專題6.5數(shù)列求和（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1公式法求和】 3【題型2錯位相減法求和】 5【題型3裂項相消法求和】 8【題型4分組（并項）法求和】 11【題型5倒序相加法求和】 14【題型6含有（-1）n的類型求和】 17【題型7奇偶項問題討論求和】 20【題型8先放縮再裂項求和】 24【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】 281、數(shù)列求和考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式(2)掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第18題，12分2025年全國一卷：第16題，15分2025年全國二卷：第7題，5分2025年天津卷：第19題，15分?jǐn)?shù)列求和是高考的重點、熱點內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列求和在選擇、填空題中考查較少，難度不大；數(shù)列求和往往以解答題的形式考查，難度中等或稍難，往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，數(shù)列求和問題有時會與不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等問題綜合，此時難度較大，數(shù)列求和方法多種多樣，需要靈活求解.近年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.知識點1數(shù)列求和的幾種常用方法1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.①等差數(shù)列的前n項和公式：.②等比數(shù)列的前n項和公式：=.2．分組求和法與并項求和法(1)分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求解.3．錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.4．裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧：(1).

(2).

(3).(4).

(5).5．倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.知識點2特殊數(shù)列求和1．奇偶項討論求和通項公式分奇、偶項有不同表達(dá)式；例如：.角度1：求的前2n項和T2n；角度2：求的前n項和Tn.2．通項含有(-1)n的數(shù)列求和通項含有(-1)n的類型；例如：.【方法技巧與總結(jié)】常用求和公式：(1).(2).(3).(4).【題型1公式法求和】【例1】（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=6,S5=?5,A．?20 B．?15 C．?10 D．?5【答案】B【解題思路】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項a1和公差d的方程求出首項a1和公差d，再由等差數(shù)列前【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題可得3所以S6故選：B.【變式1-1】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1+a3=4A．935 B．20 C．1245 【答案】C【解題思路】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a1、q的方程組，解出這兩個量的值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1+因此，S5故選：C.【變式1-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）等比數(shù)列an的公比為2，且滿足a12?a2A．4 B．32 C．84 D．128【答案】A【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列通項基本量的關(guān)系，結(jié)合前n項和公式求解即可.【解答過程】因為數(shù)列an由a12?a2=8所以an的前10項和為a故選：A.【變式1-3】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的公差為2，a2，a3，a6成等比數(shù)列，則anA．nn?2 B．nn?1 C．n2【答案】A【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式表示出a2，a3，a6，再結(jié)合等比中項的性質(zhì)列出關(guān)于首項a1的方程，求出首項a1，最后根據(jù)等差數(shù)列的前n【解答過程】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a可得a2=a1+d=因為a2，a3，所以a32=展開等式左邊可得(a1+4)則a1可得?4a1=4根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，將a1=?1，Sn{an}的前n故選：A.