高考三角函數(shù)重點題型專題練習匯編三角函數(shù)作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，在高考中占據(jù)著舉足輕重的地位。其題型豐富多變，既考查基礎(chǔ)知識的掌握，也注重綜合應用能力的體現(xiàn)。為幫助同學們更好地復習備考，本文將梳理高考三角函數(shù)的重點題型，并輔以典型例題與解析，力求達到舉一反三、觸類旁通的效果。一、三角函數(shù)的概念與誘導公式核心知識回顧三角函數(shù)的定義是基石，需深刻理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）在單位圓中的意義及三角函數(shù)線的幾何表示。誘導公式則是簡化任意角三角函數(shù)值計算的利器，其核心思想是“奇變偶不變，符號看象限”，同學們需熟練掌握并能靈活運用，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。重點題型解析題型一：三角函數(shù)的定義及應用此類題目主要考查利用三角函數(shù)的定義（包括終邊上點的坐標）求三角函數(shù)值，或已知三角函數(shù)值求角終邊上點的坐標特征。例題1：已知角α的終邊經(jīng)過點P(3a,-4a)（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值。分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，需先求出點P到原點的距離r，再根據(jù)sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x進行計算。注意a的正負會影響r的表達式及三角函數(shù)值的符號。解答：因為點P(3a,-4a)（a≠0），所以r=√[(3a)2+(-4a)2]=√(25a2)=5|a|。當a>0時，r=5a。sinα=y/r=(-4a)/(5a)=-4/5，cosα=x/r=3a/(5a)=3/5，tanα=y/x=(-4a)/(3a)=-4/3。當a<0時，r=-5a。sinα=y/r=(-4a)/(-5a)=4/5，cosα=x/r=3a/(-5a)=-3/5，tanα=y/x=(-4a)/(3a)=-4/3。點評：本題關(guān)鍵在于準確計算r，并注意參數(shù)a的符號對結(jié)果的影響，體現(xiàn)了分類討論的思想。題型二：誘導公式的應用此類題目主要考查利用誘導公式化簡三角函數(shù)式或求特定角的三角函數(shù)值。例題2：化簡：sin(π+α)cos(α-π/2)tan(3π/2-α)。分析：利用誘導公式逐步化簡各三角函數(shù)。sin(π+α)=-sinα；cos(α-π/2)=cos(π/2-α)=sinα（或利用cos(A-B)展開，但誘導公式更直接）；tan(3π/2-α)=cotα=cosα/sinα。解答：原式=(-sinα)*sinα*(cosα/sinα)=(-sinα)*cosα=-sinαcosα。點評：化簡過程中，要準確記憶誘導公式，特別注意符號的確定?！胺柨聪笙蕖笔侵笇ⅵ烈暈殇J角時，原函數(shù)值所在象限的符號。跟蹤訓練：1.已知cos(π/6-α)=1/3，求sin(2π/3-α)的值。2.若tanα=2，求[sin(α-π)+cos(π-α)]/[sin(π/2-α)+cos(π/2+α)]的值。二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)核心知識回顧三角函數(shù)的圖像是理解其性質(zhì)的直觀工具。正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx的圖像特征（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值點、零點）是高考考查的重點。此外，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的圖像與性質(zhì)及其變換（平移、伸縮）也是歷年高考的熱點，需掌握由圖像求解析式、研究其性質(zhì)的方法。重點題型解析題型三：三角函數(shù)的定義域、值域與最值此類題目常結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及三角恒等變換來求解。例題3：求函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。分析：先利用降冪公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再根據(jù)x的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求出最值。解答：f(x)=(1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x=(√3/2)sin2x-(1/2)cos2x+1/2=sin(2x-π/6)+1/2。因為x∈[0,π/2]，所以2x-π/6∈[-π/6,5π/6]。當2x-π/6=π/2，即x=π/3時，sin(2x-π/6)取得最大值1，此時f(x)max=1+1/2=3/2。當2x-π/6=-π/6，即x=0時，sin(2x-π/6)取得最小值-1/2，此時f(x)min=-1/2+1/2=0。點評：利用三角恒等變換將函數(shù)表達式化簡是解決此類問題的關(guān)鍵步驟，化為“一角一函數(shù)”形式后，再利用三角函數(shù)的有界性求最值。題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與周期性此類題目主要考查對三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解和應用，常需結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法。例題4：已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/4)（ω>0）的最小正周期為π，求ω的值，并判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π/8)上的單調(diào)性。分析：由周期公式T=2π/ω可求ω。判斷單調(diào)性，需將ωx+π/4視為整體，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解。解答：因為函數(shù)f(x)的最小正周期T=π，且T=2π/ω，所以ω=2π/T=2。則f(x)=sin(2x+π/4)。令t=2x+π/4，當x∈(0,π/8)時，t∈(π/4,π/2)。因為函數(shù)y=sint在(π/4,π/2)上單調(diào)遞增，且t=2x+π/4在(0,π/8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π/8)上單調(diào)遞增。點評：研究形如y=Asin(ωx+φ)+B的函數(shù)性質(zhì)，通常采用“整體代換”的思想，將ωx+φ看作一個整體，結(jié)合基本三角函數(shù)的性質(zhì)進行分析。跟蹤訓練：3.函數(shù)y=lg(sinx)的定義域是________。4.