襄陽(yáng)四中2024級(jí)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2?iz=i2022，則zA.?15i B.?15 2.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色各不相同的概率為A.19 B.29 C.133.直線(xiàn)xcosα+A.π6,π2∪π2,54.若平面α的法向量為u=?1,2,4，平面β的法向量為v=m,?1,?2，直線(xiàn)l的方向向量為A.若α//β，則m=1 B.若l⊥α，則n=2

C.若n=20，則l//α D.若m=?10，則α⊥β5.公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體．公元前200年，阿基米德把這5種正多面體進(jìn)行截角操作(即切掉每個(gè)頂點(diǎn))，發(fā)現(xiàn)了5種對(duì)稱(chēng)的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但各個(gè)面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計(jì)，則圖2所示的足球截面體的棱數(shù)為(

)

A.60 B.90 C.120 D.1806.已知跳水比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績(jī)互不相等，記為xii=1,2,3,4,5，平均數(shù)為x，隨機(jī)刪去其任一輪的成績(jī)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為yii=1,2,3,4，平均數(shù)為A.兩組數(shù)據(jù)的極差不可能相等

B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能相等

C.若x=y，則兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等

D.若x=7.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x?2A.5 B.6 C.7 D.88.如圖，在直角△ABC中，AB=3，AC=3，點(diǎn)P是邊AB上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC,CA邊反射后又回到點(diǎn)P，若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)?ABC的重心，則△PQR的面積等于

A.56 B.45 C.34二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。A.過(guò)點(diǎn)?10,?10且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線(xiàn)的方程為x+2y?10=0

B.向量a=4,?3是直線(xiàn)3x?4y?3=0的一個(gè)方向向量

C.若直線(xiàn)l1:x?2y+1=0與l2:2x+ay?2=0平行，則l1與l2的距離為10.在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)：他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45°的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)C，D，E，使點(diǎn)B，C，D共線(xiàn)，點(diǎn)B位于點(diǎn)D的正西方向上，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的正東方向上，測(cè)得CD=CE=100m，∠BAD=75°，∠AEC=120°，A.AD=200m B.△ADC的面積為10003m2

C.AB=1006m D.11.如圖，圓錐VAB內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，AB為底面圓O1的直徑，球O與母線(xiàn)VA，VB分別切于點(diǎn)C，D.若△VAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，MN為底面圓O1的一條直徑(MN與AB不重合)，則下列說(shuō)法正確的是

A.球O的表面積為4π3

B.圓錐VAB的側(cè)面積為4π

C.四面體CDMN的體積的取值范圍是0,36

D.若P第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A?2,5，B4,1兩點(diǎn)到直線(xiàn)x?my+2=0的距離相等，則m=

．13.如圖，在?ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線(xiàn)AM,BN相交于點(diǎn)P，則∠MPN的余弦值為

.

14.在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國(guó)選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍．乒乓球決賽采用7局4勝制．在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方．在10∶10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為23，樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為12，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10∶10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至13:11的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷(xiāo)形式，某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖①所示，為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用按比例分層隨機(jī)抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．(1)應(yīng)抽取小吃類(lèi)商家多少家？(2)在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(單位：元)，所得頻率直方圖如圖②所示．①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)；②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱(chēng)為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．16.(本小題15分)已知圓C：x?12(1)過(guò)點(diǎn)P3,2向圓C作切線(xiàn)l，求切線(xiàn)l(2)若Q為直線(xiàn)m：3x?4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q向圓C作切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，求QM的最小值．17.(本小題15分)

在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)O．

(1)證明：在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥18.(本小題17分)

在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2A?sinAsinBcos2B?cos2C=1．

(1)若c=3，a+b=19.(本小題17分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為d.對(duì)于點(diǎn)P和圖形W給出如下定義：點(diǎn)Q是圖形W上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好為d，則稱(chēng)點(diǎn)P為圖形W的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖1，圖形W是矩形AOBC，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3)，求出d的值．在點(diǎn)P1(?1,0)，P2(2,8)，P3(3,1)，P4(?21,?2)中，哪些點(diǎn)為矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”？

