童托管、技能培訓(xùn)等）可積累"時(shí)間幣"，未來可兌換等值服務(wù)。已知：社區(qū)居民1200人，其中18-45歲占55%，46-65歲占30%，65歲以上占15%不同年齡段的服務(wù)供給能力：青年群體（18-45歲）平均每周可提供5小時(shí)服務(wù)，中年群體（46-65歲）3小時(shí)，老年群體（65歲以上）1小時(shí)服務(wù)需求分布：日常照料占40%，教育輔導(dǎo)占30%，生活服務(wù)占20%，文化娛樂占10%構(gòu)建服務(wù)供需匹配的bipartitegraph模型，用匈牙利算法求解最優(yōu)匹配方案?？紤]到老年群體的服務(wù)需求與供給能力存在不對(duì)稱，設(shè)計(jì)"代際互助系數(shù)"，量化不同年齡段間的服務(wù)兌換比例。模擬系統(tǒng)運(yùn)行12個(gè)月后的"時(shí)間幣"分布情況，預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的貧富分化（用基尼系數(shù)衡量），并設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)機(jī)制。（二）災(zāi)難救援中的物資調(diào)配某地區(qū)發(fā)生地震后，需要向5個(gè)受災(zāi)村莊運(yùn)送救災(zāi)物資，各村莊的需求如下表：物資類型村莊A村莊B村莊C村莊D村莊E食品（箱）200150180220160藥品（箱）5030406035帳篷（頂）8060709065救援中心有3輛運(yùn)輸車，載重分別為5噸、8噸、10噸，物資單位重量：食品15公斤/箱，藥品8公斤/箱，帳篷25公斤/頂。道路損毀情況導(dǎo)致各村莊間通行時(shí)間不同（單位：小時(shí)）：救援中心到A村：2.5，A村到B村：1.2救援中心到C村：3.0，C村到D村：0.8救援中心到E村：4.2，E村到D村：1.5建立多目標(biāo)運(yùn)輸規(guī)劃模型，目標(biāo)包括：最小化運(yùn)輸總時(shí)間、最大化物資送達(dá)率、均衡化車輛負(fù)載（方差最?。?。考慮到村莊D有重癥傷員需要優(yōu)先救治，設(shè)置"緊急度系數(shù)"，對(duì)藥品運(yùn)輸時(shí)間進(jìn)行加權(quán)處理（權(quán)重為食品的2倍）。設(shè)計(jì)"需求滿足度指數(shù)"，當(dāng)某村莊某種物資送達(dá)量低于需求量的70%時(shí)，指數(shù)開始急劇下降，