高三數(shù)學(xué)(120分鐘150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={x∈N*|x≥0},B={x|x<5},則A∩B=A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4,5}2.復(fù)數(shù)z滿足zi3=1-2i,則z的共軛復(fù)數(shù)z-A.2-i B.2+i C.-1+2i D.1+2i3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又是(0,+∞)上的增函數(shù)的是A.f(x)=12|x| B.f(x)=lg|x-1| C.f(x)=x,x≥0-x,x<0 4.角α以O(shè)x為始邊,它的終邊在第一象限與單位圓O相交于點P,且點P的橫坐標(biāo)為34,則cosπ2+α的值為A.-34 B.34 C.-74 5.“-2<x≤3”是“x2-x-6<0”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知向量a=(3,1),b=(2,2),則向量a在向量b上的投影向量為A.105,105 B.55,55 C.22,22 D.(2,2)7.已知sinπ6-α+cosα=45,則sinα+2π3=A.-4315 B.4315 C.-458.在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且b=4,a=2c,D為AC的中點,則cos∠ADB的最小值為A.35 B.75 C.34 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z=cosθ-2+(sinθ-a)i(a∈R),則A.z不可能為實數(shù)B.z不可能為純虛數(shù)C.z在復(fù)平面內(nèi)表示的點不可能在第一象限D(zhuǎn).|z|≥1恒成立10.已知函數(shù)f(x)=exxA.f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減B.f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增C.f(x)圖象在x=1處的切線方程為y=-2ex+3eD.f(x)的極小值為e11.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的23,再將所得函數(shù)圖象向右平移π3個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象A.f(x)+f(π6-x)=B.直線x=2π3是函數(shù)f(x)圖象C.函數(shù)g(x+π18)D.若|g(x1)-g(x2)|=2,則|x1-x2|的最小值為π三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知向量a=(x,y),b=(x-1,y+1),若a∥(2a-b),則x+y=.

13.交通建設(shè)能夠打破地理障礙,改善各地區(qū)之間的交通狀況,促進(jìn)地區(qū)經(jīng)濟(jì)一體化.通過修建高速公路、鐵路、航空港等交通設(shè)施,可以加快物資流通速度,提高區(qū)域內(nèi)各地的聯(lián)系和合作.如圖,某施工隊將從A到B修建一條隧道,為了測量AB間的距離.為此測得一些數(shù)據(jù):AC=23,CD=2,BD=3,∠ACD=90°,∠CDB=120°(A,B,C,D在同一水平面內(nèi)).則A,B間的距離為km.

14.已知G是△ABC的重心,點M滿足CM=3MA,則MG=λAB+μAC,則λ+μ=.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0有兩個虛數(shù)根x1和x2.(1)若x1=2+i,求b,c的值;(2)若b=|1+3i|,c=|1+22i|,求x1和x2.16.(15分)已知平面向量a=(3,4),b=(-2,-1).(1)當(dāng)λ為何值時,a+b與a+λb垂直?(2)a+b與a-kb的夾角為銳角,求實數(shù)k的取值范圍.17.(15分)已知函數(shù)f(x)=2cosωx-π6(ω為正整數(shù))在區(qū)間0,4π3上恰有3個零點.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)F(x)=f(x)-f12x在區(qū)間[0,2π]上的零點.18.(17分)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.在下面所給的三個條件中任選一個完成題目的解答:①asinB=bsin2A;②2acosC=2b-c;③asinB=bsinB+(1)求A的值;(2)若D為BC延長線上一點,且∠CAD=π3,求BDCD注:若多選,則按所選第一個計分.19.(17分)已知函數(shù)f(x)=12lnx+ax+x2a(a(1)當(dāng)a=-1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=a2x+x2a-12a,當(dāng)a>0時,證明f(x)≥g