(2)如圖2，圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形DEFG，其中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1).若直線(xiàn)y=x+b上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為正方形DEFG的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求b的取值范圍；(3)已知點(diǎn)M(1,0)，N(0,3).圖形W是以T(t,0)為圓心，1為半徑的答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由(2?i)z=i4×505+2=?1，則z=?12.【答案】B

【解析】解：每次摸取有3種顏色選擇，有放回地摸取3次，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總基本事件數(shù)為3×3×3=27，

3次摸取顏色各不同，即從3種顏色中選3種排列，

第1次有3種選擇，第2次不能與第1次相同有2種選擇，第3次不能與前兩次相同有1種選擇，

符合條件的事件數(shù)為3×2×1=6，

所以所求概率為627=29．3.【答案】B

【解析】解：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為θ，

則tanθ=?13cosα，

又?1≤cosα≤1，

∴?33≤tanθ≤33，4.【答案】D

【解析】對(duì)于A，由α/?/β，得u//v，則m?1=?12=?24，解得m=12，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，由l⊥α，得l//u，則n?1=?22=?44，解得n=1，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，由n=20，得l=(20,?2,?4)，l?u=?20?4?16=?40≠0，則l與平面法向量不垂直，則l與平面α5.【答案】B

【解析】解：易知正二十面體有20個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，每個(gè)頂點(diǎn)都是5條棱的交點(diǎn)，每條棱都是兩個(gè)面的公共邊，

所以正二十面體的棱數(shù)為3×202=30，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×205=12，

由圖象可知正二十面體的每個(gè)頂點(diǎn)截角后為一個(gè)正五邊形，即每個(gè)頂點(diǎn)處增加了5條棱；

原來(lái)的30條棱數(shù)量不變，所以足球截面體的棱數(shù)為12×5+30=90．

故選：B．6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槲遢喌某煽?jī)互不相等，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4<x5，

對(duì)于A，若隨機(jī)刪去任一輪的成績(jī)，恰好不是最高成績(jī)和最低成績(jī)，

此時(shí)新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，當(dāng)12(x2+x4)=x3時(shí)，若隨機(jī)刪去的成績(jī)是x3，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，若x=y，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，

根據(jù)方差的計(jì)算公式，分子不變，分母變小，此時(shí)方差會(huì)變大，故C正確；

對(duì)于D，在按從小到大的順序排列的5個(gè)數(shù)據(jù)中5×60%=3，

此時(shí)原數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即x3+x7.【答案】D

【解析】解：圓

C1：

x2+y2=4和圓

C2：

又點(diǎn)P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上，即a+b=2，則1=?5+=8(當(dāng)且僅當(dāng)b=3a，即a=12，b=3即1a+98.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AC分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，

則B(3,0)，C(0,3)，

所以直線(xiàn)BC的方程為x+y?3=0，△ABC的重心為(1,1)，

設(shè)點(diǎn)P(a,0)，其中0<a<3，則點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(x,y)，

滿(mǎn)足a+x2+0+y2?3=0y?0x?a×(?1)=?1，解得x=3，y=3?a，即P1(3,3?a)，

易得點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2(?a,0)，

由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點(diǎn)共線(xiàn)，

直線(xiàn)QR的斜率k=3?a?03?(?a)=3?a3+a，

所以直線(xiàn)QR的方程為y=3?a3+a(x+a)，

由于直線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心(1,1)，代入得1=3?a3+a(1+a)，

化簡(jiǎn)得a=1或a=0(舍去)，故點(diǎn)P(1,0)，點(diǎn)P1(3,2)，點(diǎn)P2(?1,0)，

直線(xiàn)QR的方程為y=12(x+1)，即x?2y+1=0，

聯(lián)立x+y?3=09.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知直線(xiàn)斜率存在且不為0，

