猜題02平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）（拔尖必刷52題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系平行線與三角板綜合利用平行線的性質(zhì)與判定解決角的定值問題利用平行線之間的距離解決實(shí)際問題利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行化簡利用網(wǎng)格求三角形的面積與平行線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題與角平分線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題雙角平分線模型與折疊有關(guān)的三角形、平行線的計(jì)算三角板拼接模型與三角形角度計(jì)算有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題與三角形角度計(jì)算有關(guān)的新定義問題復(fù)雜多邊形的內(nèi)角和平面鑲嵌一．根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系（共3小題）1．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·期中）已知AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°．(1)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，則∠EPF=；(2)如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC(3)如圖3，點(diǎn)P在EF左側(cè)，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分線QE，QF交于點(diǎn)Q，∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2．（22-23七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為______；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在(2)如圖3，若點(diǎn)P，Q都在EF的左側(cè)，且EP，F(xiàn)P分別平分∠AEQ，∠CFQ，則(3)如圖4，若點(diǎn)P在EF的左側(cè)，點(diǎn)Q在EF的右側(cè)且EP，F(xiàn)P分別平分∠AEQ，∠CFQ，3．（23-24七年級(jí)上·湖南長沙·期末）如圖1，AB∥CD，G為(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：(2)如圖2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點(diǎn)(3)如圖3，若點(diǎn)H是射線EB之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點(diǎn)G作GQ⊥FM于點(diǎn)Q，請(qǐng)猜想∠EHF與二．平行線與三角板綜合（共3小題）4．（22-23七年級(jí)下·廣西貴港·期末）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們“借助兩條平行線AB、CD和一副直角三角板”開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．即：已知直線AB∥CD和一副直角三角板．

【操作判斷】如圖1，小華把一個(gè)三角板45°角的頂點(diǎn)F、G分別放在直線AB、CD上，請(qǐng)直接寫出∠AFE與∠CGE的數(shù)量關(guān)系______．【遷移探究】如圖2，小睿把一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)F放在直線AB上，若∠2=73∠1【拓展應(yīng)用】在圖1的基礎(chǔ)上，小明把三角板60°角的頂點(diǎn)，放在E處，即∠MEN=60°（如圖3），∠FEN與∠MEG的平分線EP，EQ分別交AB、CD于點(diǎn)P，Q，將含60°角的三角板繞點(diǎn)E轉(zhuǎn)動(dòng)，使EG始終在∠MEN的內(nèi)部，請(qǐng)問：∠APE+∠CQE的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，請(qǐng)說明理由．5．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖1，直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別交于點(diǎn)G，H，∠EHD=α．將一個(gè)直角三角板PMN按如圖1所示放置，使點(diǎn)N，M分別在直線AB，CD上，且在點(diǎn)G，H的右側(cè)，已知(1)若∠ANM=100°，則∠PMD的度數(shù)為；(2)若∠ANM=∠EHM+∠PMN，對(duì)PM∥(3)如圖2，已知∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O．①當(dāng)NO∥EF，PM∥②現(xiàn)將三角板PMN保持PM∥EF，并沿直線CD向左平移，在平移的過程中，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含6．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且線段DB的延長線BF平分∠ABC的鄰補(bǔ)角∠ABE．

(1)求證：AB∥CD；(2)若射線DB繞點(diǎn)D以每秒1°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得DB'，同時(shí)，射線BA繞點(diǎn)B以每秒2°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得BA'，DB'和①當(dāng)50<t<70，且∠BGD=100°時(shí)，求t的值；②當(dāng)0<t<70，∠BGD=9∠CDG，則t的值是___________．三．利用平行線的性質(zhì)與判定解決角的定值問題（共3小題）7．（18-19七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB∠ADB(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．8．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在直線EF和直線MN上，EF∥MN，∠ABN=45°，射線AC從射線AF的位置開始，繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線BD從射線BM的位置開始，繞點(diǎn)B以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線BD旋轉(zhuǎn)到BN的位置時(shí)，兩者停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為

(1)∠BAF=______°；(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線AC與射線BD所在直線的夾角為80°，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，若射線AC與射線BD交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H做HK⊥BD交直線AF于點(diǎn)K，∠AHK∠ABH9．（22-23七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，∠DPC=度；(2)如圖②，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PC∥BD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為多少度？(3)如圖③，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速6°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速4°/秒(PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng))．問：兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，∠CPD∠BPN四．利用平行線之間的距離解決實(shí)際問題（共3小題）10．（20-21七年級(jí)下·上?！て谥校┙獯鹣铝懈黝}(1)如圖1，已知直線m∥n，點(diǎn)A、B在直線n上，點(diǎn)C、P在直線m上，當(dāng)點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)時(shí)，總有______與(2)解答下題．①如圖2，在△ABC中，已知BC=6，且BC邊上的高為5，若過C作CE∥AB，連接AE、BE，則②如圖3，A、B、E三點(diǎn)在同一直線上，BH⊥AC，垂足為H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF(3)如圖4，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，過點(diǎn)11．（22-23七年級(jí)下·江蘇南京·期中）三角形中有三條重要線段——中線，高線和角平分線，下面我們一起來研究中線和高線的特點(diǎn)．問題1：如圖1：AD是△ABC的中線，求證：S問題2：如圖2：AD∥BC問題3：運(yùn)用上述兩個(gè)問題的發(fā)現(xiàn)我們一起探究如何作一條直線平分多邊形面積：（1）如圖3：在四邊形ABCD，小孫同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC，②作DE∥AC交BC的延長線于E；③取BE的中點(diǎn)M，則直線AM為所求直線．（2）如圖4：在四邊形ABCD，小悟同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC和BD；②取BD的中點(diǎn)O，③連接OA、OC；④過點(diǎn)O作AC的平行線與四邊形ABCD的邊CD交點(diǎn)于P，則直線下面就請(qǐng)你完成小孫和小悟的證明．問題4：小空同學(xué)運(yùn)用類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想作了一條直線平分五邊形ABCDE，請(qǐng)你也嘗試畫一畫吧！（保作圖痕跡并寫出作圖方法）12．（22-23七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）（1）如圖1，直線AD∥直線BC，則S△ABC______S（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，在線段BC上確定點(diǎn)F，使AF等分△ABC的面積（要求：僅用無刻度的直尺作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，小明家有一塊三角形種植地ABC，按照建設(shè)規(guī)劃，要將種植地移到長方形區(qū)域內(nèi)，為了補(bǔ)償小明家，劃撥給小明家的新的種植地的面積是原來的兩倍，并且還保留種植地為三角形的形狀，請(qǐng)作出變動(dòng)后的△BDE