【題型2錯位相減法求和】【例2】（2025·云南昭通·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2n=2an+1，數(shù)列bn的前n(1)求an和b(2)求數(shù)列anbn的前n【答案】(1)an=2n?1(2)Q【解題思路】（1）利用bn=T1,n=1Tn（2）應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求和即可.【解答過程】（1）由數(shù)列bn的前n項和為Tn=bn經(jīng)檢驗當(dāng)n=1時，b1=1也滿足上式，所以在等差數(shù)列an中，因為a2=2所以a2=a所以an（2）由（1）知，an所以Qn則12兩式相減，得1=1+2·化簡得：Qn【變式2-1】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和Sn=13n?n2，數(shù)列b(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=an?bn【答案】(1)an=?2n+14，b(2)T【解題思路】（1）根據(jù)an與Sn的關(guān)系即可求解an，進(jìn)而可求b（2）利用錯位相減法求解即可.【解答過程】（1）n=1時，S1n≥2時ann=1時符合上式，∴an∴b3=?a3=?8，∴b1q（2）cn設(shè)dn=?2n+14?2Dn2D①?②得D=24?2×4?∴Dnn≤7時，Tnn≥8時，Tn綜上Tn【變式2-2】（2025·遼寧盤錦·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，其中a3(1)求λ的值以及數(shù)列an(2)若bn=a5n?4?3n【答案】(1)λ=12(2)15【解題思路】（1）由a3=S3?S2=3可求得（2）求得bn=5n?4【解答過程】（1）依題意，a3=S3?當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n=1時，a1綜上所述，an（2）依題意，bn故Tn故3T兩式相減可得，?2=5×=15則Tn【變式2-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，an+1a(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=an?bn【答案】(1)a(2)T【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列通項公式與數(shù)列前n項和Sn之間的關(guān)系，求出數(shù)列an的公差，再根據(jù)n=1求出首項，寫出數(shù)列an通項公式，根據(jù)b（2）寫出數(shù)列cn的通項公式，根據(jù)錯位相消法求出前n項和T【解答過程】（1）由an+1an+1+1相減得an已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，即an+1≠0，可化簡得an+1?an?1=4，即數(shù)列當(dāng)n=1時，a1+1a1+2+1=4a可得a5=2×5?1=9，則由數(shù)列bn為等比數(shù)列可得b2=b1則數(shù)列bn通項公式為b（2）由（1）知an=2n?1,b所以Tn則3T作差的?2T化簡得?2T解得Tn【題型3裂項相消法求和】【例3】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的首項a1=3(1)求證：數(shù)列an(2)記bn=log2an?1，數(shù)列1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證；（2）由裂項相消法求和，可求解得Sn【解答過程】（1）由an+1=2an?1又a1所以an（2）由（1）知，an?1=2×2所以1bSn【變式3-1】（2025·遼寧鞍山·一模）設(shè)an是各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，已知a1=1且an滿足關(guān)系式(1)求a2,a(2)令bn=an+3an【答案】(1)a2=4,(2)5【解題思路】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，結(jié)合各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列；（2）先得出bn【解答過程】（1）a????an+1令cn=a∴即ana2（2）b===由累加法，得：Sn【變式3-2】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求an(2)若b1=1，且bn+1(3)在（2）的條件下，若en=1?n?2n?1b【答案】(1)a(2)b(3)T【解題思路】（1）由an與S（2）將已知等式變形為bn+1+b（3）由裂項相消法求和即可.【解答過程】（1）由Sn=ana以上兩式相減可得Sn?S因為an≠0，所以an+1?a由S1=a1a所以an（2）因為bn+1+b即bn+1因為b1=1,b1?（3）bn=n+1所以Tn【變式3-3】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的首項為2，前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)已知bn=16an+6n?20，記數(shù)列b【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)an+1=S（2）利用裂項相消法可求和，再結(jié)合不等性質(zhì)可得證.