專(zhuān)題09復(fù)數(shù)

考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

2024年已知復(fù)數(shù)的類(lèi)型求參數(shù)、由復(fù)數(shù)模復(fù)數(shù)在上海高考中通常以選擇題、

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算填空題的形式出現(xiàn)，分值一般為5

運(yùn)算（5年2考）2022年復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、共軛復(fù)分左右，屬于基礎(chǔ)題型，是考生應(yīng)

得的分?jǐn)?shù)。復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共

數(shù)的概念及計(jì)算

軛復(fù)數(shù)、模等基本概念是考查熱

點(diǎn)，同時(shí)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也是必

2025年求復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)

考內(nèi)容，常與復(fù)數(shù)概念結(jié)合，其中

算

除法運(yùn)算需將分母實(shí)數(shù)化，是運(yùn)算

2023年求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法考查的重點(diǎn)。命題會(huì)滲透數(shù)學(xué)運(yùn)

求復(fù)數(shù)的模（5年3考）

運(yùn)算算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，如通過(guò)

2021年求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)復(fù)數(shù)運(yùn)算考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能

算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算力，通過(guò)復(fù)數(shù)概念及相關(guān)問(wèn)題考查

學(xué)生的邏輯推理能力。

考點(diǎn)01復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

2

1．（2024·上海·高考真題）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且zmmR，則實(shí)數(shù)m為．

z

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】已知復(fù)數(shù)的類(lèi)型求參數(shù)、由復(fù)數(shù)模求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】設(shè)z1bi,bR且b0，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類(lèi)即可得到答案.

【詳解】設(shè)z1bi，bR且b0.

22b23b3b

則z1bi22im，

z1bi1b1b

b23

m

1b2

mR，，解得m2，

b3b

0

1b2

2．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知z1i（其中i為虛數(shù)單位），則2z；

【答案】22i

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【分析】先由z1i求出z，從而可求出2z

【詳解】因?yàn)閦1i，所以z1i，

所以2z21i22i，

故答案為：22i

故答案為：2.

考點(diǎn)02求復(fù)數(shù)的模

3．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知當(dāng)z1i，則1iz；

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.

【詳解】1iz1i(1i)2i，|1iz||2i|5.

故答案為：5.

4．（2021·上海·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z13i(i是虛數(shù)單位)，則zi.

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【分析】由已知求得zi，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．

【詳解】解：z13i，

zi13ii12i，

則|zi||12i|12225．

故答案為：5．

5．（2025·上海·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2(z)2,|z|1，則|z23i|的最小值是．

【答案】22

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【分析】先設(shè)zabi，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及概念確定ab0，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計(jì)算即

可.

【詳解】設(shè)zabia,bR,zabi，

2

由題意可知z2a22abib2za22abib2，則ab0，

又za2b21，由復(fù)數(shù)的幾何意義知z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Za,b在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸

上運(yùn)動(dòng)，如圖所示即線段AB,CD上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)E2,3，則z23iZE，由圖象可知BE10CE22，

所以

ZEmin22.

故答案為：22

一、單選題

34i

1．（2025·上?！と＃┤魪?fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位），則（）

i

A．z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．z43i

C．zz666iD．zz5

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求得z，進(jìn)而逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

34ii3i4

【詳解】z43i

i21

對(duì)于A，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4,3，位于第四象限，故A正確；

對(duì)于B，z43i，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，zz43i43i6i，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，zz43i43i16925，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

1

2．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓上，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在（）

z

A．一條直線上B．一個(gè)圓上C．一條拋物線上D．一支雙曲線上

【答案】A

1

【分析】設(shè)zmni，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)m,n在已知圓上，代入圓的方程變形可得.

z

【詳解】設(shè)zmni，圓心為a,b，則半徑r2a2b2，

2

則圓的方程為xayb2a2b2，即x2y22ax2by0，

2am2an

依題意有m2n22am2bn0，變形得10，

m2n2m2n2

11mnimn

因?yàn)閕，

zmnimnimnim2n2m2n2

1mn

所以的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為,，顯然在直線2ax2by10上.

zm2n2m2n2

故選：A

二、填空題

2i

3．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z，其中i為虛數(shù)單位，則|z|．

i

【答案】5

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可.

2ii2i

【詳解】z12i，

ii2

故|z|12(2)25．

故答案為：5.

4．（2025·上海金山·二模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1i)z1i（i為虛數(shù)單位），則z.

【答案】i

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可.

1i(1i)(1i)2i

【詳解】依題意，zi.

