2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在心理學(xué)研究中的角色考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在心理學(xué)研究中，研究者想比較三種不同教學(xué)方法對學(xué)習(xí)成績的影響，最適合使用的數(shù)學(xué)方法（或稱統(tǒng)計方法）是(A)相關(guān)系數(shù)(B)t檢驗(C)方差分析(D)回歸分析2.某心理學(xué)實驗測量了被試在兩種不同壓力水平下的反應(yīng)時間，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)近似正態(tài)分布。研究者想檢驗壓力水平是否對反應(yīng)時間有顯著影響，應(yīng)選擇的統(tǒng)計檢驗方法是(A)單樣本t檢驗(B)配對樣本t檢驗(C)獨立樣本t檢驗(D)方差分析（ANOVA）3.在心理學(xué)問卷編制中，項目反應(yīng)理論（ItemResponseTheory,IRT）常用于估計項目難度和被試能力。IRT模型通常涉及的概率分布是(A)二項分布(B)正態(tài)分布(C)伯努利分布(D)邏輯斯蒂分布（或稱S型曲線）4.研究者想考察兩個變量（如焦慮程度、學(xué)習(xí)動機）之間的關(guān)系強度和方向，最適合使用的描述性統(tǒng)計量是(A)均值(B)標準差(C)變異系數(shù)(D)相關(guān)系數(shù)5.在構(gòu)建一個描述人類決策過程中風(fēng)險厭惡行為的數(shù)學(xué)模型時，常常會用到哪種數(shù)學(xué)概念或方法？(A)微分方程(B)線性規(guī)劃(C)概率論中的期望值(D)矩陣變換二、填空題（每空3分，共15分。請將答案填在橫線上）6.統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗，其核心是通過樣本信息來推斷________的性質(zhì)，并判斷統(tǒng)計假設(shè)是否成立。7.在心理測量學(xué)中，信度（Reliability）指的是測量工具結(jié)果的________和穩(wěn)定性程度。8.假設(shè)一個心理學(xué)研究模型包含兩個變量X和Y，其中Y的變化由X通過一個線性關(guān)系影響，即Y=β0+β1X+ε，那么該模型中β1的統(tǒng)計意義是變量X每變化一個單位，變量Y預(yù)期變化的________。9.神經(jīng)科學(xué)研究中，功能磁共振成像（fMRI）數(shù)據(jù)的分析常常涉及到對高維信號進行降維處理，以提取主要信息，這時可能會用到________的知識。10.心理學(xué)中的學(xué)習(xí)曲線，描述了學(xué)習(xí)量隨練習(xí)次數(shù)變化的趨勢，如果學(xué)習(xí)效率逐漸提高，該曲線呈現(xiàn)下降趨勢，其數(shù)學(xué)上可能用________方程來近似描述。三、簡答題（每小題8分，共24分）11.簡述相關(guān)系數(shù)（如皮爾遜相關(guān)系數(shù)）在心理學(xué)研究中有哪些主要用途。12.解釋什么是“統(tǒng)計顯著性”，并討論在心理學(xué)研究中報告統(tǒng)計顯著結(jié)果時需要注意的潛在問題。13.線性代數(shù)中的特征值和特征向量在心理學(xué)領(lǐng)域有哪些潛在的應(yīng)用場景？（請至少列舉兩個）四、計算題（共26分）14.（10分）某研究者想考察一種新療法對抑郁癥患者癥狀減輕的效果。隨機選取10名抑郁癥患者，在治療前后分別使用抑郁量表進行評分，數(shù)據(jù)如下（單位：評分分，分數(shù)越低表示抑郁程度越輕）：患者編號：12345678910治療前評分：45385249534750465548治療后評分：40354842494445405143請計算治療前后抑郁評分的均值差，并使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法（需說明理由）檢驗該療法是否具有顯著效果（即治療后評分是否顯著低于治療前評分）。15.（16分）在心理學(xué)中，一個簡單的認知模型可以描述為：個體在每次嘗試中成功與否的概率為p。設(shè)X為個體在n次獨立嘗試中獲得成功的次數(shù)。