【解答過程】（1）由已知Sn+1+2=a即an+1?an=3n?2，則an?等式左右分別相加可得an則an（2）依題意得，bn則Tn又n∈N*，所以19n?3即?1【題型4分組（并項）法求和】【例4】（24-25高二下·重慶·期末）數(shù)列an中，a1=?2(1)證明：數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)證明見解析(2)S【解題思路】（1）由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由題意an【解答過程】（1）由an+1+3an=4n+1所以an?n是首項為a1（2）由（1）得（an?n=?3所以S=1+n【變式4-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an和bn滿足a1(1)求an+b(2)求an和b(3)求an的前n項和S【答案】(1)an+b(2)an(3)Sn【解題思路】（1）根據(jù)已知求an+b（2）由（1）所得通項公式求an和b（3）應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項和公式求Sn【解答過程】（1）由a1因為an則公比為a2+b因為an則公差為(a2?（2）由（1）得an則an（3）由（2）有Sn==2【變式4-2】（2025·貴州黔東南·三模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的首項為2，且a(1)求an(2)設(shè)cn=(?1)nan+【答案】(1)an=2n?3(2)T【解題思路】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前n項和的公式,求出公差,在求出等比數(shù)列公比,求出兩個數(shù)列的通項公式.(2)采用分組求和的方式,分為兩個部分,分別求和.【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為d根據(jù)題意得a1+d+a1所以an可知a5設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,帶入得2q3可知bn（2）有第一問可知an=2n?3,bnT分組得T計算?a計算1b則T2n【變式4-3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3(1)求數(shù)列an的通項公式以及S(2)記數(shù)列1anan+1的前n項和為Tn(3)若數(shù)列bn滿足：bn=【答案】(1)an=3n?2(2)8(3)498【解題思路】（1）求等差數(shù)列的基本量a1（2）令cn（3）由題意先求數(shù)列bn【解答過程】（1）設(shè)公差為d，所以a3所以an=1+n?1（2）令cn所以Tn所以Tn=131?13n+1（3）由題意有bn=m,所以當(dāng)n=1時，m=1，所以b1當(dāng)3m?2<n<3m+1，m=1時，1<n<4，所以b2當(dāng)n=2時，m=4，所以b4=2，當(dāng)m=2時，4<n<7，所以同理得b7=3,b設(shè)數(shù)列bn的前n項和為A所以A=1+2+3+4+5所以數(shù)列bn的前14項和為498【題型5倒序相加法求和】【例5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，an=2n?982n?99A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【解題思路】利用倒敘相加法求和即可.【解答過程】S=aS=a①+②得2S===2+2+?+2+2=98×2，所以S=98.故選：C.【變式5-1】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知f(x)=x3?3x2A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【答案】D【解題思路】先得到f(x)+f(2?x)=?4，然后利用倒序相加來求和即可.【解答過程】f(1?x)+f(1+x)=(1?x)即f(x)+f(2?x)=?4設(shè)M=f1則M=f4045①+②得2M==?4×4045，所以M=?8090，又f4046所以f1故選：D.【變式5-2】（2024·上?！つM預(yù)測）已知fx=12x2+12x，數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)若gx=4x4x+2【答案】(1)a(2)1012【解題思路】（1）由題意得Sn=12n（2）先求得g(x)+g(1?x)=1，bn【解答過程】（1）因為點n,Snn∈所以Sn當(dāng)n=1時，S1=1當(dāng)n≥2時，a=1因為a1所以an（2）因為gx所以g(x)+g(1?x)=4因為an=n，所以所以T=g1又T=g2024①+②，得2T所以T2024【變式5-3】（24-25高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12+a(1)求數(shù)列an(2)求bn(3)求b1【答案】(1)a(2)1(3)99【解題思路】（1）根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時，可得a12+a222+a（2）由（1）得bn=1（3）由（2）知bn【解答過程】（1）由數(shù)列an滿足：a當(dāng)n≥2時，可得a1兩式相減，可得an2n當(dāng)n=1，可得a12=1所以數(shù)列an的通項公式為a（2）由數(shù)列bn滿足b則bn+b（3）由（2）知bn可得b1則b99兩式相加可得2(b1+【題型6含有（-1）n的類型求和】【例6】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）數(shù)列(?1)n?1?nn∈A．