1i(1i)(1i)2

故答案為：i

5．（2025·上海浦東新·二模）若關(guān)于x的方程x2xm0的一個(gè)虛根的模為2，則實(shí)數(shù)m的值

為．

【答案】4

【分析】設(shè)關(guān)于x的方程的兩根虛根為x1,x2，則x1x2m且x1x2，即可求出m的值，再代入檢驗(yàn).

2

【詳解】設(shè)關(guān)于x的方程xxm0mR的兩根虛根為x1,x2，則x1x2m且x1x2，

所以x1x22，又x1x2x1x2m4，所以m4，

2

當(dāng)m4時(shí)，14140，所以關(guān)于x的方程x2xm0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，不符合題意；

2

當(dāng)m4時(shí)，14140，所以關(guān)于x的方程x2xm0有兩個(gè)虛根，符合題意；

所以m4.

故答案為：4

1i

6．（2025·上海閔行·二模）已知i是虛數(shù)單位，則．

i

【答案】2

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)計(jì)算即可.

1i2

【詳解】1iii11122.

i

故答案為：2.

1

7．（2025·上海徐匯·二模）復(fù)數(shù)z（其中i為虛數(shù)單位）的虛部是．

1i

1

【答案】/0.5

2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法，化簡(jiǎn)z，進(jìn)而直接寫(xiě)出虛部即可.

11i1i111

【詳解】zi，故其虛部為.

1i1i1i2222

1

故答案為：.

2

32i

8．（2025·上海普陀·二模）已知復(fù)數(shù)z，其中i為虛數(shù)單位，則zz.

i

【答案】4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.

(32i)(i)

【詳解】因?yàn)閦23i，z23i

i(i)

zz(23i)(23i)4.

故答案為：4

∣

9．（2025·上海寶山·三模）已知復(fù)數(shù)z04，集合zzz02,zC所構(gòu)成區(qū)域的面積是.

【答案】32π

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義畫(huà)圖計(jì)算即可.

22

【詳解】設(shè)z0abi，已知|z0|4可得ab4，即點(diǎn)(a,b)在以原點(diǎn)(0,0)為圓心，4為半徑的圓上，

如圖圓2.

設(shè)zxyi，zzxabyi，22，

0zz0xaby2

表示點(diǎn)x,y,a,b兩點(diǎn)之間的距離為2.

則集合{z|zz02,zC}所表示的圖形是以點(diǎn)(0,0)為圓心，6為半徑的圓的大圓3和以點(diǎn)(0,0)為圓心，2

為半徑的小圓1之間的圓環(huán)部分.

其面積為：Sπ62π2232π

集合{z||zz0|2,zC}所構(gòu)成區(qū)域的面積是32π.

故答案為：32π

10．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1)，則iz．

【答案】1i/i1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得z1i，進(jìn)而可得z1i，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1)，所以z1i，則z1i，

所以izi1iii2i11i

故答案為：1i.

11．（2025·上海黃浦·三模）復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1izi（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象

限．

【答案】三

【分析】由復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

ii1i1i11

【詳解】由題意z，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第三象限.

1i1i1i222

故答案為：三.

，=1，，

12．（2025·上海嘉定·二模）已知復(fù)數(shù)z1z2滿(mǎn)足z1z22z1z27，則z1z2的值為．

【答案】3

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，把復(fù)數(shù)和平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，再利用向量的加減運(yùn)算及平行四邊

形的性質(zhì)即可.

【詳解】設(shè)OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，

則OAOB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1z2，OAOB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1z2，

因?yàn)閦11,z22,z1z27，

2222

由平行四邊形的性質(zhì)可得：|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)

所以222

z1z22z12z2z1z22873

故答案為：3.

13．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z、w滿(mǎn)足|z|2,z(1i)w（i是虛數(shù)單位），則|w2|的最大

值是.

【答案】22/22

【分析】由模長(zhǎng)運(yùn)算，可得復(fù)數(shù)w的模長(zhǎng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與圓的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】已知|z|2,z(1i)w，則|z||(1i)w||1i||w|.

|z|2

因?yàn)閨1i|12122，所以|w|2，

|1i|2

|w2|表示復(fù)數(shù)w所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，

|w|2說(shuō)明w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，

所以|w2|的最大值為圓心(0,0)到點(diǎn)(2,0)的距離加上半徑，即22.

故答案為：22.

14．（2025·上海浦東新·三模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zz|z|0，則|z12i|（i是虛數(shù)單位）的最小值

為.

【答案】23

2

【分析】確定復(fù)數(shù)的軌跡，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式即可求解.

【詳解】設(shè)zxyi，zabi

則由zz|z|0可得：2xx2y2