五．利用平行線的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題（共3小題）13．（22-23七年級(jí)下·天津西青·期末）已知直線EF分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF交直線CD于點(diǎn)G，且∠FEG=∠FGE，點(diǎn)H是射線GD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)G，F(xiàn)重合），EM平分∠FEH，交直線CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥EG，交AB于點(diǎn)N，設(shè)∠EMN=α，

(1)如圖①，求證AB∥(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，β=50°，求α的度數(shù)．14．（22-23七年級(jí)下·甘肅隴南·期末）綜合與探究：如圖，已知直線l1∥l2，直線l與直線l1，l2分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l

(1)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段CD（不含端點(diǎn)C和D）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠PAC=20°，∠PBD=50°，則∠APB=______°，請(qǐng)你猜想∠APB，∠PAC，∠PBD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系______；（直接寫出猜想結(jié)果，無需證明）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線l1上方時(shí)，若∠PAC=m°，∠PBD=n°，則∠APB=______°；（用含有m，n(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線l2下方時(shí)，猜想∠PAC，∠PBD和∠APB15．（22-23七年級(jí)下·福建龍巖·期末）如圖1，已知直線EF與直線AB交于點(diǎn)E，直線EF與直線CD交于點(diǎn)F，EM平分∠AEF交直線CD于點(diǎn)M，且∠FEM=∠EMF．

(1)求證：AB∥(2)點(diǎn)G是射線MD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、F重合），EH平分∠FEG交直線CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN∥EM交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN=α，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β=70°，求α的值，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．六．利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行化簡（共2小題）16．（22-23七年級(jí)下·甘肅蘭州·期末）已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡：|a?b?c|+|b?c?a|+|c+a?b|．17．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期中）已知△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b，c都是整數(shù)．(1)化簡：a?b+c?(2)若a2+b2?4a?10b+29=0七．利用網(wǎng)格求三角形的面積（共2小題）18．（22-23七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖為8×9的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求畫圖：(1)畫出△ABC的邊BC上的高AD；(2)連接格點(diǎn)，用一條線段將△ABC分成面積相等的兩部分；(3)直接寫出△ABC的面積________．19．（21-22七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．(1)△ABC的面積為；(2)將△ABC平移后得到△A'B'C'，圖中標(biāo)出了點(diǎn)(3)連接AA'、(4)點(diǎn)P為格點(diǎn)，且S△PBC=S△ABC（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），滿足這樣條件的八．利用三角形中線求面積（共3小題）20．（20-21七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點(diǎn)．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在的直線交于點(diǎn)；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE，AD，請(qǐng)你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點(diǎn)作直線、連接任意兩點(diǎn)、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫面法，保留作圖痕跡）．【綜合應(yīng)用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E．①若∠ABC=80°,∠C=30°，則∠EBD=；②請(qǐng)寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個(gè)三角形的高相同，則他們的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．如圖4，M是BC上一點(diǎn)，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)BM＝14BC，N是AC的中點(diǎn)，若三角形ABC的面積是m21．（22-23七年級(jí)下·江西萍鄉(xiāng)·期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，AD是△ABC邊BC上的中線，則S△ABD理由：因?yàn)锳D是△ABC邊BC上的中線，所以BD=CD．又因?yàn)镾△ABD=12BD×AH所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，△ABC的面積為a．(1)如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S1，則S1=(2)如圖3，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2=(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖4）．若陰影部分的面積為S3，則S3=拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為8a，則△BEF的面積為（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．22．（22-23七年級(jí)下·江蘇鹽城·期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3九．與平行線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題（共4小題）27．（22-23七年級(jí)上·四川宜賓·階段練習(xí)）問題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)（2）班的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知射線AM∥BN，連接AB，點(diǎn)P是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，探索發(fā)現(xiàn)：“快樂小組”經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求證：(2)不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，當(dāng)∠A=40°則當(dāng)∠A=x°時(shí)，則∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系．他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并說明理由．28．（22-23七年級(jí)下·江蘇無錫·期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對(duì)這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：(1)【問題再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°．則(2)【問題推廣】如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)．(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2=80°，則(4)【拓展提升】在四邊形BCDE中，EB∥CD，點(diǎn)F在直線ED上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠EBF=α，29．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期末）探究題(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點(diǎn)P，則∠P與∠A，∠B的數(shù)量關(guān)系為∠P=______；(3)如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當(dāng)∠A+∠B=70°時(shí)，試求∠M+∠N的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=1430．（22-23七年級(jí)下·重慶巴南·期中）已知，如圖，AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．

(1)如圖1，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)；(2)如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（1）問的條件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，過點(diǎn)P作PH⊥QF交QF的延長線于點(diǎn)H，將MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒5°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M'N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒10°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F'PH'，當(dāng)MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止，在此運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過t十．與角平分線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題（共4小題）27．（22-23七年級(jí)上·四川宜賓·階段練習(xí)）問題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)（2）班的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知射線AM∥BN，連接AB，點(diǎn)P是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，探索發(fā)現(xiàn)：“快樂小組”經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)∠A=60°時(shí)，求證：(2)不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，當(dāng)∠A=40°則當(dāng)∠A=x°時(shí)，則∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系．他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并說明理由．28．（22-23七年級(jí)下·江蘇無錫·期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對(duì)這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：(1)【問題再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°．則(2)【問題推廣】如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)．(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2=80°，則(4)【拓展提升】在四邊形BCDE中，EB∥CD，點(diǎn)F在直線ED上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠EBF=α，29．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期末）探究題(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點(diǎn)P，則∠P與∠A，∠B的數(shù)量關(guān)系為∠P=______；(3)如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當(dāng)∠A+∠B=70°時(shí)，試求∠M+∠N的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=1430．（22-23七年級(jí)下·重慶巴南·期中）已知，如圖，AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．

