圓的一般方程公開(kāi)課課件1contents目錄圓的基本概念與性質(zhì)圓的一般方程及其推導(dǎo)直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓的切線性質(zhì)及應(yīng)用圓的綜合應(yīng)用舉例201圓的基本概念與性質(zhì)303圓的表示方法一般用圓心和半徑表示，如圓O，半徑為r。01圓的定義平面上所有與定點(diǎn)（圓心）距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合。02基本要素圓心、半徑。圓的定義及基本要素4123圓的中心，用字母O表示。圓心連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，用字母r表示。半徑通過(guò)圓心且兩端點(diǎn)都在圓上的線段，用字母d表示，d=2r。直徑圓心、半徑與直徑5C=2πr，其中π為圓周率，約等于3.14159。周長(zhǎng)公式S=πr2。面積公式圓的周長(zhǎng)和面積公式6圓弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分。扇形由兩個(gè)半徑和它們所夾的圓弧圍成的圖形。弓形由弦及其所對(duì)的弧圍成的圖形。圓弧、扇形及弓形區(qū)域702圓的一般方程及其推導(dǎo)8$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$標(biāo)準(zhǔn)方程形式$(a,b)$圓心坐標(biāo)$r$半徑表示以點(diǎn)$(a,b)$為圓心，$r$為半徑的圓方程意義圓的標(biāo)準(zhǔn)方程回顧9$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$一般方程形式通過(guò)配方將標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為一般方程形式，即$(x+frac{D}{2})^{2}+(y+frac{E}{2})^{2}=frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$推導(dǎo)過(guò)程表示一個(gè)圓，其中$D,E,F$為常數(shù)，且$D^{2}+E^{2}-4F>0$方程意義一般方程形式及推導(dǎo)過(guò)程10$(-frac{D}{2},-frac{E}{2})$圓心坐標(biāo)求解$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$半徑求解在求解過(guò)程中要確保$D^{2}+E^{2}-4F>0$，否則方程不表示一個(gè)圓。注意事項(xiàng)圓心坐標(biāo)和半徑求解方法11$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，此時(shí)$D=E=0$，$F=-r^{2}$圓心在原點(diǎn)$x^{2}+y^{2}+Dx=0$，此時(shí)$E=0$，圓心坐標(biāo)為$(-frac{D}{2},0)$圓心在x軸上$x^{2}+y^{2}+Ey=0$，此時(shí)$D=0$，圓心坐標(biāo)為$(0,-frac{E}{2})$圓心在y軸上$x^{2}+y^{2}=a$，此時(shí)$D=E=0$，$F=-a$半徑為$sqrt{a}$的圓特殊情況下的圓方程1203直線與圓的位置關(guān)系13直線方程與圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，判斷其判…若$Delta>0$，則直線與圓相交。要點(diǎn)一要點(diǎn)二利用圓心到直線的距離$d$與圓的半徑$r$比較若$d<r$，則直線與圓相交。直線與圓相交條件判斷14直線方程與圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，判斷其判…若$Delta=0$，則直線與圓相切。要點(diǎn)一要點(diǎn)二利用圓心到直線的距離$d$與圓的半徑$r$比較若$d=r$，則直線與圓相切。直線與圓相切條件判斷15直線方程與圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，判斷其判…若$Delta<0$，則直線與圓相離。要點(diǎn)一要點(diǎn)二利用圓心到直線的距離$d$與圓的半徑$r$比較若$d>r$，則直線與圓相離。直線與圓相離條件判斷161.例1判斷直線$l:x+y=1$與圓$C:x^2+y^2=1$的位置關(guān)系。解析首先計(jì)算圓心$(0,0)$到直線$l$的距離$d=frac{|0+0-1|}{sqrt{1^2+1^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圓的半徑$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}<1$，因此直線與圓相交。2.例2判斷直線$l:x-y+1=0$與圓$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$的位置關(guān)系。典型例題解析17解析首先計(jì)算圓心$(1,1)$到直線$l$的距離$d=frac{|1-1+1|}{sqrt{1^2+(-1)^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圓的半徑$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}=r$，因此直線與圓相切。3.例3判斷直線$l:2x+y+3=0$與圓$C:x^2+y^2-4x+6y+9=0$的位置關(guān)系。解析將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式$(x-2)^2+(y+3)^2=4$，得到圓心$(2,-3)$和半徑$r=2$。計(jì)算圓心到直線的距離$d=frac{|2times2+(-3)+3|}{sqrt{2^2+1^2}}=frac{4sqrt{5}}{5}$。由于$frac{4sqrt{5}}{5}>2$，因此直線與圓相離。