2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新應(yīng)用”綜合試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分）1.人口增長模型某城市2020年人口為100萬，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示人口年增長率符合函數(shù)模型(r(t)=0.02-0.001t)（(t)為年份，以2020年為起點(diǎn)，(t\geq0)），則2030年該城市人口約為（）A.112萬B.115萬C.118萬D.121萬解答思路：人口增長模型為(P(t)=P_0e^{\int_0^tr(s)ds})，其中(P_0=100)萬，(r(t)=0.02-0.001t)。積分得：[\int_0^t(0.02-0.001s)ds=0.02t-0.0005t^2]2030年對應(yīng)(t=10)，代入得：[\int_0^{10}r(s)ds=0.02\times10-0.0005\times10^2=0.2-0.05=0.15]則(P(10)=100e^{0.15}\approx100\times1.1618\approx116.18)萬，最接近選項(xiàng)C。2.網(wǎng)絡(luò)傳播模型某謠言在社交媒體上傳播，初始時(shí)有2人感染，傳播速度與已感染人數(shù)和未感染人數(shù)的乘積成正比。若總用戶數(shù)為1000人，當(dāng)感染人數(shù)為200時(shí)，傳播速度為16人/小時(shí)，則傳播速度達(dá)到最大值時(shí)的感染人數(shù)為（）A.250人B.500人C.750人D.1000人解答思路：設(shè)感染人數(shù)為(N(t))，則傳播速度(\frac{dN}{dt}=kN(1000-N))，其中(k)為比例系數(shù)。當(dāng)(N=200)時(shí)，(\frac{dN}{dt}=16)，代入得：[16=k\times200\times800\impliesk=\frac{16}{160000}=10^{-4}]速度函數(shù)(f(N)=10^{-4}N(1000-N))為二次函數(shù)，開口向下，對稱軸(N=500)時(shí)取最大值，選B。3.經(jīng)濟(jì)成本模型某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為10萬元，可變成本與產(chǎn)量(x)（噸）的關(guān)系為(C(x)=2x+0.1x^2)（萬元），若產(chǎn)品售價(jià)為每噸8萬元，則最大利潤為（）A.15萬元B.20萬元C.25萬元D.30萬元解答思路：利潤函數(shù)(L(x)=8x-[10+2x+0.1x^2]=-0.1x^2+6x-10)，對稱軸(x=-\frac{6}{2\times(-0.1)}=30)，代入得：[L(30)=-0.1\times900+6\times30-10=-90+180-10=80\text{萬元}]（注：題目選項(xiàng)可能存在印刷錯(cuò)誤，按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為80萬元，若修正可變成本為(C(x)=2x+0.1x^2)單位為“萬元/噸”，則(L(x)=8x-10-2x-0.1x^2=-0.1x^2+6x-10)，仍為80萬元。此處可能需檢查題目條件，若固定成本為100萬元，則最大利潤為-20萬元，與選項(xiàng)不符。）二、填空題（共3小題，每小題8分，共24分）4.曲線擬合模型某物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移(s(t))（米）與時(shí)間(t)（秒）的關(guān)系如下表，用二次函數(shù)(s(t)=at^2+bt+c)擬合數(shù)據(jù)，則(a=)______。(t)0123(s(t))0259解答思路：代入(t=0)，得(c=0)；代入(t=1)：(a+b=2)；代入(t=2)：(4a+2b=5)；聯(lián)立解得(a=0.5)，(b=1.5)，故(a=0.5)。5.優(yōu)化問題某農(nóng)場要圍一個(gè)面積為150平方米的矩形養(yǎng)雞場，雞場一面靠墻（墻長25米），另三面用竹籬笆圍成，竹籬笆總長35米，則雞場的長（平行于墻）為______米。解答思路：設(shè)長為(x)，寬為(y)，則(x+2y=35)，(xy=150)。由(x=35-2y)，代入面積公式：[(35-2y)y=150\implies2y^2-35y+150=0]解得(y=10)或(y=7.5)，對應(yīng)(x=15)或(x=20)。因墻長25米，(x=20)符合條件，故長為20米。三、解答題（共3小題，共60分）6.環(huán)境治理模型（20分）某湖泊因污染導(dǎo)致水質(zhì)下降，治理部門采用生物凈化技術(shù)，污染物濃度(C(t))（mg/L）隨時(shí)間(t)（天）的變化滿足微分方程(\frac{dC}{dt}=-k(C-C_0))，其中(k>0)為降解系數(shù)，(C_0=10)mg/L為自然凈化后的穩(wěn)定濃度。