(1)如圖1，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)；(2)如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（1）問的條件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，過點(diǎn)P作PH⊥QF交QF的延長線于點(diǎn)H，將MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒5°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M'N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒10°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F'PH'，當(dāng)MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止，在此運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過t十一．雙角平分線模型（共3小題）31．（22-23七年級(jí)下·河南周口·期末）【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P=1【變式應(yīng)用】（2）如圖2，∠MON=90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ABO與∠BAN的平分線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，∠MON=90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點(diǎn)，B是直線OM上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出∠P的度數(shù)．

32．（22-23七年級(jí)下·四川樂山·期末）（1）如圖1，△ABC中，延長AB到M，PB平分∠MBC，延長AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點(diǎn)P，若∠ABC=α，∠ACB=β，∠BPC=θ，求證：α=α+β（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，求證：θ=α+β（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．

33．（22-23七年級(jí)下·河南信陽·期末）【情景引入】：（1）如圖1，BD、CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線，說明∠D=90°+1【深入探究】：（2）①如圖2，BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______；②如圖3，BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______．【拓展應(yīng)用】：（3）請(qǐng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ．①∠A=80°，則∠F的度數(shù)為______；②∠F=n°，則∠A的度數(shù)為______．

十二．與折疊有關(guān)的三角形、平行線的計(jì)算（共4小題）34．（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，四邊形ABCD是一條兩邊互相平行的紙帶，將其沿著EG折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)H，I處，EH與DG相交于點(diǎn)F，若∠EGF=56°，求∠EFD的度數(shù)．35．（22-23七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點(diǎn)G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，D'，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'

(1)若C'、D'在直線AD的上方，當(dāng)α=50°且滿足C'(2)在（1）的條件下，猜想直線EF和GH的位置關(guān)系，并證明(3)在點(diǎn)G，H運(yùn)動(dòng)的過程中，若C'H∥B'36．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期末）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，他發(fā)現(xiàn)折紙的過程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，于是他用長方形紙片研究折紙過程中角的變化．他在長方形紙片ABCD的邊AD上找到一點(diǎn)E，邊BC上找到一點(diǎn)F，連接EF，沿著EF進(jìn)行第一次折疊（如圖1），使得D點(diǎn)落在D'處，C點(diǎn)落在C圖1

(1)若小明經(jīng)過測(cè)量得到∠CFE=57°，則∠BFC(2)小明改變點(diǎn)E和F的位置重新折疊，第一次折疊后，將紙片沿著直線FC'進(jìn)行第二次折疊，使得B點(diǎn)落在B'處（如圖2，B'F落在EF

圖2(3)小明用一張新長方形紙片折成一架紙飛機(jī)，步驟如下圖所示：小明在步驟3時(shí)測(cè)得∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，在步驟5折疊機(jī)翼時(shí)，將機(jī)翼部分ABED沿折痕BE折疊，使得∠CBE=13∠ABC，折痕BE交AC于點(diǎn)F37．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·期中）如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠BEP(2)如圖2，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求∠AEF十三．三角板拼接模型（共3小題）38．（22-23七年級(jí)下·湖北恩施·期中）將一幅三角板按如圖方式抎放，即兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，且OC在直角三角板ABO的內(nèi)部．直角三角板COD在直線AO的上方．請(qǐng)你完成下列問題的解答：

(1)探究∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系；(2)探究∠BOC與∠AOD的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)∠BOC的大小變化時(shí)，“這一對(duì)三角板是否存在一組邊平行？若存在，請(qǐng)求出∠AOC的大小，若不存在，請(qǐng)你簡單說明理由．39．（22-23七年級(jí)下·河南南陽·期末）如圖1，將一副三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠CAE=α(0°<α<180°)．(1)當(dāng)α=度時(shí)，AD⊥BC；當(dāng)α=度時(shí)，AD∥BC；(2)當(dāng)α的度數(shù)是45°時(shí)，圖中互相平行的線段是；當(dāng)α的度數(shù)是135°時(shí)，圖中互相平行的線段是；當(dāng)α的度數(shù)是150°時(shí)，圖中互相平行的線段是；(3)當(dāng)0°<α<45°，連接BD，如圖4，在探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化時(shí)，小亮發(fā)現(xiàn)利用五角星ABECD五個(gè)角的和很容易證明，請(qǐng)給出你的結(jié)論并進(jìn)行證明．

40．（22-23七年級(jí)下·四川·期末）如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

(1)將圖1中的三角尺OCD繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊OD在∠MON的內(nèi)部，如圖2，且OD恰好平分∠MON，CD與MN相交于點(diǎn)E，求∠CEN的度數(shù)；(2)將圖1中的三角尺OCD繞點(diǎn)O按每秒5°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，在第幾秒時(shí)，邊CD恰好與邊MN平行？十四．與三角形角度計(jì)算有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（共3小題）41．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，D、E分別在△ABC邊AB、AC上，∠CBD=∠CDB,DE∥BC,∠CDE的角平分線交AC于F．(1)如圖1，求∠BDF的度數(shù)．(2)如圖2，如果∠ACD的平分線與AB交于G點(diǎn)，∠BGC=50°，求∠DEC的度數(shù)；(3)如圖3，H點(diǎn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），AH交DC于M點(diǎn)，∠CAH的平分線AI交DF于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DEC+∠DMH∠DNI42．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·期中）【初步探究】（1）如圖1，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠EBC+∠ECD=90°．求證：AB∥CD．請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠ABC=2∠EBC，∠BCD=2∠ECB=2．又∵∠EBC+∠ECD=90°，∴∠ABC+∠BCD=2=．∴AB∥CD（）．【類比探究】（2）如圖2，已知∠EFG=∠HGF+∠CEF，寫出EC與GH的位置關(guān)系，并說明理由．【拓展探究】（3）在（2）的條件下，如圖3，若EF平分∠GEC，GF平分∠EGH，N是線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、E重合），MG平分∠EGN，MG交EF于點(diǎn)Q．①請(qǐng)直接寫出∠FGN，∠EGQ，∠EQM之間的數(shù)量關(guān)系；②試說明∠GEC+∠ENG+∠EGN=180°．43．（20-21八年級(jí)上·安徽阜陽·期中）在△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)（不與A，B，C重合），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（P與D，E不在同一直線上）．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若點(diǎn)P在邊AB上，如圖①所示，且∠α=40°，則∠1+∠2=______(2)若點(diǎn)P在△ABC的外部，如圖②所示，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？說明理由；(3)若點(diǎn)P在△ABC的邊BA的延長線上CE<CD，直接寫出∠α，∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．十五．與三角形角度計(jì)算有關(guān)的新定義問題（共3小題）44．（22-23七年級(jí)下·廣東·期中）【定義】如果兩個(gè)角的差為30°，就稱這兩個(gè)角互為“伙伴角”，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“伙伴角”．例如：α=50°，β=20°，α?β=30°，則α和β互為“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，(1)已知∠1和∠2互為“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，則∠1=．(2)如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C作AB的平行線CM，∠ABC的平分線BD分別交AC，CM于D，①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互為“伙伴角”，求②如圖2所示，∠ACM的平分線CF交BE于點(diǎn)F，當(dāng)∠A和∠BFC互為“伙伴角”時(shí)，直接寫出∠A的度數(shù)．45．（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）我們定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為105°，40°，35°的三角形是“和諧三角形”概念理解：如圖1，∠MON=60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為，△AOB（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB=80°，求證：△AOC是“和諧三角形”．應(yīng)用拓展：在圖2中作出：點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和諧三角形”，求∠B的度數(shù)．