1012 B．?1012 C．1013 D．?1013【答案】C【解題思路】通過將數(shù)列的前2025項和進(jìn)行分組，根據(jù)相鄰兩項的規(guī)律，并項求出和.【解答過程】設(shè)數(shù)列{(?1)n?1?n}的前n項和為S可以將相鄰兩項看作一組，即(1?2)，(3?4)，(5?6)，?，(2023?2024)，一共有2024÷2=1012組，還剩下最后一項2025.每一組的值都為?1，例如1?2=?1，3?4=?1，5?6=?1，以此類推.因為一共有1012組，每組的值為?1，所以前2024項分組后的和為1012×(?1)=?1012.S2025等于前2024項分組后的和加上最后一項2025，即S故選：C.【變式6-1】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an=A．64 B．?81 C．100 D．?121【答案】A【解題思路】由并項求和及等差數(shù)列的求和公式即可直接求得答案．【解答過程】an=(?1)設(shè)寫錯項為x，則S?x?x=82，解得x=64，故寫錯之前這個數(shù)為64．故選：A．【變式6-2】（2025·廣東佛山·三模）已知數(shù)列an，bn滿足a1＝1(1)求an(2)設(shè)cn＝2bn【答案】(1)a(2)?20【解題思路】（1）由韋達(dá)定理和等差數(shù)列的定義即可求解；（2）由分組求和法、裂項相消即可求解.【解答過程】（1）因為?an,an+1所以?a所以數(shù)列an因此an（2）由（1）知an=2n?1，對于方程由韋達(dá)定理得anan+1所以c=?1所以S=2×10?41+1?【變式6-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的首項為1，其前n項和為Sn，等比數(shù)列bn(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列(?1)n?2a(3)求使得an≥b【答案】(1)證明見解析(2)Tn(3)6【解題思路】（1）利用an=S1,n=1（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到an=n2，先當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和得到Tn=n（3）求出公比q=2?bn=2n?1，由（2）知，an≥bn，即n2≥2n?1，令cn=n2【解答過程】（1）∵3na∴當(dāng)n≥2時，3n?1式子①-②，化簡得na兩邊同時除以nn+1得a3nan+1?6Sn即3a2?6a1∴a22∴數(shù)列an（2）ann=1+n?1×1=n，則an=當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn∵n∴T當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù).Tn∴T（3）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q∵b1=1,∴由8又∵數(shù)列bn是遞增數(shù)列，∴q=2?由（2）知，an≥b令cn=ndn+1∴當(dāng)n=1時，d2>d1，當(dāng)n=2時，d2即有d1又d1故當(dāng)n≥5時，dn又c1∴a6>b6，當(dāng)n≥7【題型7奇偶項問題討論求和】【例7】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=1，b1(1)求an，b(2)若cn=an,n為奇數(shù)b【答案】(1)an=2n?1(2)S【解題思路】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，進(jìn)而可求得an，b（2）由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可求解．【解答過程】（1）an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公差為d，公比為qq>0，由a1=1，b可得1+2d=2q+15+1+d=2q2則an=2n?1（2）c∴S=n【變式7-1】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，a1(1)求an與b(2)設(shè)cn=an,n=2k?1,k∈N?【答案】(1)an=2n?1，(2)2【解題思路】（1）設(shè)出公差和公比，由題意得到方程組，求出公差和公比，得到通項公式；（2）分組求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項相消法求和，得到答案.【解答過程】（1）an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，bn是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則因為a1=b所以a2?b2=1+d?q=1所以an=1+2n?1（2）cnT===2n【變式7-2】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an+2,n為奇數(shù)(1)求證：數(shù)列bn(2)求數(shù)列bn(3)求T20【答案】(1)證明見解析；(2)bn(3)10170.