專題08復(fù)數(shù)、不等式、平面向量

考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢

、近五年北京卷復(fù)數(shù)命題穩(wěn)定，常以選擇

考點(diǎn)1復(fù)數(shù)2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、1

題形式出現(xiàn)，分值固定，難度較低。重點(diǎn)

（5年5考）2022北京卷、2021北京卷

考查復(fù)數(shù)的基本概念，如模、共軛復(fù)數(shù)等，

考點(diǎn)2等式與

以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，包括加減乘除等。

不等式2025北京卷、2024北京卷

題目通常結(jié)合復(fù)數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的

（5年2考）

表示，考查復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合。未來可能

會繼續(xù)保持穩(wěn)定，注重基礎(chǔ)知識的考查，

同時(shí)可能結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識，增加綜合性。

2、近五年北京卷等式與不等式命題形式為

選擇題。選擇題側(cè)重基本性質(zhì)和簡單解法。

未來可能會繼續(xù)強(qiáng)化綜合應(yīng)用，增加與其

考點(diǎn)3平面向

2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、

量他知識模塊的交叉考查。

2022北京卷、2021北京卷、近五年北京卷平面向量命題以選擇、填

（5年5考）3

空題為主，偶爾在解答題中出現(xiàn)。重點(diǎn)考

查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算、數(shù)量

積等，常與平面圖形結(jié)合。未來可能會繼

續(xù)保持這一趨勢，注重基礎(chǔ)知識的考查，

同時(shí)可能增加難度，考查向量的綜合應(yīng)用。

考點(diǎn)01復(fù)數(shù)

1．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足iz22i，則|z|（）

A．2B．22C．4D．8

【答案】B

22i

【解析】由iz22i可得，z22i，所以z222222，

i

故選：B.

z

2．（2024·北京·高考真題）已知1i，則z（）．

i

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】C

【解析】由題意得zi1i1i.

故選：C.

3．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3)，則z的共軛復(fù)數(shù)z（）

A．13iB．13i

C．13iD．13i

【答案】D

【解析】z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是(1,3)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z13i，

由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，z13i.

故選：D

4．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足iz34i，則z（）

A．1B．5C．7D．25

【答案】B

34i34ii22

【解析】由題意有z43i，故|z|435．

iii

故選：B．

5．（2021·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2，則z（）

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】D

221i21i

【解析】由題意可得：z1i.

1i1i1i2

故選：D.

考點(diǎn)02等式與不等式

6．（2025·北京·高考真題）已知a0,b0，則（）

111

A．a(chǎn)2b22abB．

abab

112

C．a(chǎn)babD．

abab

【答案】C

【解析】對于A,當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab，故A錯(cuò)誤；

1111

112468

對于BD，取a,b，此時(shí)ab11ab，

24

24

1122

24642

ab11ab，故BD錯(cuò)誤；

24

對于C，由基本不等式可得ab2abab，故C正確.

故選：C.

x

7．（2024·北京·高考真題）已知x1,y1，x2,y2是函數(shù)y2的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）

yyxxyyxx

A．log1212B．log1212

222222

yyyy

C．log12xxD．log12xx

22122212

【答案】B

xx1x2

【解析】由題意不妨設(shè)x1x2，因?yàn)楹瘮?shù)y2是增函數(shù)，所以022，即0y1y2，

xxxx

2x12x212yy12

對于選項(xiàng)AB：可得2x1·2x222，即12220，

22

x1x2

y1y22x1x2

根據(jù)函數(shù)ylog2x是增函數(shù)，所以loglog2，故B正確，A錯(cuò)誤；

2222

對于選項(xiàng)D：例如x10,x21，則y11,y22，

yy3yy

可得log12log0,1，即log121xx，故D錯(cuò)誤；

22222212

11

對于選項(xiàng)C：例如x1,x2，則y,y，

121224

yy3yy

可得log12loglog332,1，即log123xx，故C錯(cuò)誤，

222822212

故選：B.

考點(diǎn)03平面向量

uuuruuur

8．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA||OB|2，|AB|2.設(shè)C(3,4)，則|2CAAB|

的取值范圍是（）

A．[6,14]B．[6,12]C．[8,14]D．[8,12]

【答案】D

【解析】因?yàn)閨OA||OB|2，|AB|2，

π

由ABOBOA平方可得，OAOB0，所以O(shè)A,OB．

2

2CAAB2OAOCOBOAOAOB2OC，OC32425，

2222

所以，2CAABOAOB4OC4OAOBOC

224254OAOBOC1044OAOBOC，

又OAOBOCOAOBOC52210，即10OAOBOC10，

2

所以2CAAB64,144，即2CAAB8,12，

故選：D.