設(shè)直線(xiàn)方程為y?10=k(x+10)，

令x=0，解得y=10k+10，

令y=0，解得x=?10k?10，

因?yàn)樵撝本€(xiàn)在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，

所以?10k?10=2(10k+10)，

即2k2+3k+1=0，

解得k=?1或k=?12，

所以直線(xiàn)方程為y=?x或x+2y?10=0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：直線(xiàn)3x?4y?3=0的斜率為34，方向向量為λ(1,34)(λ≠0)，

當(dāng)λ=4時(shí)，方向向量為(4,3)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€(xiàn)l1：x?2y+1=0與l2：2x+ay?2=0平行，所以a=?4，

由l1：x?2y+1=0得2x?4y+2=0，

則直線(xiàn)2x?4y+2=0與直線(xiàn)2x?4y?2=0之間的距離d=|?2?2|22+(?4)2=255，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查利用正余弦定理解三角形，屬于較難題．對(duì)于A，先求出∠ADB=60°，∠ADC=120°，∠B=45對(duì)于B，根據(jù)三角形的面積公式求解即可判斷；對(duì)于C，在?ABD中，由正弦定理ABsin∠ADB對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，易知∠DAG=30【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)椤螧AD=75°，點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西所以∠B=45°，∠ADB=60又∠AEC=∠ADC=120°，CD=CE=100m，AC=AC，在?AEC，△ADC中，AC2=AE2+CE對(duì)于B，△ADC的面積為12×AD×CD×sin對(duì)于C，在?ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB=ADsin對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，易知∠DAG=30°，所以∠CAG>30故選：AC．11.【答案】ACD

【解析】解：A選項(xiàng)，連接VO1，等邊三角形VAB內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O在線(xiàn)段VO1上，

又等邊三角形VAB的邊長(zhǎng)為2，所以|AO1|=1，|VO1|=3，

則球O的半徑為r=|OO1|=|AO1|tan30°=33，

所以球O的表面積為4πr2=4π3，故A正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為π×1×2=2π，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由題意可得四面體CDMN被平面VAB截成體積相等的兩部分，

設(shè)M到平面VAB的距離為d(0<d≤1)，

因?yàn)榍騉的半徑r=33，三角形CO1D為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為m，

則m=2rsin60°=1，

所以三角形CO1D的面積為12×12sin60°=34，

即VCDMN=2VM?CDD1=2×13×34d=36d∈(0,36]，故C正確；

D12.【答案】1或?3【解析】解：因?yàn)锳(?2,5)，B(4,1)兩點(diǎn)到直線(xiàn)x?my+2=0的距離相等，

所以有|?2?5m+2|12+(?m)2=|4?m+2|12+(?m)2，

所以|5m|=|6?m|，

所以13.【答案】491【解析】【分析】本題考查余弦定理，向量的線(xiàn)性運(yùn)算和向量的數(shù)量積，屬于拔高題．

先利用余弦定理求出BC，AM，BN，然后利用向量的數(shù)量積和線(xiàn)性運(yùn)算求出AM·【解答】

解：∵AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線(xiàn)AM，BN相交于點(diǎn)P，

在△ABC中，由余弦定理可知BC=AB2+AC2?2AB·ACcosA=4+25?2×2×5×12=19，

在△ABM中，cosB=?AB2+(BC2)2?AM22·AB·BC2?，

在△ABC中，cosB=AB2+BC2?AC22AB·BC，14.【答案】14【解析】【分析】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

在比分為10：10后甲先發(fā)球的情況下，分兩種情況討論：甲以13：11贏下此局和乙以13：11贏下此局，由此即可求出所求事件概率．【解答】

解：記甲為馬龍，乙為樊振東，

在比分為10:10后，甲先發(fā)球的情況下，甲以13:11贏下此局分兩種情況;