【解題思路】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用等比數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求出通項公式.（3）由（2），利用分組求和法及等比數(shù)列前n項和公式求解.【解答過程】（1）由an+1=an+2,n則bn+1+2=2(b所以數(shù)列bn（2）由（1）得，bn+2=5×2n?1，所以數(shù)列（3）由（2）得，a2nT=1+3(b【變式7-3】（2025·天津·一模）已知等差數(shù)列an滿足a2+a5=16,a(1)求數(shù)列an(2)在數(shù)列的每相鄰兩項間插入這兩項的和，而形成新的數(shù)列，這樣的過程叫做該數(shù)列的一階“H拓展”．例如，對于數(shù)列1,2,3，一階“H拓展”得到數(shù)列1,3,2,5,3；二階“H拓展”得到數(shù)列1,4,3,5,2,7,5,8,3；……設(shè)n階“H拓展”得到數(shù)列1,x1,x2,?,x（i）求數(shù)列bn（ii）設(shè)數(shù)列cn滿足cn=anbn【答案】(1)a(2)（i）bn=4×【解題思路】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)a（2）（i）根據(jù)bn=1+x1+x2（ii）當(dāng)n為奇數(shù)時，利用錯位相減法求和；當(dāng)n為偶數(shù)時，利用裂項相消法求和，然后再將奇數(shù)項和與偶數(shù)項和相加即可得到數(shù)列cn的前2n項和T【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列{an}因為a2則2a1故an（2）(ⅰ)bnb=3(1+x所以bn+1即bn+1?2b則{bn?2}bn(ⅱ)當(dāng)n為奇數(shù)時，cn記A=c則A=4[3×39A=4[3×3兩式相減，得?8A=4[3×3化簡，得?2A=9+27(1?得A=9n為偶數(shù)時，c記B=c則B==9故T=15【題型8先放縮再裂項求和】【例8】（2024·福建廈門·二模）已知數(shù)列an滿足a1=2（1）證明：數(shù)列1a（2）令bn=1【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解題思路】（1）依題意可得an+1?1=a（2）由（1）可得an=1+1n，則【解答過程】解：（1）因為an+1=2因為a1=2，所以所以1所以1又因為1a1?1（2）由（1）得1an?1所以a1a2所以b=1?即b1【變式8-1】（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1（1）求證：1a（2）求證：Sn【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解題思路】（1）由已知得1an+1=an（2）有（1）知an=3【解答過程】證明：（1）∵數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，∴1an+1+13=41（2）∵1an+13是以43為首項，以4為公比的等比數(shù)列，∴S1=a1=1<當(dāng)n≥3時，∴S<6綜上所述，Sn【變式8-2】（24-25高一下·四川眉山·期末）已知數(shù)列an滿足a1=1，2an+1an+a(1)求證：數(shù)列bn(2)若存在n∈N+，使不等式a1(3)設(shè)正項數(shù)列cn滿足cn2【答案】(1)證明見解析；(2)?∞(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)裂項相消法計算求解；（3）求出通項公式，然后根據(jù)放縮法證明.【解答過程】（1）因為bn+1?b（2）由（1）問可知bn=2n?1；故所以a1a2所以存在n∈N+，使不等式即存在n∈N+，使不等式即存在n∈N+，使不等式n(2n+1)(n+18)因為n(2n+1)(n+18)當(dāng)且僅當(dāng)n=9n，即綜上：實數(shù)λ的取值范圍是：?∞（3）因為bn=2n?1，所以Sn=n因為cn所以cn∴c=n+1?1綜上：原不等式得證．【變式8-3】（2024·廣東惠州·一模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a共有k個正約數(shù)，記為a1，a2，…，ak?1，(1)當(dāng)k=4時，若正整數(shù)a的k個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個a的值；(2)當(dāng)k≥4時，若a2?a1，a3(3)記A=a1a【答案】(1)8或27或125（（首項為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項均可）；(2)證明見解析；(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)題意即可寫出a的一個值；（首項為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項均可）（2）由題意知，a1=1，ak=a，ak?1=aa2，ak?2=aa3，結(jié)合a2?a1，a3?a2，…，（3）由題意知，a1ak=a，a2ak?1=a，【解答過程】（1）（1）當(dāng)k=4時，正整數(shù)a的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，如1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即a=8；或1，3，9，27為27的所有正約數(shù)，即a=27；或1，5，25，125為125的所有正約數(shù)，即a=125；（首項為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項均可）（2）由題意可知，a1=1，ak因為a2?a1，a3則q=a3?