2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度錘煉試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）某外賣平臺(tái)為優(yōu)化配送路線，將配送區(qū)域抽象為平面直角坐標(biāo)系，騎手從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向行駛3公里后，再沿與x軸夾角為60°的方向行駛2公里到達(dá)目的地。若不考慮路況，該騎手的位移向量坐標(biāo)為（）A.(4,√3)B.(5,√3)C.(4,2√3)D.(5,2√3)2025年某城市居民人均可支配收入數(shù)據(jù)顯示，該指標(biāo)近似服從正態(tài)分布N(45000,σ2)，其中95.4%的居民收入落在[39000,51000]區(qū)間內(nèi)。若隨機(jī)抽取1000名居民進(jìn)行調(diào)查，預(yù)計(jì)收入超過51000元的人數(shù)約為（）A.23B.46C.159D.317魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出"割圓術(shù)"："割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣"。若將半徑為1的圓內(nèi)接正n邊形的面積記為S?，隨著n增大，S?的極限值與S???-S?的變化趨勢為（）A.極限值為π，差值逐漸增大B.極限值為π，差值逐漸減小C.極限值為2π，差值逐漸增大D.極限值為2π，差值逐漸減小某人工智能公司開發(fā)的圖像識(shí)別系統(tǒng)，對貓和狗的識(shí)別準(zhǔn)確率分別為90%和85%。已知測試集中貓和狗的圖片比例為3:2，現(xiàn)有一張被系統(tǒng)判定為貓的圖片，該圖片實(shí)際為貓的概率是（）A.27/34B.27/37C.9/10D.17/20函數(shù)f(x)=e??1-ln(2x)+1的圖像與直線y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.{1}D.(-∞,0]∪{1}北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，某兩顆地球同步衛(wèi)星的軌道可視為半徑為r的圓。若地球半徑為R，表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)影響，則兩顆衛(wèi)星的相對運(yùn)動(dòng)周期為（）A.2π√(r3/gR2)B.π√(r3/gR2)C.無窮大（相對靜止）D.條件不足無法確定某電商平臺(tái)"618"促銷期間，某商品的價(jià)格波動(dòng)滿足函數(shù)模型p(t)=100+20sin(πt/12)，其中t為促銷開始后的小時(shí)數(shù)（0≤t≤24）。若某消費(fèi)者在價(jià)格低于110元時(shí)購買該商品，則能成功下單的時(shí)間窗口長度為（）A.4小時(shí)B.8小時(shí)C.12小時(shí)D.16小時(shí)在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P為棱BB?上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則三棱錐P-A?C?D的體積與△PA?D面積之和的最小值為（）A.4√2/3+2B.8/3+2√2C.4+2√2D.8/3+4某地區(qū)2020-2024年的GDP數(shù)據(jù)如下表所示：年份20202021202220232024GDP（億元）1200138015931837.952113.64若用指數(shù)模型y=ab?（x=0對應(yīng)2020年）擬合該數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）①增長率b≈1.15②2025年預(yù)測值約為2430.69億元③模型殘差平方和小于線性模型④若改為對數(shù)模型擬合，可提高預(yù)測精度A.①②B.①③C.②④D.③④已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=(n+1)a?/(n+a?)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.{1/a?}是等差數(shù)列B.a?=2/(n2+n)C.前n項(xiàng)和S?<2D.若b?=a?·a???，則{b?}的前n項(xiàng)和T?=1/2-1/(n+1)(n+2)二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=1，且Re(z)≥0，則|z+1|的取值范圍是_________。某工廠生產(chǎn)的電子元件壽命X（單位：小時(shí)）服從參數(shù)λ=0.001的指數(shù)分布，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200個(gè)進(jìn)行測試，則這200個(gè)元件的平均壽命的方差為_________。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為√3的直線與C的右支交于點(diǎn)P，若線段PF的中點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為_________。某密碼鎖的密碼由6位數(shù)字組成，每位數(shù)字可從0-9中選取。若密碼中至少含有兩個(gè)不同的數(shù)字，且相鄰兩位數(shù)字不相同，則符合條件的密碼總數(shù)為_________。已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱，且f'(1)=3，則a+b+c=_________。在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=2，bcosC+ccosB=√2b，則△ABC面積的最大值為_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）某新能源汽車廠商研發(fā)的電池能量密度y（單位：Wh/kg）與研發(fā)投入x（單位：百萬元）的關(guān)系滿足y=100+15ln(x+1)，研發(fā)投入需滿足0≤x≤20。（1）當(dāng)研發(fā)投入為500萬元時(shí)，求能量密度的瞬時(shí)增長率；（2）若每提高1Wh/kg能量密度可使單車成本降低200元，要使總收益（成本降低額-研發(fā)投入）最大，求最優(yōu)研發(fā)投入金額。18.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為A?B?的中點(diǎn)。（1）證明：平面C?CD⊥平面A?B?BA；（2）求二面角D-AC?-C的余弦值；（3）線段CC?上是否存在點(diǎn)P，使得BP與平面AC?D所成角的正弦值為√3/3？若存在，求出CP的長；若不存在，說明理由。19.（12分）某社區(qū)組織"健康生活"知識(shí)競賽，比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段。初賽采用"20題選擇題+5題填空題"的形式，每題答對得5分，答錯(cuò)或不答得0分。已知小明在初賽中選擇題的正確率為0.8，填空題的正確率為0.6，且各題作答相互獨(dú)立。（1）求小明初賽得分的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若初賽得分不低于80分可進(jìn)入決賽，決賽采用"搶答題"形式，共有A,B,C三類題目，其中A類題每題10分，B類題每題20分，C類題每題30分。小明在決賽中對A,B,C類題的搶答成功率分別為0.9,0.7,0.4，且每次搶答成功后才能繼續(xù)搶答，失敗則終止比賽。若小明采用"先搶3道A類題，再搶2道B類題，最后搶1道C類題"的策略，求他決賽得分的數(shù)學(xué)期望。20.（12分）已知橢圓E：x2/4+y2/3=1的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?，過F?的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)。（1）若l的傾斜角為60°，求△AF?B的面積；（2）設(shè)點(diǎn)M(0,t)，若直線MA,MB的斜率之和為1，求t的取值范圍；（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得∠APF?=∠BPF?？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。21.（12分）某城市為優(yōu)化交通布局，計(jì)劃在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)修建地下通道。已知ABCD的長AB=4km，寬BC=2km，通道入口位于A處，出口位于C處，中間需經(jīng)過P,Q兩個(gè)換乘點(diǎn)（P在AD上，Q在BC上），且PQ與AB平行（如圖）。設(shè)AP=xkm，CQ=ykm，通道總長度為L。（1）寫出L關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域；（2）若地下通道的建設(shè)成本與長度和轉(zhuǎn)彎次數(shù)有關(guān)，每公里建設(shè)成本為500萬元，每個(gè)轉(zhuǎn)彎處額外增加200萬元成本（A→P→Q→C視為兩次轉(zhuǎn)彎）。當(dāng)x=1時(shí)，求最低建設(shè)成本；（3）在（2）的成本模型下，若要求通道總長度不超過5km，求x的取值范圍，并分析此時(shí)建設(shè)成本的變化趨勢。22.（12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-