9．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

2222

【解析】因?yàn)閍babab0，可得ab，即ab，

可知abab0等價(jià)于ab，

若ab或ab，可得ab，即abab0，可知必要性成立；

若abab0，即ab，無法得出ab或ab，

例如a1,0,b0,1，滿足ab，但ab且ab，可知充分性不成立；

綜上所述，“abab0”是“ab或ab”的必要不充分條件.

故選：B.

22

10．（2023·北京·高考真題）已知向量a，b滿足ab(2,3),ab(2,1)，則|a||b|（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】B

【解析】向量a,b滿足ab(2,3),ab(2,1)，

所以|a|2|b|2(ab)(ab)2(2)311.

故選：B

11．（2022·北京·高考真題）在VABC中，AC3,BC4,C90．P為VABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC1，

則PAPB的取值范圍是（）

A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C0,0，A3,0，B0,4，

因?yàn)镻C1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動，

設(shè)Pcos,sin，0,2，

所以PA3cos,sin，PBcos,4sin，

所以PAPBcos3cos4sinsin

cos23cos4sinsin2

13cos4sin

34

15sin，其中sin，cos，

55

因?yàn)?sin1，所以415sin6，即PAPB4,6；

故選：D

12．（2021·北京·高考真題）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，則

(ab)c；ab=.

【答案】03

【解析】以a,b交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則a(2,1),b(2,1),c(0,1)，

ab4,0，(ab)c40010，

ab22113.

故答案為：0；3.

22

1．（2025·北京·三模）已知向量a、b滿足ab3,5，ab1,1，則ab（）

A．2B．2C．0D．6

【答案】A

【解析】因?yàn)橄蛄縜、b滿足ab3,5，ab1,1，

2222

則abababab31512.

故選：A.

2．（2025·北京大興·三模）已知平面向量a1,2，b2,m，若abab，則實(shí)數(shù)m（）

A．1B．1C．1或1D．4

【答案】C

【解析】因?yàn)閍1,2,b2,m，

所以ab3,m2,ab1,2m.

因?yàn)閍bab，所以ab·ab0

所以3m22m0.

解得m1.

故選：C.

3．（2025·北京東城·二模）已知單位向量a,b的夾角為，若ab1，則的取值范圍為（）

π2ππ2π2π

A．0,B．0,C．,D．,π

33333

【答案】B

【解析】因?yàn)橄蛄縜,b為單位向量，且|ab|1，

所以|a+b|21，即|a|22ab|b|21，

1

化簡得cos，

2

因?yàn)橄蛄縜,b的夾角[0,π]，

2π

所以[0,).

3

故選：B.

4．（2025·北京海淀·二模）已知向量a1,2,bx,1．若a與b共線，則x（）

11

A．B．2C．D．2

22

【答案】A

【解析】因?yàn)橄蛄縜1,2,bx,1．且a與b共線，

1

所以得112x，解得x.

2

故選：A.

5．（2025·北京海淀·二模）設(shè)a、b、cR，abc0，且abc，則（）

abbc

A．2B．2

bcab

C．2abcD．a(chǎn)bc

【答案】C

1ab

【解析】對于A選項(xiàng)，不妨取a2，b1，c，則2422，A錯(cuò)；

4bc

bc

對于B選項(xiàng)，不妨設(shè)a1，b2，c6，則2352，B錯(cuò)；

ab

對于C選項(xiàng)，因?yàn)閍bc，由不等式的基本性質(zhì)可得2abc，C對；

對于D選項(xiàng)，不妨設(shè)a1，b2，c2.5，則ab32.5c，D錯(cuò).

故選：C.

lg2lg5

6．（2025·北京海淀·一模）已知四個(gè)數(shù)a，blg2lg5，clg2，dlg5，其中最小的是（）

2

A．a(chǎn)B．b

C．cD．d

【答案】C

lg2lg5

【解析】易知0lg2lg5，所以可得lg2<lg5，

2

即cad；

lg2lg5

再由基本不等式可得lg2lg5，即ba；

2

顯然lg2lg2lg2lg2lg5，即cb；

因此可得cbad，即最小的是c.