化簡得：a32?(又因為a3>1，所以a3所以ak又因為ak=a，ak?1又因為a2>1，所以（3）由題意知，a1ak=a，a2ak?1所以A=a因為1a1a2≤所以A=a2a因為a1=1，a所以A≤a21【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】【例9】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知an是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作Dk,s為刪除數(shù)列an中除以k余數(shù)為s的項，剩下的項按原先后順序不變得到新數(shù)列bn.若an=3n?1，n∈N?，進(jìn)行操作(1)求Sn(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn=log3【答案】(1)S(2)n【解題思路】（1）分析可知bn=a（2）整理可得cn【解答過程】（1）因為an=3n?1，可知a1進(jìn)行操作D3,1，即刪除a1，剩余則bn=a所以Sn（2）由（1）可知cn則1c所以數(shù)列1cncn+1的前【變式9-1】（2025·河北·模擬預(yù)測）設(shè)t>1，n≥1，n∈N，若各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足1tan<(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=1?a(2)若數(shù)列an滿足a1=（i）證明：數(shù)列an具有性質(zhì)“P（ii）記數(shù)列an的前n項和為Tn，證明：【答案】(1)具有，理由見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系求出通項公式，再利用否具有性質(zhì)“P(4)”的定義推理判斷.（2）（i）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性再證明不等式；（ii）由（i）的結(jié)論，利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式推理得證.【解答過程】（1）數(shù)列an中，Sn=1?an，當(dāng)n≥2而a1=S1=1?a1則an=(12正項數(shù)列an滿足14an<（2）（i）函數(shù)f(x)=ln(ex?1)?函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則h(x)<h(0)=0，即ex任意x>0，f(x)=ln(ex?1)?lnx>0，而a于是an+1令g(x)=xex?(函數(shù)g(x)=xex?(ex當(dāng)x>0時，xex>ex則an+1?a依題意，an+1令u(x)=ln(e令函數(shù)t(x)=ex?1?x令函數(shù)φ(x)=e23x?1?13當(dāng)x>0時，φ(x)>φ(0)=0，t′(x)>0，函數(shù)t(x)在當(dāng)x>0時，t(x)>t(0)=0，即當(dāng)x>0時，ex?1>xe因此當(dāng)x>0時，u(x)>0，又an>0，則于是ln(ean?1)?所以數(shù)列an具有性質(zhì)“P(3)（ii）由（i）知，an+1>1當(dāng)n≥2，n∈N?時，當(dāng)n=1時，T1當(dāng)n≥2時，Tn所以Tn【變式9-2】（2025·河南·二模）定義：在數(shù)列an中，隨著nn≥3的增大，an的個數(shù)按照一定的規(guī)律逐漸增加，則稱an為“個數(shù)發(fā)散數(shù)列”.記數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)當(dāng)n=3，4，5時，求an，并驗證a(2)當(dāng)n=5時，在所有an中隨機(jī)抽取3個數(shù)列，記S5=1的an的個數(shù)為X，求(3)當(dāng)n≥3，an+4=a【答案】(1)答案見解析(2)分布列見解析，E(X)(3)S【解題思路】（1）先對已知等式變形化簡，得出遞推關(guān)系，再根據(jù)遞推關(guān)系分情況確定數(shù)列，最后根據(jù)不同n值確定數(shù)列個數(shù)判斷是否為“個數(shù)發(fā)散數(shù)列”；（2）通過組合數(shù)計算隨機(jī)變量X取不同值的概率，進(jìn)而得到分布列，再根據(jù)期望公式計算期望；（3）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系判斷數(shù)列的性質(zhì)，通過分類討論a3的值來計算數(shù)列的前n項和S【解答過程】（1）已知Sn+1所以(S進(jìn)一步整理得(S所以Sn+1?S當(dāng)n≥2時，由an=SSn+1所以an+1+a確定不