參考答案1.B【解題分析】由A={x∈N*|x≥0},B={x|x<5},得A∩B={1,2,3,4}.故選B.2.A【解題分析】由zi3=1-2i,得-zi=1-2i,所以z=1-2i-i=(1-2i)i-i2=2+i.z-=23.C【解題分析】f(x)=12|x|是偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,選項A錯誤;f(x)=lg|x-1|是非奇非偶函數(shù),選項B錯誤;對于f(x)=x,x≥0,-x,x<0,定義域關(guān)于原點對稱,且滿足f(-x)=f(x),選項C正確;f(x)=x13是R上的增函數(shù),且是奇函數(shù),選項D4.C【解題分析】因為角α以O(shè)x為始邊,它的終邊與單位圓O相交于點P,且點P的橫坐標(biāo)為34,所以cosα=34,又cosπ2+α=-sinα=-74,故選5.B【解題分析】由x2-x-6<0得-2<x<3,因為由-2<x<3可以推出-2<x≤3,反之,由-2<x≤3推不出-2<x<3,所以“-2<x≤3”是“x2-x-6<0”成立的必要不充分條件.故選B.6.D【解題分析】因為a=(3,1),b=(2,2),所以a·b=8,a·b|b|·b|b|=b為7.B【解題分析】因為sinπ6-α+cosα=45,所以12cosα-32sinα+cosα=所以32cosα-32sinα=45,即3sinπ3-α=所以sinα+2π3=sinπ3-α=4315,故選B.8.A【解題分析】設(shè)BD=x,因為D為AC的中點,b=4,所以AD=DC=2,由三角形的三邊關(guān)系,可知2c+c>4且2c-c<4,解得43<c<4在△ABD中,由余弦定理得c2=x2+4-4xcos∠ADB;①在△CBD中,由余弦定理得4c2=x2+4-4xcos∠BDC.②因為∠ADB+∠BDC=π,所以cos∠BDC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB,所以5c2=2x2+8,解得c2=2x則cos∠ADB=x2+4-2x2+854x=320x+4當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時,等號成立,此時c2=2x2+85所以cos∠ADB的最小值為35.故選A9.BCD【解題分析】當(dāng)-1≤a≤1,且sinθ=a時,z為實數(shù),選項A錯誤;因為-1≤cosθ≤1,所以-3≤cosθ-2≤-1,所以z的實部不為0,所以z不可能為純虛數(shù),選項B正確;因為-3≤cosθ-2≤-1,所以z在復(fù)平面內(nèi)表示的點在虛軸的左側(cè),選項C正確;由-3≤cosθ-2≤-1,所以1≤(cosθ-2)2≤9,而(sinθ-a)2≥0,所以(cosθ-2)2+(sinθ-a)2≥1,所以|z|=(cosθ-2)2+(sinθ-a10.ACD【解題分析】由f(x)=exx3,求導(dǎo)得f'(x)=exx3-3x2exx6=(x-3)exx4,當(dāng)x<0時,f'(x)<0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,選項A正確;當(dāng)0<x<3時,f'(x)<0,當(dāng)x>3時,f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞增,選項B錯誤;當(dāng)x=1時,f(1)=e,則切點為(1,e),切線斜率k=f'(1)=-2e,得切線方程為y-e=-2e(x-1),即y=-2ex+3e,選項C正確;由選項B的討論可知,當(dāng)x=3時,11.AD【解題分析】首先由圖象易知A+B=2,-Af(x)的周期為2π3+π6=π,所以ω=2,又由對稱軸可得2×-π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,|φ|<π,可得φ=5π6可知函數(shù)f(x)=sin2x+5π6+1.將函數(shù)f(x)的圖象所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的23,可得y=sin3x+5π6+1的圖象,再將所得函數(shù)圖象向右平移π3個單位長度,可得g(x)=sin3x-π6+1的圖象,所以g(x)=sin3x-π6+1.