46．（22-23七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）【定義】在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，我們稱這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在△ABC中，∠A=75°，∠B=25°，則∠A與∠B互為“和諧角”，△ABC為“和諧三角形”．

【理解】(1)若△ABC為和諧三角形，∠A=140°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為______°；(2)若△ABC為和諧三角形，∠A=90°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為______°；(3)已知∠A是和諧△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)和諧角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；(4)【應(yīng)用】如圖，△ABC中，AC=BC，∠EBC=13∠ABC，EB交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)，∠ECD=13∠ACD，若∠FCB是和諧十六．復(fù)雜多邊形的內(nèi)角和（共3小題）47．（2020九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．48．（2020九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程．49．（18-19七年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)C落在四邊形ABDE內(nèi)點(diǎn)C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，則∠1+∠2=③探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）直接按照所得結(jié)論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點(diǎn)A、B分別落在△ABC內(nèi)點(diǎn)A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=；③若將n邊形A1A2A（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)C落在△ABC邊AC上方點(diǎn)C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.十七．平面鑲嵌（共3小題）50．（20-21八年級(jí)下·全國·課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)你仿照?qǐng)D中圖案的繪制方法設(shè)計(jì)一個(gè)平面鑲嵌圖，并寫一篇小論文與同伴交流你的設(shè)計(jì)過程和原理．51．（20-21八年級(jí)上·福建福州·期中）我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪（鑲嵌）．我們知道，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角的和為360°時(shí)，就能夠拼成一個(gè)平面圖形．某校研究性學(xué)習(xí)小組研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時(shí)用了以下方法：如果用x個(gè)正三角形、y個(gè)正六邊形進(jìn)行平面密鋪，可得60°?x+120°?y＝360°，化簡得x+2y＝6．因?yàn)閤、y都是正整數(shù)，所以只有當(dāng)x＝2，y＝2或x＝4，y＝1時(shí)上式才成立，即2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形可以拼成一個(gè)無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）、（3）．（1）請(qǐng)你仿照上面的方法研究用邊長相等的x個(gè)正三角形和y個(gè)正方形進(jìn)行平面密鋪的情形，并按圖（4）中給出的正方形和正三角形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可）；（2）如果用形狀、大小相同的如圖（5）方格紙中的三角形，能進(jìn)行平面密鋪嗎？若能，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵雒茕伒脑O(shè)計(jì)圖．52．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）在生活中經(jīng)?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨(dú)的正方形或是用多種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴(yán)絲合縫，不留空隙.從數(shù)學(xué)角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題．(1)如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?請(qǐng)說明理由；(2)同時(shí)用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?請(qǐng)說明理由；(3)請(qǐng)你探索，是否存在同時(shí)用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個(gè)正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，寫出驗(yàn)證過程．猜題02平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）（拔尖必刷52題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系平行線與三角板綜合利用平行線的性質(zhì)與判定解決角的定值問題利用平行線之間的距離解決實(shí)際問題利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行化簡利用網(wǎng)格求三角形的面積與平行線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題與角平分線有關(guān)的三角形角計(jì)算問題雙角平分線模型與折疊有關(guān)的三角形、平行線的計(jì)算三角板拼接模型與三角形角度計(jì)算有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題與三角形角度計(jì)算有關(guān)的新定義問題復(fù)雜多邊形的內(nèi)角和平面鑲嵌一．根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系（共3小題）1．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·期中）已知AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°．(1)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，則∠EPF=；(2)如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC(3)如圖3，點(diǎn)P在EF左側(cè)，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分線QE，QF交于點(diǎn)Q，∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ【答案】(1)50°(2)∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由見解析(3)∠E【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，理解題意，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作PM∥AB，證AB∥PM∥CD，則∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，從而得∠EPF=∠AEP+∠PFC，再根據(jù)∠AEP=20°，∠PFC=30°可得∠EPF的度數(shù)；（2）過點(diǎn)P作PN∥AB，證AB∥PN∥CD，則∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，從而得∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，由此可得∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，由∠EPF=100°得∠BEP+∠DFP=260°，由角平分線定義得∠BEQ+∠DFQ=12∠BEP+∠DFP=130°，由（1）得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，再由角平分線定義得∠BEQ1+DFQ1【詳解】（1）過點(diǎn)P作PM∥AB，如圖1所示：∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，∴∠EPM+∠FPM=∠AEP+∠PFC，即∠EPF=∠AEP+∠PFC，∵∠AEP=20°，∠PFC=30°，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC=50°，故答案為：50°．