河南省九師聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．53．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．零向量不能作為直線的一個(gè)方向向量B．若向量是平面的一個(gè)法向量，則也是平面的一個(gè)法向量C．在長(zhǎng)方體中，是底面的一個(gè)法向量D．單位向量都是相等向量4．若平面，的法向量分別為，，則平面與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．無法確定5．已知平面經(jīng)過點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)是平面內(nèi)異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．如圖1，正方形中，，，是的中點(diǎn).將沿折疊到的位置，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．已知空間向量，，共面，則（

）A． B．1 C．2 D．38．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)部的一點(diǎn)，且平面與平面的夾角為，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．向量，的夾角為B．C．若是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為D．向量在向量上的投影向量為10．如圖，在平行六面體中，與相交于點(diǎn)，記，，，為的重心，則（

）A． B．C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)（包括邊界），則（

）A．的長(zhǎng)度的最大值為B．若平面，則點(diǎn)為的一個(gè)三等分點(diǎn)C．平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為D．直線與平面所成角的正弦值最大為三、填空題12．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．在空間直角坐標(biāo)系中，軸上一點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．如圖，在四棱錐中，，，，，，在棱上，若，，，四點(diǎn)共面，則.四、解答題15．已知向量（其中，為實(shí)數(shù)）是直線的方向向量，向量是平面的法向量.(1)若，求的最小值；(2)若，求，的值.16．已知是空間的一個(gè)基底，向量.(1)證明：是空間的另一個(gè)基底；(2)用基底表示向量．17．如圖，在平行六面體中，，且，.(1)分別求，的長(zhǎng)；(2)證明：.18．如圖，在四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，⊥底面，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)當(dāng)時(shí)，求的中點(diǎn)到平面的距離；(3)當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求的值.19．如圖，在四棱錐中，底面為長(zhǎng)方形，，為的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)為底面所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)（在長(zhǎng)方形外，和均為銳角），且.（?。┤羝矫婧推矫娴膴A角為，求的最大值；（ⅱ）請(qǐng)判斷是否存在點(diǎn)，使得五棱錐存在外接球，若存在，求出外接球的半徑；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題號(hào)12345678910答案ABDCBCADACBC題號(hào)11答案ABD1．A利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：A2．B根據(jù)點(diǎn)在面上的射影及空間向量的模求解.【詳解】因?yàn)槭屈c(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，，所以，故選：B3．D根據(jù)零向量方向判斷A，根據(jù)共線向量判斷B，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)判斷C，根據(jù)單位向量概念判斷D.【詳解】由直線的方向向量規(guī)定為一個(gè)非零向量，所以不能作為直線的一個(gè)方向向量，故A正確；向量是平面的一個(gè)法向量,則共線向量也是平面的一個(gè)法向量，故B正確；在長(zhǎng)方體中，因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，所以是底面的一個(gè)法向量，故C正確；單位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D錯(cuò)誤.故選：D4．C根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量是否平行或垂直，從而可判斷平面與的位置關(guān)系.【詳解】平面，的法向量分別為，，則不平行，則平面，不平行，又，則平面，不垂直，故平面與相交但不垂直.故選：C.5．B根據(jù)法向量的性質(zhì)利用數(shù)量積求解.【詳解】因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，故，即，故選：B6．C建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解.【詳解】連接，如圖，由題意可知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，又平面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，由，，知為的中點(diǎn)，則，,,，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，故選：C7．A由空間向量的共面定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由共面可知，存在實(shí)數(shù)使得，即，所以，解得.故選：A8．D由平面與平面的夾角為，知點(diǎn)在以為端點(diǎn)的一條線段上，再利用向量法求解?！驹斀狻咳鐖D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則.由平面與平面的夾角為，知點(diǎn)在以為端點(diǎn)的一條線段上，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，則取，故平面的一個(gè)法向量為.又由平面與平面的夾角為，得，解得，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：D．9．AC對(duì)于A：利用向量夾角公式可得；對(duì)于B：先得到的坐標(biāo)，再平方即得答案；對(duì)于C：利用平行四邊形的面積公式可得；對(duì)于D：利用投影向量公式可得.【詳解】選項(xiàng)A：計(jì)算數(shù)量積：，模長(zhǎng)：，，夾角余弦：，因此，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：計(jì)算：，，模長(zhǎng)：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：以，為鄰邊的平行四邊形的面積，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：向量在向量上的投影向量為：，，，代入得：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC10．BC根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】由，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．ABD建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式、線面垂直的性質(zhì)、正方體截面的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式、基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度的最大值為，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故本選項(xiàng)正確；B：，設(shè)平面的法向量為，，，所以有，可取，當(dāng)平面時(shí)，則有，則有，即，，，顯然，所以點(diǎn)為的一個(gè)三等分點(diǎn)，因此本選項(xiàng)正確；C：如上圖所示：截面是五邊形，顯然，由平面幾何知識(shí)可知，因?yàn)椋?，得，同理，可得，于是，，，，所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，因此本選項(xiàng)說法不正確；D：由上可知平面的法向量為，，直線與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值最大為，因此本選項(xiàng)說法正確，故選：ABD12．根據(jù)題意，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義，可得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.13．設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離列方程即可得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.14．設(shè)，以為基底表示出，利用，，，四點(diǎn)共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程組，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題知，設(shè)，則，又，且，因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，所以，即，又因?yàn)?，則，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以.故答案為：15．(1)(2)（1）由，得到，求得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由，得到，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.【詳解】（1）解：由向量是直線的方向向量，向量是平面的法向量，若，則，可得，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.（2）解：若，可得，所以，可得，由，代入可得.16．(1)證明見解析；(2)．（1）利用空間向量基底的定義，借助反證法推理得證.（2）利用空間向量基本定理列式求解.【詳解】（1）由是空間的一個(gè)基底，得不共面，假設(shè)向量共面，則必存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，則共面，與不共面矛盾，因此不共面，所以是空間的另一個(gè)基底.（2）用基底表示向量，則，又，因此，解得，所以.17．(1)(2)證明見解析（1）由空間向量線性運(yùn)算，可得，，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．（2）由和，計(jì)算出，利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，故，又，故，由于，所以，?），所以．18．(1)證明見詳解(2)(3)（1）建立空間直角坐標(biāo)系，在平面找一個(gè)向量與共線，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；（3）利用線面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）是邊長(zhǎng)為的正方形，，又平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，為的中點(diǎn)，，取的中點(diǎn)，則，所以，，，平面，平面//平面（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，則，得當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)到平面的距離．故的中點(diǎn)到平面的距離.（3），，，由（2）知平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則即，解得或（舍去），故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為.19．(1)證明見解析(2)（i）（ii）不存在，證明見解析【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，故．又平面，所以平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以，所以，即．又平面，所以平面．?）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，由，得．又在長(zhǎng)方形外，和均為銳角，所以．可化為，兩邊平方后