（1）若初始濃度(C(0)=100)mg/L，10天后濃度降至55mg/L，求(k)的值；（2）若要求30天內(nèi)濃度降至20mg/L以下，求(k)的最小值。解答步驟：（1）方程為一階線性微分方程，通解為(C(t)=C_0+(C(0)-C_0)e^{-kt})，代入(C_0=10)，(C(0)=100)：[C(t)=10+90e^{-kt}]當(dāng)(t=10)時(shí)，(C(10)=55)：[55=10+90e^{-10k}\impliese^{-10k}=\frac{45}{90}=0.5\implies-10k=\ln0.5\impliesk=\frac{\ln2}{10}\approx0.0693]（2）要求(C(30)<20)：[10+90e^{-30k}<20\impliese^{-30k}<\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\implies-30k<-\ln9\impliesk>\frac{\ln9}{30}=\frac{2\ln3}{30}\approx\frac{2\times1.0986}{30}\approx0.0732]故(k)的最小值為(\frac{\ln9}{30}\approx0.073)。7.交通流模型（20分）某高速公路收費(fèi)站的車輛到達(dá)率(\lambda(t)=60-3t)（輛/分鐘，(0\leqt\leq20)），單個(gè)收費(fèi)通道的服務(wù)率為12輛/分鐘，假設(shè)車輛到達(dá)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。（1）若開放2個(gè)通道，求(t=5)分鐘時(shí)的車輛到達(dá)率及排隊(duì)長度變化率；（2）為避免排隊(duì)長度持續(xù)增加，至少需開放多少個(gè)通道？解答步驟：（1）到達(dá)率(\lambda(5)=60-3\times5=45)輛/分鐘，2個(gè)通道的總服務(wù)率(\mu=2\times12=24)輛/分鐘。排隊(duì)長度變化率(\frac{dL}{dt}=\lambda(t)-\mu=45-24=21)輛/分鐘（排隊(duì)長度增加）。（2）避免排隊(duì)需滿足(\lambda(t)\leqn\mu)對所有(t\in[0,20])恒成立，其中(n)為通道數(shù)。(\lambda(t))最大值在(t=0)時(shí)，(\lambda_{\text{max}}=60)輛/分鐘，故(n\mu\geq60\impliesn\geq\frac{60}{12}=5)，需開放5個(gè)通道。8.投資決策模型（20分）某公司計(jì)劃投資A、B兩個(gè)項(xiàng)目，投資金額分別為(x)、(y)（萬元），年利潤(P(x,y)=2\sqrt{x}+3\sqrt{y})，投資總額不超過100萬元，且A項(xiàng)目投資不低于B項(xiàng)目的20%。（1）建立利潤最大化的數(shù)學(xué)模型并寫出約束條件；（2）用拉格朗日乘數(shù)法求最優(yōu)投資方案及最大利潤。解答步驟：（1）目標(biāo)函數(shù)：(\maxP(x,y)=2\sqrt{x}+3\sqrt{y})約束條件：[\begin{cases}x+y\leq100\x\geq0.2y\x\geq0,y\geq0\end{cases}]（2）由約束(x+y=100)（資源充分利用時(shí)利潤最大），設(shè)拉格朗日函數(shù)(L=2\sqrt{x}+3\sqrt{y}+\lambda(100-x-y))求偏導(dǎo)：[\frac{\partialL}{\partialx}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\lambda=0\implies\lambda=\frac{1}{\sqrt{x}}][\frac{\partialL}{\partialy}=\frac{3}{2\sqrt{y}}-\lambda=0\implies\lambda=\frac{3}{2\sqrt{y}}]聯(lián)立得(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{3}{2\sqrt{y}}\implies\sqrt{y}=\frac{3}{2}\sqrt{x}\impliesy=\frac{9}{4}x)代入(x+y=100)：(x+\frac{9}{4}x=100\impliesx=\frac{400}{13}\approx30.77)，(y=\frac{900}{13}\approx69.23)驗(yàn)證(x\geq0.2y)：(30.77\geq0.2\times69.23\approx13.85)，成立。最大利潤(P=2\sqrt{\frac{400}{13}}+3\sqrt{\frac{900}{13}}=\frac{40+90}{\sqrt{13}}=\frac{130}{\sqrt{13}}=10\sqrt{13}\approx36.06)萬元。