（2）∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足的數(shù)量關(guān)系是：∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由如下：過點(diǎn)P作PN∥AB，如圖2所示：∵AB∥CD，∴AB∥PN∥CD，∴∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，∴∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，∵∠EPN+∠FPN=∠EPF，∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°．（3）由（2）可知：∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∵∠EPF=100°，∴∠BEP+∠DFP=360°?∠EPF=260°，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB，∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ=1由（1）可知：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，∵EQ1，F(xiàn)Q1分別平分∴∠BEQ∴∠EQ同理：∠EQ…，以此類推：∠EQ∴∠EQ2．（22-23七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為______；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在(2)如圖3，若點(diǎn)P，Q都在EF的左側(cè)，且EP，F(xiàn)P分別平分∠AEQ，∠CFQ，則(3)如圖4，若點(diǎn)P在EF的左側(cè)，點(diǎn)Q在EF的右側(cè)且EP，F(xiàn)P分別平分∠AEQ，∠CFQ，【答案】(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF(2)∠EQF=2∠EPF(3)∠EQF+2∠EPF=360°，理由見解析【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答此題的關(guān)鍵是是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解平行于同一條直線的兩條直線平行，難點(diǎn)是類比思想在解題中的應(yīng)用．（1）過點(diǎn)P作PH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥PH∥CD，進(jìn)而得∠AEP=∠EPH,∠PFC=∠HPF，據(jù)此即可得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，由上述結(jié)論得（2）先由角平分線的定義得∠AEQ=2∠AEP，∠CFQ=2∠CFP，再由（1）的結(jié)論得∠EPD=∠AEP+∠CFP,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，據(jù)此即可得出結(jié)論；（3）先由角平分線的定義得∠AEQ=2∠AEP，∠CFQ=2∠CFP，再由（1）的結(jié)論得∠EPF=∠AEP+∠CFP,∠EQF+∠AEQ+∠CFQ=360°，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，滿足∠AEP+∠PFC=∠EPF．理由如下：過點(diǎn)P作PH∥∴∠AEP=∠EPH,∠PFC=∠HPF,∴∠AEP+∠PFC=∠EPH+∠HPF,即：∠AEP+∠PFC=∠EPF；當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，滿足∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°．理由如下：由上述結(jié)論得：∠EPF=∠BEP+∠DFP，由平角的定義得：∠BEP=180°?∠AEP,∠DFP=180°?∠PFC,∴∠EPF=180°?∠AEP+180°?∠PFC,∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;故答案為：∠AEP+∠PFC=∠EPF,∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°．（2）∠EQF=2∠EPD，理由如下：∵EP,FP分別平分∠AEQ,∠CFQ，∴∠AEQ=2∠AEP,∠CFQ=2∠CFP，由（1）的結(jié)論得：∠EPD=∠AEP+∠CFP,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=2(∠AEP+∠CFP)=2∠EPD，∴∠EPF和∠EQF的數(shù)量關(guān)系為：∠EQF=2∠EPD；故答案為：∠EQF=2∠EPD．（3）∠EQF+2∠EPF=360°，理由如下：∵EP,FP分別平分∠AEQ,∠CFQ，∴∠AEQ=2∠AEP,∠CFQ=2∠CFP,由（1）的結(jié)論得：∠EPF=∠AEP+∠CFP,∠EQF+∠AEQ+∠CFQ=360°,∴∠EQF+2∠AEP+2∠CFP=360°,∴∠EQF+2(∠AEP+∠CFP)=360°,即：∠EQF+2∠EPF=360°．3．（23-24七年級(jí)上·湖南長沙·期末）如圖1，AB∥CD，G為(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：(2)如圖2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點(diǎn)(3)如圖3，若點(diǎn)H是射線EB之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點(diǎn)G作GQ⊥FM于點(diǎn)Q，請(qǐng)猜想∠EHF與【答案】(1)證明見解析；(2)∠EMF+∠ENF=108°，理由見解析；(3)∠FGQ=1【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠CFE=180°，再利用角平分線的定義可求解∠FEG+∠GFE=90°，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）分別過M,N作MG∥AB，NH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得（3）根據(jù)垂線的定義可求得∠FGQ=90°?∠GFQ，再根據(jù)角平分線的定義可求解∠FGQ=1本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵AB∥∴∠AEF+∠CFE=180°，∵GE平分∠AEF,GF平分∠EFC，∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF∴∠FEG+∠GFE=90°，即EG⊥FG；（2）如圖，分別過M,N作MG∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEM=∠EMG，∠GMF=∠MFC，∠AEN=∠ENH，∠HNF=∠NFC，∴∠EMF=∠AEM+∠MFC，∠ENF=∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF=∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF=∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，F(xiàn)N平分∠MFC，∴∠AEM=12∠AEN∴∠EMF+∠ENF=∵∠AEP=2∴∠MFC+∠AEN=2∠EMF+∠ENF=（3）∠FGQ=1∵AB∥∴∠EHF+∠CFH=180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ=90°?∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE=12∠EFH∴∠GFQ=1∴∠FGQ=90°?90°?二．平行線與三角板綜合（共3小題）4．（22-23七年級(jí)下·廣西貴港·期末）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們“借助兩條平行線AB、CD和一副直角三角板”開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．即：已知直線AB∥CD和一副直角三角板．

【操作判斷】如圖1，小華把一個(gè)三角板45°角的頂點(diǎn)F、G分別放在直線AB、CD上，請(qǐng)直接寫出∠AFE與∠CGE的數(shù)量關(guān)系______．【遷移探究】如圖2，小睿把一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)F放在直線AB上，若∠2=73∠1【拓展應(yīng)用】在圖1的基礎(chǔ)上，小明把三角板60°角的頂點(diǎn)，放在E處，即∠MEN=60°（如圖3），∠FEN與∠MEG的平分線EP，EQ分別交AB、CD于點(diǎn)P，Q，將含60°角的三角板繞點(diǎn)E轉(zhuǎn)動(dòng)，使EG始終在∠MEN的內(nèi)部，請(qǐng)問：∠APE+∠CQE的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】[操作判斷]∠AFE+∠CGE=90°；[遷移探究]∠1=27°；[拓展應(yīng)用]不變，∠APE+∠CQE=75°，理由見解析【分析】[操作判斷]過點(diǎn)E作EH∥AB，則AB∥EH∥CD，從而∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠CGE，進(jìn)而可得∠AFE與∠CGE的數(shù)量關(guān)系；[遷移探究]過點(diǎn)E作EH∥AB，則AB∥EH∥CD，從而∠2=∠FEH，∠HEP=∠1，進(jìn)而可得∠2+∠1=90°，結(jié)合∠2=7[拓展應(yīng)用]過點(diǎn)E作EK∥AB，可證∠APE+∠CQE=∠PEQ，設(shè)∠NEG=x°，則∠FEN=90?x【詳解】［操作判斷］：如圖1，過點(diǎn)E作EH∥AB∵AB∥CD，∴AB∥EH∥CD∴∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠CGE，∵∠FEH+∠HEG=90°∴∠AFE+∠CGE=90°