同n時數(shù)列個數(shù)：n=3時，已知a1=1,a2=3若an+1+an=0，則an=4時，按上述規(guī)則繼續(xù)推導(dǎo)，有4個數(shù)列，分別為：1，3，5，7；1，3，5，?5；1，3，?3，?1；1，3，?3，3；n=5時，同理可得有7個數(shù)列，分別為：1，3，5，7，9；1，3，5，?5，?3；1，3，5，?5，5；1，3，5，7，?7；1，3，?3，?1，1；1，3，?3，3，5；1，3，?3，3，?3；隨著n增大，數(shù)列{an}（2）當(dāng)n=5時，S5=1的情況有3種：1，3，5，?5，?3；1，3，?3，?1，1；1，3，?3，3，所以X的取值為：0，1，2，3，P(X=0)=C43P(X=2)=C32則X分布列為：X0123P418121根據(jù)期望公式E(X)=0×4（3）當(dāng)n≥3，由an+4=an及an+1由an+3=?an及an+1由an+2=an及an+1即當(dāng)n≥3，若an+4=a由an+4=an及an+1由an+3=an?2及a由an+2=an?4及a這與an+1所以當(dāng)n≥3時，若an+4=a即當(dāng)n≥3時，an分類討論計算Sn若a3=?3，則當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn若a3=5，則當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn則數(shù)列{an}的前n【變式9-3】（2025·湖北·三模）已知數(shù)列A:a1,a2,?,ann≥4，其中a1,a2,?,an∈Z，且a1<a2<?<an(1)直接寫出數(shù)列A:1,3,6,7,8的所有“調(diào)節(jié)數(shù)列”B；(2)若數(shù)列A滿足通項an=2nn∈N*，將數(shù)列A的“調(diào)節(jié)數(shù)列”中的遞增數(shù)列記為Bk，數(shù)列(3)已知數(shù)列A滿足：a1=1,an=2025，若數(shù)列A【答案】(1)B(2)n(3)所有符合條件的數(shù)列A共有2026?n個【解題思路】（1）根據(jù)“調(diào)和數(shù)列”B的定義，即可求解；（2）根據(jù)條件依次寫出滿足條件的Bk（3）首先由數(shù)列A為遞增數(shù)列，則條件ai?1+1<ai+1①，ai+1?1<ai+2【解答過程】（1）B1（2）因為a1=2,an=2n而bi共有n?2項，則“調(diào)節(jié)數(shù)列”Bk共有不妨設(shè)B1:2,3,5,…2n?3,2nB2:2,3,5,…2n?5,2n?1,2n依此類推Bn?1:2,5,7,…2n?3,2n?1,2n故i=1=2=2=2=（3）依題意，對任意i=2,3,?,n?2，有bi=ai?1+1因為B均為遞增數(shù)列，所以biai?1+1<ai+1①，a因為A為遞增數(shù)列，因此①和②恒成立.又因為A為整數(shù)數(shù)列，對于③，ai?1對于④，一方面，由ai+1?1<ai+1另一方面，ai+1所以ai+1即A從第2項到第n?1項是連續(xù)的正整數(shù)，所以a2因此2≤a故a2共有2026?n種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列A共有2026?n一、單選題1．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，Tn是數(shù)列Snn的前n項和.若SA．49 B．50 C．51 D．52【答案】C【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題意，列出方程組求得a1,【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因為S4=12，S8所以Sn=3n所以T12故選：C.2．（2025·北京海淀·三模）等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0，若a2,a6A．51 B．66 C．?39 D．6【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，列式求出公差，進(jìn)而求出前6項和.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a2,又d≠0，解得d=3，所以an的前6項和S故選：A.3．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）若an+n是等比數(shù)列，且a1=2,aA．689 B．716 C．729 D．1597【答案】C【解題思路】先求出an+n的公比，再求出an【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an+n的公比為q，則所以an+n=a故數(shù)列an的前8項和為3×故選：C.4．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知an為各項均為整數(shù)的等比數(shù)列，且a2a4=16,a2+2a3=6A．43 B．85 C．110 D．127【答案】A【解題思路】首先根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列an的首項和公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出S【解答過程】根據(jù)題意，已知a2得到a2解得a2=?2,q=?2．