請回答：(a)闡述隨機變量X的分布類型，并說明其參數(shù)p和n的含義。(b)若某人進行5次記憶測試，每次測試成功的概率為0.7，求恰好成功3次的概率。(c)若要估計該個體記憶測試的成功率，理論上需要進行多少次測試才能使得成功次數(shù)的樣本均值以至少95%的概率落在真實成功率的正負0.05范圍內(nèi)？（提示：考慮大數(shù)定律和中心極限定理）五、論述題（共23分）16.綜述數(shù)學(xué)建模在心理學(xué)研究中的作用。請結(jié)合具體心理學(xué)領(lǐng)域（如認知心理學(xué)、社會心理學(xué)、臨床心理學(xué)等）的例子，論述數(shù)學(xué)模型如何幫助研究者理解心理過程、預(yù)測行為、或評估干預(yù)效果。在論述中，可以提及模型選擇、參數(shù)估計、結(jié)果解釋等方面需要注意的問題。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.D4.D5.C二、填空題6.總體7.一致性8.平均值9.線性代數(shù)10.微分三、簡答題11.答：相關(guān)系數(shù)在心理學(xué)研究中的主要用途包括：*描述兩個變量之間線性關(guān)系的方向（正相關(guān)、負相關(guān)或無相關(guān)）和強度。*為進一步進行回歸分析或其他統(tǒng)計推斷提供基礎(chǔ)。*在多變量分析中，用于初步探索變量間的相互關(guān)系，輔助變量選擇。*檢驗?zāi)承├碚摷僭O(shè)，例如假設(shè)某個因素與某種心理狀態(tài)呈正相關(guān)。12.答：統(tǒng)計顯著性（通常用p值表示）是指一個統(tǒng)計結(jié)果發(fā)生的概率，如果原假設(shè)（通常認為沒有效應(yīng)或沒有差異）實際上是正確的。p值小于某個預(yù)設(shè)的顯著性水平（如0.05）時，研究者傾向于拒絕原假設(shè)，認為觀察到的結(jié)果不是偶然發(fā)生的，具有一定的統(tǒng)計學(xué)證據(jù)支持。需要注意的潛在問題包括：*顯著性不等于效應(yīng)大小，一個具有統(tǒng)計學(xué)顯著性的結(jié)果可能實際意義不大。*過度依賴p值，忽視效應(yīng)量、置信區(qū)間等提供的信息。*p值本身具有隨機性，受樣本量影響大，樣本量越大，越容易獲得顯著結(jié)果。*可能存在發(fā)表偏倚，即只發(fā)表了具有顯著結(jié)果的studies，導(dǎo)致文獻中估計的效應(yīng)被高估。*統(tǒng)計顯著結(jié)果仍可能犯第一類錯誤（假陽性）。13.答：特征值和特征向量在心理學(xué)領(lǐng)域的潛在應(yīng)用場景包括：*因子分析/主成分分析：特征值代表了各個主成分或因子解釋的方差量。通過選擇特征值較大的幾個主成分/因子，可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，提取核心信息，例如在構(gòu)建心理量表時，通過因子分析發(fā)現(xiàn)潛在維度。*大腦功能網(wǎng)絡(luò)分析：在腦連接矩陣（如功能連接或結(jié)構(gòu)連接矩陣）中，特征向量可以代表網(wǎng)絡(luò)中的“主成分模式”或“小世界屬性”等關(guān)鍵結(jié)構(gòu)特征。特征值則可以反映該模式的“重要性”或“效率”。分析特征向量有助于理解大腦網(wǎng)絡(luò)的協(xié)調(diào)工作模式。*項目反應(yīng)理論（IRT）：IRT模型中的某些參數(shù)估計形式（如三參數(shù)邏輯斯蒂模型中的a,b,c參數(shù)與某些特征值/向量有關(guān)聯(lián)）與項目特性和被試能力的數(shù)學(xué)關(guān)系緊密。四、計算題14.解：*計算均值差：治療前均值M_pre=(45+38+52+49+53+47+50+46+55+48)/10=49.5治療后均值M_post=(40+35+48+42+49+44+45+40+51+43)/10=44.5均值差=M_pre-M_post=49.5-44.5=5.0*檢驗方法選擇：由于是比較同一組被試治療前后兩次測量結(jié)果的差異，且樣本量較?。╪=10），應(yīng)使用配對樣本t檢驗。