故答案為：∠AFE+∠CGE=90°［遷移探究］：如圖2，過點(diǎn)E作EH∥AB∵AB∥CD，∴∴∠2=∠FEH，∠HEP=∠1，∴∠FEH+∠FEG=∠FEP=∴∠2+∠1=∵∠2=7∴73∴∠1=

［拓展應(yīng)用］：不變，∠APE+∠CQE=理由如下：過點(diǎn)E作EK∵AB∥∴AB∴∠APE=∠PEK，∠CQE=∠KEQ∴∠APE+∠CQE=∠PEK+∠KEQ=∠PEQ設(shè)∠NEG=x°，則∠FEN=90?x°∵EP、EQ分別平分∠FEN、∠MEG∴∠FEP=∠PEN=1∠MEQ=∠GEQ=∠PEQ=∠PEG+∠NEG+∠GEQ==45?=75°∴∠APE+∠CQE=∠PEQ=75°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖1，直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別交于點(diǎn)G，H，∠EHD=α．將一個(gè)直角三角板PMN按如圖1所示放置，使點(diǎn)N，M分別在直線AB，CD上，且在點(diǎn)G，H的右側(cè)，已知(1)若∠ANM=100°，則∠PMD的度數(shù)為；(2)若∠ANM=∠EHM+∠PMN，對(duì)PM∥(3)如圖2，已知∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O．①當(dāng)NO∥EF，PM∥②現(xiàn)將三角板PMN保持PM∥EF，并沿直線CD向左平移，在平移的過程中，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含【答案】(1)40°(2)見解析(3)①α=60°；②∠MON的度數(shù)為30°+12【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠NMD=∠ANM=100°，根據(jù)∠PMN=60°，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠NMD=∠ANM，結(jié)合已知條件得出∠PMD=∠EHM，最后根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論即可；（3）①根據(jù)NO∥EF，PM∥EF，得出NO∥PM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ONM=∠PMN=60°，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ANO=∠ONM=60°，根據(jù)AB∥②分兩種情況：當(dāng)N在點(diǎn)G的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠NMD=∠ANM=100°，∵∠PMN=60°，∴∠PMD=∠NMD?∠PMN=40°；故答案為：40°．（2）證明：∵AB∥∴∠NMD=∠ANM，∵∠NMD=∠PMN+∠PMD，∴∠ANM=∠PMN+∠PMD，∵∠ANM=∠EHM+∠PMN，∴∠PMD=∠EHM，∴PM∥（3）解：①∵NO∥EF，∴NO∥∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNG，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵AB∥∴∠NOM=∠ANO=60°，∵NO∥∴∠EHD=∠NOM=60°，即α=60°；②當(dāng)N在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，如圖所示：∵PM∥EF，∴∠PMD=∠EHD=α，∴∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α，∵AB∥∴∠GNM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠MNG，∴∠GNO=1∵AB∥∴∠MON=∠GNO=30°+1當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵PM∥EF，∴∠PMD=∠EHD=α，∴∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α，∵AB∥∴∠GNM+∠NMD=180°，∴∠GNM=180°?60°?α=120°?α，∵NO平分∠MNG，∴∠GNO=1∵AB∥∴∠MON=∠GNO=60°?1綜上分析可知，∠MON的度數(shù)為30°+12α【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)的圖形，并注意分類討論．6．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且線段DB的延長線BF平分∠ABC的鄰補(bǔ)角∠ABE．

(1)求證：AB∥CD；(2)若射線DB繞點(diǎn)D以每秒1°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得DB'，同時(shí)，射線BA繞點(diǎn)B以每秒2°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得BA'，DB'和①當(dāng)50<t<70，且∠BGD=100°時(shí)，求t的值；②當(dāng)0<t<70，∠BGD=9∠CDG，則t的值是___________．【答案】(1)見解析(2)①t=60；②32或50【分析】（1）先求出∠ABE=80°，再由角平分線的定義得到∠ABF=40°，則∠BDC=∠ABF，由此即可證明AB∥CD；（2）①如圖所示，過點(diǎn)G作GM∥CD，則AB∥CD∥GM，由平行線的性質(zhì)得到∠BGM=2t°，∠DGM=∠CDG=t?40°，則∠BGD=100°，得到t+40=100，解方程即可；②分圖2-1和圖2-2，過點(diǎn)G作GM∥CD，則AB∥CD∥GM，利用平行線的性質(zhì)求出∠CDG，∠BGD的度數(shù)，然后根據(jù)∠BGD=9∠CDG建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵∠ABE是∠ABC的鄰補(bǔ)角，∠ABC=100∴∠ABE=180°?∠ABC=80°，又∵BF平分∠ABE．∴∠ABF=1又∵∠BDC=40°，∴∠BDC=∠ABF，∴AB∥CD；（2）解：①∵50<t<70∴100°<∠ABG<140°，如圖所示，過點(diǎn)G作GM∥CD，又∵AB∥CD

∴AB∥CD∥GM，∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=t?40∴∠BGD=∠BGM?∠DGM=t+40

又∵∠BGD=100°，∴t+40=100，∴t=60；②如圖2-1所示，當(dāng)0<t≤40時(shí)，過點(diǎn)G作GM∥CD，又∵AB∥CD

∴AB∥CD∥GM，∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=40?t∴∠BGD=∠BGM?∠DGM=t+40∵∠BGD=9∠CDG，∴t+40=940?t解得t=32；