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-π/3)，求其圖像的對稱軸方程和對稱中心坐標。三、三角恒等變換核心知識回顧三角恒等變換是解決三角函數(shù)問題的重要工具，主要包括兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，輔助角公式（合一變形）等。這些公式的正用、逆用及變形應用是考查的重點，其核心在于“角的變換”與“名的變換”，如“拆角”、“湊角”、“弦切互化”等技巧。重點題型解析題型五：三角函數(shù)式的化簡與求值此類題目要求運用三角公式對給定的三角函數(shù)式進行化簡、求值，考查公式的靈活運用能力。例題5：已知α為銳角，且cos(α+π/6)=3/5，求sinα的值。分析：α可以表示為(α+π/6)-π/6，利用兩角差的正弦公式展開求解。注意α為銳角，可確定α+π/6的范圍，從而求出sin(α+π/6)的值。解答：因為α為銳角，所以α+π/6∈(π/6,2π/3)。又cos(α+π/6)=3/5，所以sin(α+π/6)=√[1-(3/5)2]=4/5。sinα=sin[(α+π/6)-π/6]=sin(α+π/6)cos(π/6)-cos(α+π/6)sin(π/6)=(4/5)(√3/2)-(3/5)(1/2)=(4√3-3)/10。點評：“角的變換”是本題的關(guān)鍵，通過將未知角用已知角表示，實現(xiàn)了從已知到未知的轉(zhuǎn)化。常見的角變換技巧有：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)等。題型六：三角恒等式的證明此類題目要求證明給定的三角等式成立，考查對三角公式的綜合運用能力和邏輯推理能力。例題6：求證：(sin2α)/(1+cos2α)*(cosα)/(1+cosα)=tan(α/2)。分析：從左邊入手，利用二倍角公式化簡。sin2α=2sinαcosα，1+cos2α=2cos2α，1+cosα=2cos2(α/2)。解答：左邊=(2sinαcosα)/(2cos2α)*cosα/[2cos2(α/2)]=(sinα/cosα)*cosα/[2cos2(α/2)]=sinα/[2cos2(α/2)]=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[2cos2(α/2)]=sin(α/2)/cos(α/2)=tan(α/2)=右邊。故等式成立。點評：證明三角恒等式時，通常從較復雜的一邊向較簡單的一邊化簡，或兩邊同時化簡為同一形式。注意公式的靈活選擇和運用。跟蹤訓練：5.已知tan(α+β)=2/5，tan(β-π/4)=1/4，求tan(α+π/4)的值。6.化簡：(1+sinθ+cosθ)/(1+sinθ-cosθ)。四、解三角形核心知識回顧解三角形是三角函數(shù)知識在實際問題中的應用，主要依據(jù)正弦定理（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R）和余弦定理（a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC）。利用這兩個定理可以解決兩類基本問題：已知兩角和一邊，求其他邊角；已知兩邊和它們的夾角，求其他邊角；已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角（需注意解的個數(shù)）。此外，三角形的面積公式（S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB）也是考查的重點。重點題型解析題型七：利用正、余弦定理解三角形此類題目是高考的必考內(nèi)容，常結(jié)合三角形的性質(zhì)（大邊對大角，內(nèi)角和定理）進行求解。例題7：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=√3，B=π/3，求角A，C及邊c。分析：已知兩邊和其中一邊的對角，可用正弦定理求另一角。注意已知條件中a>b，所以A>B，而B=π/3，故A可能為銳角或鈍角，但需結(jié)合三角形內(nèi)角和判斷。解答：由正弦定理得：a/sinA=b/sinB，即2/sinA=√3/sin(π/3)。sin(π/3)=√3/2，所以√3/sin(π/3)=√3/(√3/2)=2。故2/sinA=2，解得sinA=1。因為A∈(0,π)，所以A=π/2。則C=π-A-B=π-π/2-π/3=π/6。由正弦定理得c/sinC=b/sinB，即c/sin(π/6)=2，所以c=2*1/2=1。點評：本題屬于“SSA”型，在使用正弦定理求角時，需注意解的個數(shù)情況。若已知a>b，則A>B，此時A若有解則只有一解（因為A為三角形內(nèi)角，最多為鈍角）。若a<b，則可能有兩解、一解或無解。題型八：三角形中的面積計算與綜合應用此類題目常將正弦定理、余弦定理與三角形面積公式結(jié)合起來考查，有時還會涉及三角函數(shù)的性質(zhì)或?qū)嶋H應用題。例題8：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2b-c)cosA=acosC。(1)求角A的大??；(2)若a=√3，求△ABC面積的最大值。分析：(1)利用正弦定理將邊化為角，或利用余弦定理將角化為邊。(2)在已知一邊和一角的情況下，求面積最大值，通常結(jié)合余弦定理和基本不等式求出bc的最大值。解答：(1)方法一（正弦定理）：由正弦定理得：(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC。2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)。因為A+B+C=π，所以A+C=π-B，sin(A+C)=sinB。所以2sinBcosA=sinB。因為sinB≠0，所以cosA=1/2。又A∈(0,π)，所以A=π/3。方法二（余弦定理）：(2b-c)*(b2+c2-a2)/(2bc)=a*(a2+b2-c2)/(2ab)?；喌茫?2b-c)(b2+c2-a2)=c(a2+b2-c2)。展開并整理得：2b(b2+c2-a2)=2b3，即b2+c2-a2=bc。所以cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，A=π/3。(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=b2+c2-bc。因為b2+c2≥2bc，所以3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤3，當且僅當b=c時等號成立。所以△ABC的面積S=(1/2)bcsinA≤(1/2)*3*(√3/2)=3√3/4。故△ABC面積的最大值為3√3/4。點評：第(1)問體現(xiàn)了三角形中邊角互化的思想；第(2)問利用余弦定理和基本不等式求出了bc的最大值，進而得到面積的最大值，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想。跟蹤訓練：7.在△ABC中，a=5，b=7，c=8，求角B的大小及△ABC的面積。8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinA+csin