四、建模應(yīng)用題（36分）9.疫情傳播與防控某地區(qū)爆發(fā)流感疫情，初始感染人數(shù)為100人，未采取防控時(shí)，傳播模型為(I(t)=I_0e^{rt})（(r=0.2)天?1）。為控制疫情，當(dāng)?shù)夭扇　胺饪亍焙汀耙呙缃臃N”兩種措施：封控措施：第5天開始實(shí)施，使傳播系數(shù)(r)降低50%；疫苗接種：第10天開始，每日接種1000人，接種后不再感染。該地區(qū)總?cè)丝跒?0萬人，假設(shè)疫苗接種后立即生效，且封控與疫苗措施獨(dú)立作用。（1）建立疫情傳播的分段函數(shù)模型(I(t))；（2）計(jì)算第20天時(shí)的累計(jì)感染人數(shù)（精確到100人）；（3）若要求30天內(nèi)累計(jì)感染人數(shù)不超過5萬人，疫苗接種速度至少需提高多少？解答步驟：（1）分段模型：階段1（0≤t<5天）：無防控，(I(t)=100e^{0.2t})；階段2（5≤t<10天）：僅封控，(r=0.2\times0.5=0.1)，初始值(I(5)=100e^{0.2\times5}=100e^1\approx271.83)，故(I(t)=271.83e^{0.1(t-5)})；階段3（t≥10天）：封控+疫苗，有效傳播系數(shù)仍為0.1，但每日減少接種人數(shù)1000人，模型修正為(I(t)=I(10)e^{0.1(t-10)}-1000(t-10))（需滿足(I(t)\geq0)）。（2）計(jì)算各階段感染人數(shù)：第5天：(I(5)=100e^{1}\approx272)人；第10天：(I(10)=272e^{0.1\times5}=272e^{0.5}\approx272\times1.6487\approx448)人；第20天：(t-10=10)天，(I(20)=448e^{0.1\times10}-1000\times10=448e^1-10000\approx448\times2.7183-10000\approx1218-10000\approx-8782)（感染人數(shù)不能為負(fù)，故實(shí)際(I(20)=0)，即10天后疫苗接種已控制疫情）。（3）設(shè)疫苗接種速度為(v)（人/天），30天內(nèi)累計(jì)感染人數(shù)需滿足：[\int_0^{30}I(t)dt\leq50000]階段3（10≤t≤30）累計(jì)感染：[\int_{10}^{30}[I(10)e^{0.1(t-10)}-v(t-10)]dt\leq50000-\int_0^5I(t)dt-\int_5^{10}I(t)dt]計(jì)算得前10天累計(jì)感染約為(\int_0^5100e^{0.2t}dt+\int_5^{10}272e^{0.1(t-5)}dt\approx100\times5(e^1-1)+272\times10(e^{0.5}-1)\approx1359+272\times6.487\approx1359+1765=3124)人，故階段3需滿足：[\int_{10}^{30}[448e^{0.1(t-10)}-v(t-10)]dt\leq50000-3124=46876]積分得：[4480(e^2-1)-v\times\frac{20^2}{2}\leq46876\implies4480\times6.389-200v\leq46876\implies28633-200v\leq46876\impliesv\geq\frac{28633-46876}{-200}\approx91.2\text{人/天}]當(dāng)前接種速度為1000人/天，已遠(yuǎn)超過需求，故無需提高（題目可能存在數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)問題，實(shí)際應(yīng)調(diào)整參數(shù)使接種速度為關(guān)鍵變量）。五、開放創(chuàng)新題（24分）10.智能倉儲(chǔ)優(yōu)化某電商倉庫采用機(jī)器人分揀貨物，現(xiàn)有A、B兩種型號機(jī)器人：A型機(jī)器人：速度20件/分鐘，續(xù)航8小時(shí)，充電1小時(shí)可恢復(fù)80%電量；B型機(jī)器人：速度30件/分鐘，續(xù)航5小時(shí)，充電1小時(shí)可恢復(fù)60%電量。倉庫每日需分揀貨物10萬件，工作時(shí)間為12小時(shí)（含充電時(shí)間），每臺(tái)A型機(jī)器人成本20萬元，B型30萬元。（1）建立機(jī)器人數(shù)量與分揀效率的數(shù)學(xué)模型，目標(biāo)是總成本最低，列出約束條件；（2）若A型機(jī)器人最多采購5臺(tái)，B型最多采購4臺(tái)，用枚舉法求最優(yōu)采購方案。解答思路：（1）設(shè)采購A、B型機(jī)器人數(shù)量分別為(m)、(n)，單臺(tái)有效工作時(shí)間：A型：12小時(shí)內(nèi)充電次數(shù)(k=\lfloor\frac{12-8}{1}\rfloor=