則故S7故選：A．5．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足：a1=2，an+1=a1+2a2+3a3A．18?12029! B．16?【答案】B【解題思路】當(dāng)n=1時，求出a2的值，當(dāng)n≥2時，由an+1=a1+2a2+3a3【解答過程】因為數(shù)列an滿足：a1=2當(dāng)n=1時，a2當(dāng)n≥2時，由an+1=a兩個等式作差得an+1?an=n當(dāng)n≥3時，an=a1?故當(dāng)n≥2時，an所以b=n+3因此，S2025故選：B.6．（2025·河北·模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，已知a1=1,anan+1=an+1A．?12+C．?1+(?1)nn+1【答案】C【解題思路】由anan+1=an+1得，1【解答過程】由anan+1=a則數(shù)列1an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1a所以bn所以Tn故選：C．7．（2025·江蘇·三模）設(shè)cn=an+bn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，且a1=A．1078 B．1077 C．567 D．550【答案】A【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，其中d≠0，由題意得出b22=b1b3，可得出a22=a【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，其中由題意b22=b1b3因為d≠0，所以d=1，故an所以b2=a2=2又因為cn所以數(shù)列cn的前10項和為=10×故選：A.8．（24-25高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=4，an+1=5an+2×5A．a(chǎn)B．TC．a(chǎn)D．8【答案】D【解題思路】利用遞推關(guān)系式構(gòu)造出等差數(shù)列，可求出數(shù)列an【解答過程】由題意，an+1=5an+2×設(shè)bn=an5所以，數(shù)列bn是首項為45，公差為則bn=4所以，Tn則5T兩式相減可得?4Tn=4×所以Tn對于C，an+1對于D，8Tn=則8T故選：D.二、多選題9．（2025·江西·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列an+3的前n項積為TnA．a(chǎn)3=12 C．S5=109 【答案】BCD【解題思路】根據(jù)遞推關(guān)系即可判斷A選項；再利用迭代法可求數(shù)列an【解答過程】因為a1=1,an+1?an==2則an=2n+1?3S5an+3=2故選：BCD.10．（2025·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列an滿足a1+2a2+?+2A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．SnD．?dāng)?shù)列{1a【答案】ABD【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式求出通項公式判斷AB；求出前n項和并結(jié)合等差數(shù)列定義判斷C；利用裂項相消法求和判斷D.【解答過程】數(shù)列an中，a對于A，a1對于B，a1+2a解得an+1=n+2，當(dāng)n≥2時，an=n+1，而所以an對于C，Sn=n(2+n+1)S3n對于D，1ana故選：ABD.11．（2025·四川成都·三模）已知公差為1的等差數(shù)列an滿足a1,A．a(chǎn)B．a(chǎn)n的前n項和為C．1anD．(?1)n?1a【答案】ABD【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等比中項列方程求解判斷A，由等差數(shù)列求和公式判斷B，利用裂項相消法求和判斷C，根據(jù)通項公式并項求和可判斷D.【解答過程】對于A，因為a1,a3,a7對于B，an的前n項和為n對于C，因為1a所以1ana對于D，因為(?1)n?1所以(?1)n?1an故選：ABD.三、填空題12．（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=3，an+1+【答案】24【解題思路】先依題意計算a2，判斷a2n?1和【解答過程】因為a1=3，an+1+a又an+1則an+2由②-①，得an+2所以a2n?1是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2n是以所以a2n?1=2n+1，所以a7=2×4+1=9，所以S=4×故答案為：24.13．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an=2n+1n【答案】?【解題思路】由題意得an【解答過程】由題意得an==?故答案為：?202714．（2025·重慶·三模）數(shù)列an滿足an+1+?1nan=3n+1【答案】7700【解題思路】根據(jù)題意得當(dāng)n為偶數(shù)時an+an+2=6n+5【解答過程】∵a①當(dāng)n為偶數(shù)時，∵an+1+an∴a2+…∴a∴a②當(dāng)n為奇數(shù)時，∵an+1?∴a∴a1+a3∴a∴==75+7625=7700故答案為：7700.四、解答題15．（20