典型例題解析1804圓與圓的位置關(guān)系19兩圓相交條件判斷兩圓圓心距小于兩圓半徑之和，且大于兩圓半徑之差，則兩圓相交。通過(guò)比較兩圓方程，消元后得到一元二次方程，若該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則兩圓相交。20兩圓相切條件判斷兩圓圓心距等于兩圓半徑之和或兩圓半徑之差，則兩圓相切。通過(guò)比較兩圓方程，消元后得到一元二次方程，若該方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則兩圓相切。21VS兩圓圓心距大于兩圓半徑之和或小于兩圓半徑之差（包含內(nèi)含情況），則兩圓相離。通過(guò)比較兩圓方程，消元后得到一元二次方程，若該方程無(wú)實(shí)根，則兩圓相離。兩圓相離條件判斷22例題1已知兩圓的方程分別為$x^2+y^2=4$和$(x-3)^2+(y-4)^2=9$，判斷兩圓的位置關(guān)系。解析首先求出兩圓的圓心距為5，再求出兩圓的半徑分別為2和3。由于圓心距大于半徑之差且小于半徑之和，所以兩圓相交。例題2已知兩圓的方程分別為$x^2+y^2+2x-4y-4=0$和$x^2+y^2-2x+8y-20=0$，判斷兩圓的位置關(guān)系。解析將兩個(gè)圓的方程聯(lián)立消元得到一個(gè)二次方程，求解該方程的判別式。由于判別式小于0，所以該方程無(wú)實(shí)根，因此兩圓相離。01020304典型例題解析2305圓的切線性質(zhì)及應(yīng)用24與圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線。切線的定義切線的性質(zhì)定理推論1推論2圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。切線性質(zhì)定理回顧25切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。應(yīng)用舉例利用切線長(zhǎng)定理可以解決與切線長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，如求切線長(zhǎng)、證明線段相等、證明角相等或互補(bǔ)等。切線長(zhǎng)定理及應(yīng)用舉例26切線在幾何證明中的應(yīng)用通過(guò)構(gòu)造相似三角形并利用切線性質(zhì)定理來(lái)證明比例關(guān)系。利用切線性質(zhì)定理和相似三角形證明比例關(guān)系通過(guò)證明直線與半徑垂直來(lái)證明直線是圓的切線。利用切線性質(zhì)定理證明直線與圓相切通過(guò)構(gòu)造切線并利用切線長(zhǎng)定理來(lái)證明線段相等或角相等。利用切線長(zhǎng)定理證明線段相等或角相等27解析例題2解析典型例題解析要證明DB為⊙O的切線，只需證明DB⊥OC。由于AD=DB，所以∠DAB=∠DBA。又因?yàn)镺A⊥l，所以∠OAB=90°，從而∠DAB+∠OAB=90°。因此，∠DBA+∠OAB=90°，即DB⊥OC。所以，DB為⊙O的切線。已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠D=30°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)___°。連接OC，由于CD是⊙O的切線，所以O(shè)C⊥CD。在Rt△OCD中，∠D=30°，所以∠COD=60°。又因?yàn)镺A=OC，所以∠A=∠OCA=30°。因此，∠A的度數(shù)為30°。2806圓的綜合應(yīng)用舉例29圓的方程與性質(zhì)掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的性質(zhì)，如圓心、半徑、直徑等。直線與圓的位置關(guān)系理解直線與圓的三種位置關(guān)系——相離、相切、相交，并能運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題。圓錐曲線的綜合應(yīng)用了解橢圓、雙曲線等圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)，并能與圓的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，解決綜合問(wèn)題。涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合問(wèn)題30圓形物體的運(yùn)動(dòng)軌跡如研究行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡、電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的軌跡等。圓形物體的碰撞和反彈如研究?jī)蓚€(gè)圓形物體碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、光線在圓形鏡子上的反射等。圓形物體的面積和周長(zhǎng)計(jì)算如計(jì)算圓形花壇的面積、圓形水池的周長(zhǎng)等。實(shí)際問(wèn)題中圓的模型建立31創(chuàng)新性地構(gòu)建圓的模型如將實(shí)際問(wèn)題中的非圓形物體抽象為圓形模型，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題并找到解決方案。創(chuàng)新性地結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)如將圓的知識(shí)點(diǎn)與三角函數(shù)、向量等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，解決更為復(fù)雜的問(wèn)題。創(chuàng)新性地運(yùn)用圓的性質(zhì)如利用圓的對(duì)稱性簡(jiǎn)化問(wèn)題、利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性解決問(wèn)題等。創(chuàng)新思維在解決復(fù)雜問(wèn)題中運(yùn)用32已知圓C的方程為x^2+y^2=4，直線l