?①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：P1=23×12×23×12=19，

?②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，P2=13×12×23×12=118，

所以，甲以13:11贏下此局的概率為P1+15.【答案】解：(1)根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類(lèi)80×1?30%?15%?10%?5%?5%(2)①根據(jù)題意可得0.002×3+2a+0.006×50=1，解得a=0.004設(shè)第75百分位數(shù)為x，因?yàn)?.002+0.004+0.006×50=0.6<0.75，0.002+0.004+0.006+0.004所以x?450×0.004+0.6=0.75，解得x=487.5所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)為487.5元．

②500?48050×0.004+0.002+0.002所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為280．

【解析】本題考查頻率分布直方圖，分層抽樣，百分位數(shù)，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，屬于中檔題．

(1)根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合圖①求解即可；(2)①先根據(jù)頻率和為1求出a，然后列方程求解第75百分位數(shù)；②根據(jù)頻率分布直方圖求出平均均日利潤(rùn)超過(guò)480元的頻率，然后乘以1000可得答案．16.【答案】解：(1)切線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，x=3滿(mǎn)足條件．

切線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y?2=k(x?3)，即kx?y+2?3k=0，

圓心C(1,?1)到切線(xiàn)l的距離=|k+1+2?3k|k2+1=2，解得k=512，

可得切線(xiàn)方程為：5x?12y+9=0，

綜上可得切線(xiàn)l的方程為：x=3，或5x?12y+9=0．

(2)當(dāng)CQ⊥m時(shí)，【解析】本題考查了直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

(1)切線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，x=3滿(mǎn)足條件．切線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y?2=k(x?3)，即kx?y+2?3k=0，利用切線(xiàn)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式即可得出k．

(2)當(dāng)CQ⊥m時(shí)，|QM|取得最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得|CQ|min，利用勾股定理可得17.【答案】解：(1)證明：連接AO，

在△AOA1中，作OE⊥AA1于點(diǎn)E，

∵AA1/?/BB1，∴OE⊥BB1，

∵A1O⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴A1O⊥BC，

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

A1O?AO=O，A1O，AO?平面AA1O，

∴BC⊥平面AA1O，

又OE?平面AA1O，∴BC⊥OE，

BC?BB1=B，BC，BB1?平面BB1C1C，

∴OE⊥平面BB1C1C，

又AO=AB2?BO2=1，AA1=5，

得AE=AO2AA1=55，

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，O【解析】本題考查線(xiàn)面垂直的判定，平面與平面所成角的向量求法，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

(1)連接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于點(diǎn)E，則E為所求．可以證出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以證明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．

(2)分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線(xiàn)為x，y，18.【答案】解：(1)因?yàn)?/p>

sin2A?sinAsin所以

sin2由正弦定理得

a2?ab=c2?b由余弦定理得

cosC=a2+b2?c22ab又因?yàn)?/p>

c=3

，

a+b=6

，所以即

32=62?3ab

，解得

ab=1

，設(shè)

AB

邊上的角平分線(xiàn)

則

S=12a+bxsinC即

32=62x

，解得

x=22

，即

AB(2)延長(zhǎng)

AF

交

BC

于

M

，延長(zhǎng)

BF

交

AC

于

E

，

設(shè)

∠BCF=θ,θ∈0,π所以

∠ACF=π3?θ

，在

Rt?CMF

中

在

?CEB

中，

∠ECB=π3

，

∠BEC=π2

，所以在

Rt?BMF

中

BF=MFsin同理可得在

Rt?AEF

中

AF=2EF=12sinπ3?θ

==2因?yàn)?/p>

θ∈0,π3

，所以

θ2∈0,所以

32tanθ2+12

【解析】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．(1)先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出

C

.利用余弦定理求出

ab

，再由等面積法計(jì)算可得答案；(2)延長(zhǎng)

AF

交

BC

于

M

，延長(zhǎng)

BF

交

AC

于

E

，設(shè)

∠BCF=θ,θ∈0,π3

，分別求出

AF

、

19.【答案】解：(1)如圖1，圖形W是矩形AOBC，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3)，

矩形AOBC的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為32+42=5，這也是矩形中任意兩點(diǎn)距離的最大值，所以d=5