對于A,當(dāng)x=π12時,2×π12+5π6=π,所以π12,1是f(x)所以有f(x)+fπ6-x=2,故A正確;對于B,將x=2π3代入f(x),得2×2π3+5π6=13π6≠π2+kπ,k∈Z對于C,gx+π18=sin3x+π6-π6+1=sin3x+1不是奇函數(shù),故C錯誤;對于D,若|g(x1)-g(x2)|=2,則|x1-x2|的最小值為T2=12×2π3=π3,故D正確12.0【解題分析】因為a=(x,y),b=(x-1,y+1),所以2a-b=(x+1,y-1),因為a∥(2a-b),所以x(y-1)=y(x+1),即x+y=0.13.13【解題分析】連接AD,由勾股定理得AD=4,且∠ADC=60°,所以∠ADB=60°,在△ADB中,由余弦定理得AB=AD2+DB2-2AD·DBcos∠14.5【解題分析】設(shè)AC的中點為N,則MG=MN+NG=14AC+13NB=14AC+13NA+AB=14AC+1312CA+AB=14AC+13所以λ=13,μ=112,所以λ+μ=15.【解題分析】(1)(方法一)因為x1=2+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(2+i)2+b(2+i)+c=0,整理得(2b+c+3)+(b+4)i=0,因為b,c∈R,所以2解得b=-4,c=5.6分(方法二)依題意,x1=2+i,則x2=2-i,由根與系數(shù)的關(guān)系,得-b=x1+x2=4,c=x1x2=5,所以b=-4,c=5.6分(2)b=|1+3i|=12+(3)2=2,c=|1+22所以方程化為x2+2x+3=0,由求根公式得x=-2±22i2=-1所以x1=-1+2i,x2=-1-2i.13分16.【解題分析】(1)a+b=(1,3),a+λb=(3,4)+(-2λ,-λ)=(3-2λ,4-λ),因為a+b與a+λb垂直,所以3-2λ+3(4-λ)=0,解得λ=3.7分(2)a+b=(1,3),a-kb=(3+2k,4+k),因為a+b與a-kb的夾角為銳角,所以(a+b)·(a-kb)>0,即k∈(-3,-1)∪(-1,+∞).15分17.【解題分析】(1)因為ω>0,所以當(dāng)x∈0,4π3時,ωx-π6∈-π6,(8ω-1)π因為f(x)在區(qū)間0,4π3上恰有3個零點,所以52π≤(8ω-1)π6<72π,因為ω為正整數(shù),所以ω=2,所以f(x)=2cos2x-π6.7分(2)F(x)=f(x)-f12x=2cos2x-π6-2cosx-π6,由F(x)=0,得2cos2x-π6=2cosx-π6,所以2x-π6=2kπ+x-π6(k∈Z)或2x-π6=2kπ-x-π6(k得x=2kπ(k∈Z)或x=2kπ3+π9因為x∈[0,2π],所以當(dāng)k=0時,x=0或x=π9;當(dāng)k=1時,x=2π或x=7π9;當(dāng)k=2時,x=綜上知,當(dāng)x∈[0,2π]時,函數(shù)F(x)=f(x)-f12x的零點為0,π9,7π9,13π9,2π.1518.【解題分析】(1)若選①,因為asinB=bsin2A,由正弦定理得sinAsinB=sinBsin2A=2sinBsinAcosA,又sinAsinB≠0,所以cosA=12因為A∈0,π2,所以A=π3.7分若選②,因為2acosC=2b-c,由正弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以2cosAsinC=sinC,又sinC≠0,所以cosA=12因為A∈0,π2,所以A=π3.7分若選③,由正弦定理可得sinAsinB=sinBsinB+因為sinB≠0,所以sinB+C2又因為A+B+C=π,B+C2=π所以sinπ2-A2=cosA2=sinA=2sinA2cos因為cosA2≠0,所以sinA2=因為A∈0,π2,故A2=π6,所以A=π3.7(2)在△ABD中,BDsin2π3=ADsinB在△ACD中,CDsinπ3=ADsin(B+π所以23BDsinB則BDCD=sin(B+π3)sinB=sinB+因為△ABC為銳角三角形,∠CAD=π3所以0<B<π2,0<B所以33<tanB<3,從而1<3tan所以1<121+3tanB<所以BDCD的取值范圍是(1,2).17分19.【解題分析】(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=12lnx-1x-x2則f'(x)=12x+1x2-12當(dāng)0<x<2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,