*計算配對樣本t檢驗統(tǒng)計量：計算配對差值：d_i=pre_i-post_i差值序列：6,3,4,7,4,3,5,6,4,5差值均值d_bar=5.0差值標準差s_d=sqrt(((6-5)^2+(3-5)^2+...+(5-5)^2)/(10-1))=sqrt(22/9)≈1.5165標準誤差SE_d=s_d/sqrt(n)=1.5165/sqrt(10)≈0.4788t統(tǒng)計量=d_bar/SE_d=5.0/0.4788≈10.445*假設(shè)檢驗：設(shè)定顯著性水平α=0.05。查閱配對樣本t分布表，自由度df=n-1=9，雙側(cè)檢驗的臨界t值約為±2.262。*判斷：計算得到的t統(tǒng)計量值10.445遠大于臨界值2.262。因此，拒絕原假設(shè)（即治療前后評分無顯著差異），認為該療法具有顯著效果，使患者抑郁評分顯著降低。15.解：(a)隨機變量X的分布類型是二項分布。參數(shù)n代表獨立的嘗試次數(shù)（本例中n=5），參數(shù)p代表每次嘗試成功的概率（本例中p=0.7）。(b)恰好成功3次的概率P(X=3)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=C(5,3)*(0.7)^3*(1-0.7)^(5-3)=10*(0.7)^3*(0.3)^2=10*0.343*0.09=0.3087。(c)要使樣本均值落在真實概率±0.05的范圍內(nèi)，具有至少95%的概率，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似正態(tài)，其標準誤SE=sqrt(p(1-p)/n)。根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)，約95%的樣本均值會落在真實均值加減1.96倍標準誤的范圍內(nèi)。因此，|x?-p|≤0.05意味著1.96*SE≤0.05。解此不等式得SE≤0.05/1.96≈0.0255。又因為SE=sqrt(p(1-p)/n)，所以sqrt(0.7*0.3/n)≤0.0255。平方兩邊得0.21/n≤0.0255^2=0.00065025。解得n≥0.21/0.00065025≈323.1。由于n必須是整數(shù)，且需要至少95%的概率保證，應(yīng)向上取整，理論上至少需要進行324次測試。五、論述題16.答：數(shù)學(xué)建模在心理學(xué)研究中扮演著至關(guān)重要的角色，它為理解抽象的心理過程、量化復(fù)雜的行為模式以及評估干預(yù)效果提供了強大的工具。*理解心理過程：心理學(xué)家可以通過建立數(shù)學(xué)模型來形式化地表達關(guān)于認知、情緒或行為的理論假設(shè)。例如，在認知心理學(xué)中，信息處理模型（如反應(yīng)時模型）使用概率、微分方程等數(shù)學(xué)工具來描述記憶編碼、提取或決策的動態(tài)過程。通過模擬模型行為，研究者可以檢驗理論的預(yù)測是否與實證數(shù)據(jù)相符，并深入理解過程內(nèi)部的機制。*預(yù)測行為：基于已有的數(shù)據(jù)和理論，數(shù)學(xué)模型可以用來預(yù)測個體或群體的未來行為。例如，在社會心理學(xué)中，依戀理論可以通過數(shù)學(xué)函數(shù)來描述個體在不同情境下的依戀行為傾向。在臨床心理學(xué)中，風(fēng)險模型可以整合多種預(yù)測因子（如遺傳、環(huán)境、心理因素），預(yù)測患者病情惡化或復(fù)發(fā)概率。這些預(yù)測有助于早期識別高風(fēng)險個體。*評估干預(yù)效果：數(shù)學(xué)模型可以用于設(shè)計和評估心理干預(yù)措施。例如，認知行為療法（CBT）的效果可以通過構(gòu)建包含焦慮維持循環(huán)的模型來理解，并通過模擬干預(yù)對循環(huán)打破的影響來預(yù)測其效果。在藥物研發(fā)中，藥代動力學(xué)和藥效動力學(xué)模型（PK/PD模型）是數(shù)學(xué)模型，用于預(yù)測藥物在體內(nèi)的吸收、分布、代謝和排泄過程，以及藥物濃度與治療效果之間的關(guān)系，從而優(yōu)化劑量和給藥方案。*模型選擇與參數(shù)估計：建立模型后，需要使用統(tǒng)計學(xué)方法（如最大似然估計、貝葉斯估計）從數(shù)據(jù)中估計模型參數(shù)，并對模型擬合優(yōu)度進行評估