如圖2-2所示，由（2）①∠CDG=t?40∴∠BGD=t+40∵∠BGD=9∠CDG，∴t+40=9解得t=50；綜上所述，t的值為32或50．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．三．利用平行線的性質(zhì)與判定解決角的定值問題（共3小題）7．（18-19七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB∠ADB(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)60(2)是定值，2(3)30°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，和平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線的定義，進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及∠ACB=∠ABD，推出∠DBN=∠ABC，進(jìn)而推出2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，即可得解．【詳解】（1）解：∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠ABN=180°?∠A=120°，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠PBC=1∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴∠CBD=∠PBC+∠PBD=1故答案為：60．（2）∠APB∠ADB∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，設(shè)∠DBN=x，則∠PBN=2∠DBN=2x，∵AM∥∴∠ADB=∠DBN=x，∠APB=∠PBN=2x，∴∠APB（3）∵AM∥∴∠ACB=∠CBN，∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠CBN?∠CBD=∠ABD?∠CBD，∴∠DBN=∠ABC，∵AM∥∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=180°?∠A=120°，又∵BC平分∠ABP，∴∠ABP=2∠ABC，由（2）知，∠PBN=2∠DBN，∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，∴∠ABC=30°．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義．熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．8．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在直線EF和直線MN上，EF∥MN，∠ABN=45°，射線AC從射線AF的位置開始，繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線BD從射線BM的位置開始，繞點(diǎn)B以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線BD旋轉(zhuǎn)到BN的位置時(shí)，兩者停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為

(1)∠BAF=______°；(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線AC與射線BD所在直線的夾角為80°，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，若射線AC與射線BD交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H做HK⊥BD交直線AF于點(diǎn)K，∠AHK∠ABH【答案】(1)135(2)t=20，t=25(3)不變，∠AHK【分析】（1）運(yùn)用平行線的性質(zhì)直接解題即可；（2）設(shè)射線AC與射線BD所在直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P，則∠MBD=6t°，∠FAC=2t°，∠DBN=180°?6t°，過點(diǎn)P作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠FAC+∠DBN，分兩種情況∠APB=80°或∠CPB=80°時(shí)分別解題即可；（3）由（2）可得∠APB=180°?4t°，由垂直可得∠AHK=(4t?90)°，又∠ABH=(6t?135)°，直接求比值解題．【詳解】（1）解：∵EF∥∴∠FAB+∠ABN=180°，∴∠FAB=180°?∠ABN=180°?45°=135°，故答案為135；

（2）解：設(shè)射線AC與射線BD所在直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒時(shí)，∠MBD=6t°，∠FAC=2t°，即∠DBN=180°?6t°，①如圖，當(dāng)∠APB=80°時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥EF，∵EF∥∴PQ∥EF∥MN，∴∠QPA=∠FAC=2t°，∠QPB=∠DBN=180°?6t°，∴∠APB=∠FAC+∠DBN，即80=2t+180?6t，解得t=25，

②如上圖，當(dāng)∠CPB=80°時(shí)，則∠APB=100°，由①可知∠APB=∠FAC+∠DBN，即100=2t+180?6t，解得t=20，綜上所述，當(dāng)t=20，t=25時(shí)，射線AC與射線BD所在直線的夾角為80°，（3）∠AHK∠ABH解：如圖，由（2）可知∠APB=∠FAC+∠DBN=2t°+180°?6t°=180°?4t°，∵HK⊥BD，∴∠AHK=90°?∠APB=90°?(180°?4t°)=(4t?90)°，∵∠ABH=∠ABN∴∠AHK∠ABH

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，作輔助線溝構(gòu)造平行是解題的關(guān)鍵．9．（22-23七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，∠DPC=度；(2)如圖②，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)PC∥BD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為多少度？(3)如圖③，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速6°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速4°/秒(PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng))．問：兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，∠CPD∠BPN【答案】(1)90(2)30°或210°(3)1【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC=180°?∠CPA?∠DPB，進(jìn)而求出即可；（2）分情況畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)可求解；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM=4t°，得出∠BPN=180°?4t°，∠DPM=30°?4t°，∠APN=6t°，則∠CPD=90°?2t°，可得出答案．【詳解】（1）解：∵∠DPC=180°?∠CPA?∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，∴∠DPC=180°?30°?60°=90°，故答案為：90；（2）解：分兩種情況：①如圖，

∵PC∥BD，∠DBP=90°，∴∠CPN=∠DBP=90°，∵∠CPA=60°，∴∠APN=30°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為30°；②如圖，