故選：C

x

7．（2025·北京順義·一模）已知直線yx4分別與函數(shù)y2和ylog2x的圖象交于Ax1,y1，Bx2,y2，

x

1x1x2

給出下列三個(gè)結(jié)論：2x2；228；x1log2x2x2log2x10.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．0①B．1②C．2③D．3

【答案】C

x

【解析】由題意直線yx4與yx垂直，函數(shù)y2和ylog2x的圖象關(guān)于yx對稱，

所以Ax1,y1Bx2,y2關(guān)于yx對稱，

yx4

又由得交點(diǎn)坐標(biāo)為2,2，則x1x24，

yx

x1x1

對于：因?yàn)?x14，且x24x1，所以2x2，錯(cuò)誤；

xxxx3x1x2

對于①：由212222122，因?yàn)閤1x2，則2①28；正確；

對于②：直線yx4與y2x聯(lián)立，可得x42x，即2xx②40，

設(shè)函數(shù)③fx2xx4，fx是增函數(shù)，

333

又由f110，f()2240，可得f1f()0，

222

33

所以函數(shù)fx在區(qū)間(1,)上存在唯一零點(diǎn)，即1x，

212

5

因?yàn)閤x4，所以x3，

1222

logxlogelogx

構(gòu)造函數(shù)gx2(x0)，則gx22，

xx2

當(dāng)g(x)0時(shí)，可得x(0,e)，

函數(shù)g(x)在(0,e)單調(diào)遞增；

當(dāng)g(x)0時(shí)，可得x(e,)，

函數(shù)g(x)在(e,)單調(diào)遞減；

35

1x，x3，

1222

39

lnln3ln

logxlogxln3

2221240，正確；

x2x1333

2③

故選：C

8．（2025·北京房山·一模）已知a,bR，且ab，則（）

11

A．B．a(chǎn)2b2

ab

C．a(chǎn)3b3D．lnba0

【答案】C

【解析】對于A選項(xiàng)：舉反例a1,b1可知不成立；

對于B選項(xiàng)：舉反例a1,b1可知不成立；

13

對于C選項(xiàng)：a3b3(ab)(a2abb2)(ab)[(ab)2b2]，

24

13

因?yàn)閍b，所以ab0，而(ab)20,b20且不同時(shí)為0，

24

故a3b30，即a3b3，正確；

對于D選項(xiàng)：舉反例a1,b1.5可知不成立；

故選：C．

9．（2025·北京豐臺·一模）已知ab，cd，則下列不等式恒成立的是（）

A．a(chǎn)cbdB．a(chǎn)cbdC．2a2c2b2dD．a(chǎn)2c2b2d2

【答案】C

【解析】選項(xiàng)A：acbd

舉反例：取a1，b2，c3，d4，則ac2，bd2，顯然22不成立，因此A不恒成

立；

選項(xiàng)B：acbd

舉反例：取a2，b1，c3，d2，則ac6，bd2，顯然62不成立，故B不恒成立；

選項(xiàng)C：2a2c2b2d

由于指數(shù)函數(shù)2x是嚴(yán)格遞增函數(shù)，ab和cd分別推出2a2b和2c2d，因此2a2c2b2d恒

成立，因此C恒成立；

選項(xiàng)D：a2c2b2d2

舉反例：取a3，b2，c4，d1，則a2c225，b2d25，顯然255不成立，因此D不

恒成立.

故選：C.

10．（2025·北京延慶·一模）設(shè)x，yR，且0xy1，則（）

1

A．x2y2B．sinxsinyC．4x2yD．xy(2y)

x

【答案】D

【解析】因?yàn)?xy1，

1111

對于A：取x,y，所以x2y2，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3294

ππ12

對于B：取x,y，所以sinxsiny，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6422

1111

對于C：取x,y，所以x3y，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6242222

111

對于D，x2x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1取等號，所以x2，

xxx

2

y2y

因?yàn)閥0,2y0，所以y2y1，當(dāng)且僅當(dāng)y1取等號，所以y2y1，

2

1

所以xy2y，D選項(xiàng)正確.

x

故選：D.

z

11．（2025·北京·三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是3,4，則的共軛復(fù)數(shù)是（）

i

A．43iB．43iC．43iD．43i

【答案】B

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是3,4，

所以z34i，

z34i34ii

3i4i243i，

iiii

z

則的共軛復(fù)數(shù)是：43i，

i

故選：B．

12．（2025·北京大興·三模）若復(fù)數(shù)zai12i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a（）

11

A．2B．2C．D．

22

【答案】A

a20

【解析】復(fù)數(shù)zai12ia22a1i為純虛數(shù)，則，解的a2.

2a10

故選：A

3i

13．（2025·北京昌平·二模）若復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z（）．

1i

A．12iB．12iC．12iD．12i

【答案】A

3i3i1i313ii

【解析】由z12i，

1i1i1i2

所以z12i，

故選：A.

3i

14．（2025·北京·二模）設(shè)i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

3i3i1i24i

【解析】12i，

1i1i1i2

3i

所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)1,2，位于第四象限，

1i

故選：D

15．（2025·北京豐臺·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi1i的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【解析】復(fù)數(shù)zi1i1i的共軛復(fù)數(shù)z1i，所以對應(yīng)的點(diǎn)1,1位于第四象限.

故選：D.

π

16．（2025·北京海淀·三模）已知e,e為兩個(gè)單位向量，且e,e，O是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，N是平面

12123