∵PC∥BD，∠PBD=90°，∴∠CPB=∠DBP=90°，∵∠CPA=60°，∴∠APM=30°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°=210°；（3）解：為定值．理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM=4t°，∴∠BPN=180°?4t°，∠DPM=30°?4t°，∠APN=6t°，∴∠CPD=180°?∠DPM?∠CPA?∠APN=90°?2t°，∴∠CPD【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)及平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出等式是解題的關(guān)鍵．四．利用平行線之間的距離解決實(shí)際問題（共3小題）10．（20-21七年級(jí)下·上海·期中）解答下列各題(1)如圖1，已知直線m∥n，點(diǎn)A、B在直線n上，點(diǎn)C、P在直線m上，當(dāng)點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)時(shí)，總有______與(2)解答下題．①如圖2，在△ABC中，已知BC=6，且BC邊上的高為5，若過C作CE∥AB，連接AE、BE，則②如圖3，A、B、E三點(diǎn)在同一直線上，BH⊥AC，垂足為H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF(3)如圖4，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，過點(diǎn)【答案】(1)△ABP(2)①15；②2(3)圖見解析，理由見解析【分析】（1）根據(jù)m//n，可得△ABC和（2）①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF（3）過點(diǎn)B作BE∥AC交DC延長線于點(diǎn)E，連接AE，取DE的中點(diǎn)F，作直線AF，則直線AF即為所求，可得SΔABC=【詳解】（1）解：∵m//∴△ABC和△ABP同底等高，則△ABC與△ABP的面積相等；（2）解：①∵BC=6，且BC邊上的高為5，∴SΔ∵CE∥∴△ABC和△BAE是同底等高的兩個(gè)三角形，∴SΔ②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21∴SΔ∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔ（3）解：如圖，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC延長線于點(diǎn)E，連接AE，取DE的中點(diǎn)F，作直線AF，則直線AF即為所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴SΔ∴S四邊形∴S四邊形∵SΔ∴所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)，熟練掌握兩平行線間的距離處處相等，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．11．（22-23七年級(jí)下·江蘇南京·期中）三角形中有三條重要線段——中線，高線和角平分線，下面我們一起來研究中線和高線的特點(diǎn)．問題1：如圖1：AD是△ABC的中線，求證：S問題2：如圖2：AD∥BC問題3：運(yùn)用上述兩個(gè)問題的發(fā)現(xiàn)我們一起探究如何作一條直線平分多邊形面積：（1）如圖3：在四邊形ABCD，小孫同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC，②作DE∥AC交BC的延長線于E；③取BE的中點(diǎn)M，則直線AM為所求直線．（2）如圖4：在四邊形ABCD，小悟同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線AC和BD；②取BD的中點(diǎn)O，③連接OA、OC；④過點(diǎn)O作AC的平行線與四邊形ABCD的邊CD交點(diǎn)于P，則直線下面就請(qǐng)你完成小孫和小悟的證明．問題4：小空同學(xué)運(yùn)用類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想作了一條直線平分五邊形ABCDE，請(qǐng)你也嘗試畫一畫吧！（保作圖痕跡并寫出作圖方法）【答案】【問題1】見解析；【問題2】見解析；【問題3】見解析；【問題4】①連接對(duì)角線AC和AD；②過點(diǎn)B作BM∥AC，交DC延長線于M；過點(diǎn)E作EN∥AD，交CD延長線于N；③取MN的中點(diǎn)H，則直線AH即為所求．【分析】【問題1】過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，根據(jù)等底同高解答，即可；【問題2】分別過點(diǎn)A，D作AK⊥BC,DL⊥BC，垂足分別點(diǎn)K，L，根據(jù)等高同底解答，即可；【問題3】（1）根據(jù)AC∥DE，可得S△DAC=S△EAC，從而得到S四邊形ABCD=S△ABE（2）根據(jù)O為BD中點(diǎn)，可得OA平分△ABD的面積，OC平分△CBD的面積，從而得到S四邊形ABCO=12S四邊形【問題4】①連接對(duì)角線AC和AD；②過點(diǎn)B作BM∥AC，交DC延長線于M；過點(diǎn)E作EN∥AD，交CD延長線于N；③取MN的中點(diǎn)H，則直線AH即為所求．【詳解】【問題1】證明：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，∴S△ABD∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∴S△ABD【問題2】證明：如圖，分別過點(diǎn)A，D作AK⊥BC,DL⊥BC，垂足分別點(diǎn)K，L，∴S△ABC∵AD∥∴AK=DL，∴S△ABC【問題3】（1）∵AC∥DE，∴S∴S△ABC+S∵M(jìn)為BE中點(diǎn)，∴AM平分△ABE的面積，即平分四邊形ABCD的面積．（2）∵O為BD中點(diǎn)，∴OA平分△ABD的面積，OC平分△CBD的面積，∴折線A－O－C平分四邊形ABCD的面積，即S四邊形∵AC∥OP，∴S△OAC∴S△ABC+∴AP平分四邊形ABCD的面積；【問題4】解：①連接對(duì)角線AC和AD；②過點(diǎn)B作BM∥AC，交DC延長線于M；過點(diǎn)E作EN∥AD，交CD延長線于N；③取MN的中點(diǎn)H，則直線AH即為所求．∵BM∥AC，EN∥AD，∴S△ABC=S∴S△ABC+S∴S△AHM=S∵點(diǎn)H為MN的中點(diǎn)，∴S△AHM∴S四邊形即線AH平分五邊形ABCDE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)等底同高或等高同底證得兩個(gè)三角形的面積線等是解題的關(guān)鍵．12．（22-23七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）（1）如圖1，直線AD∥直線BC，則S△ABC______S（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，在線段BC上確定點(diǎn)F，使AF等分△ABC的面積（要求：僅用無刻度的直尺作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，小明家有一塊三角形種植地ABC，按照建設(shè)規(guī)劃，要將種植地移到長方形區(qū)域內(nèi)，為了補(bǔ)償小明家，劃撥給小明家的新的種植地的面積是原來的兩倍，并且還保留種植地為三角形的形狀，請(qǐng)作出變動(dòng)后的△BDE

【答案】（1）=；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等以及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等可得答案；（2）根據(jù)三角形的三條中線交于一點(diǎn)作出中線AF，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可知AF等分△ABC的面積；（3）作∠CAM=∠BCA，可得BD∥AM，延長BC至點(diǎn)D，使BC=CD可得BD=2BC，然后在AM上且在長方形的內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接BE，DE，可得△BDE【詳解】解：（1）∵平行線間的距離處處相等，∴△ABC和△DBC同底等高，∴S△ABC故答案為：=；（2）如圖2，設(shè)CD與BE交于點(diǎn)O，連接AO并延長交BC于F，點(diǎn)F即為所求；

證明：由題意得CD與BE是△ABC的中線，∴AF是△ABC的中線，∴AF等分△ABC的面積；（3）如圖3，作∠CAM=∠BCA，延長BC至點(diǎn)D，使BC=CD，然后在AM上且在長方形的內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接BE，DE，則△BDE

證明：由作圖知：∠CAM=∠BCA，BD=2BC，∴BD∥∴S△BDE【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，三角形中線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)，能夠?qū)?fù)雜作圖轉(zhuǎn)化為一般作圖是解題的關(guān)鍵．五．利用平行線的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題（共3小題）13．（22-23七年級(jí)下·天津西青·期末）已知直線EF分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF交直線CD于點(diǎn)G，且∠FEG=∠FGE，點(diǎn)H是射線GD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)G，F(xiàn)重合），EM平分∠FEH，交直線CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥EG，交AB于點(diǎn)N，設(shè)∠EMN=α，

(1)如圖①，求證AB∥(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，β=50°