專題09統(tǒng)計與概率目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學考要求 1基礎知識梳理 2考點精講精練 5考點一：簡單隨機抽樣與分層抽樣 5考點二：求幾個數的數字特征及性質 7考點三：頻率分布直方圖 8考點四：頻率分布直方圖的數字特征 11考點五：百分位數的估計 16考點六：古典概型的計算 18考點七：互斥事件與對立事件 19考點八：事件的相互獨立 20考點九：利用頻率估計概率 22實戰(zhàn)能力訓練 24 明晰學考要求 1、理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法；2、了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點；3、理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差；4、能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并作出合理的解釋；5、會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想；6、會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題；7、了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別；8、了解兩個互斥事件的概率加法公式；9、理解古典概型及其概率計算公式；10、會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發(fā)生的概率；11、理解事件的相互獨立及乘法公式.基礎知識梳理一、簡單隨機抽樣及分層抽樣定義設一個總體含有個個體，從中逐個不放回抽取個個體作為樣本()，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣方法抽簽法把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本隨機數法利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣抽簽法與隨機數法相同點①都屬于簡單隨機抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個體數有限；②都是從總體中逐個不放回地進行抽取不同點①抽簽法比隨機數法操作簡單；②隨機數法更適用于總體中個體數較多的時候，而抽簽法適用于總體中個體數較少的情況利用隨機數法抽取個體時的注意事項：①定起點：事先應確定以表中的哪個數(哪行哪列)作為起點．②定方向：讀數的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．③讀數規(guī)則：讀數時結合編號的特點進行讀取，編號為兩位數則兩位兩位地讀取，編號為三位數則三位三位地讀取，如果出現重復則跳過，直到取滿所需的樣本個體數．分層抽樣：①定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．②應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．注意：分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘以抽樣比．二、頻率分布直方圖1.畫頻率分布直方圖的步驟第1步：求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)；第2步：決定組距與組數；第3步：將數據分組；第4步：列頻率分布表；第5步：畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).2.頻率分布直方圖的性質：落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積和等于1.三、數字特征①眾數、中位數、平均數數字特征樣本數據頻率分布直方圖眾數出現次數最多的數據取最高的小長方形底邊中點的橫坐標中位數將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標平均數樣本數據的算術平均數每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和②極差、方差和標準差極差：即一組數據中最大值與最小值的差．方差：.標準差：.注：方差和標準差反映了數據波動程度的大?。畼藴什?、方差越大，數據的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩(wěn)定．③性質（1）若的平均數為，那么的平均數為.（2）數據與數據的方差相等，即數據經過平移后方差不變．（3）若的方差為s2，那么的方差為.四、百分位數1.定義：一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值．2.計算一組幾個數據第p百分位數的步驟第1步，按從小到大排列原始數據；第2步，計算.第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．3.四分位數即把所有數值由小到大排列并分成四等份，處于三個分割點位置的數值就是四分位數．其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等．五、事件間的關系及運算定義符號表示圖示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?B，則事件A與事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或A·B)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件且五、古典概型1.古典概型的特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．2.古典概型的概率計算公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．3.概率的基本性質性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B)．性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么．性質5：如果A?B，那么．性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有．六、相互獨立事件1、定義：對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．2、判斷事件是否相互獨立的方法（1）定義法：若事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生概率沒有影響，反之亦然，則這兩個事件是相互獨立的（2）公式法：若對兩事件A，B有，則事件A，B相互獨立.3、相互獨立事件的概率計算已知兩個事件A，B相互獨立，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則有事件概率A，B同時發(fā)生P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))A，B恰有一個發(fā)生P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)A，B中至少有一個發(fā)生P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一個發(fā)生P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))七、頻率穩(wěn)定性大量試驗表明，在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性．一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率估計概率P(A)．如果在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當n很大時，可以認為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n)，且.考點精講精練考點一：簡單隨機抽樣與分層抽樣（1）簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數有限；②逐個抽?。虎凼遣环呕爻槿?；④是等可能抽取，常有抽簽法(適用于總體中個體數較少的情況)、隨機數法(適用于個體數較多的情況)．（2）分層隨機抽樣中有關計算的方法:①抽樣比=；②總體中某兩層的個體數之比=樣本中這兩層抽取的個體數之比.【典型例題】例1．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）從24名數學教師，16名物理教師，8名化學教師中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，則抽取數學教師的人數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）一支羽毛球隊有男運動員20人，女運動員15人，按性別進行分層．用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為7的樣本．如果樣本按比例分配，那么女運動員應抽取的人數為（

）A．2 B．3 C．5 D．6例3．（2023高二上·新疆·學業(yè)考試）對總數為的一批零件抽取一容量為20的樣本，若每個零件被抽取的可能性為20%，則為（

）A．150 B．120 C．100 D．40例4．（2024高二下·福建·學業(yè)考試）已知男女生共有100人，其中男生45人，現從100人中抽20人，則抽出的20人中男生有人.【即時演練】1．下列抽樣的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為（）①從500個個體中一次性抽取50個作為樣本；②將500個個體編號，把號簽放在一個不透明的容器內攪拌均勻，從中逐個抽取50個作為樣本；③某班有55個同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽；④福利彩票用搖獎機搖獎.A．1 B．2 C．3 D．42．某工廠生產三種不同型號的產品，它們的產量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產品有120件，則樣本容量為（

）A．150 B．180 C．200 D．2503．某商場有四類食品，食品類別和種數見下表.現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是.類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類種數401030204．要考查某種品牌的顆種子的發(fā)芽率，從中抽取顆種子進行實驗，利用隨機數表法抽取種子，先將顆種子按、、、進行編號，如果從隨機數表第行第列的數開始并向右讀，則抽到的第顆種子的編號是.（下面抽取了隨機數表第行至第行）034743738636964736614698637162332616804560111410959774946774428114572042533237322707360751245179897316766227665650267107329079785313553858598897541410考點二：求幾個數的數字特征及性質【典型例題】例1．（2023高二下·浙江溫州·學業(yè)考試）某地區(qū)連續(xù)六天的最低氣溫（單位：）為：，若該六天最低氣溫的平均數和眾數分別為，則．例2．（2024高二上·新疆·學業(yè)考試）數據的平均數為8，數據的平均數為.如果滿足，，…，，則.例3．（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）若一組數據的方差是5，則數據的方差是．例4．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）兩名射擊運動員在10次測試中的成績分別如下（單位：環(huán)）：甲8910979910910乙91081099109610則甲的樣本方差乙的樣本方差，可以估計運動員的成績更加穩(wěn)定．（前面一空選填“大于”或“小于”，后面一空選填“甲”或“乙”）【即時演練】1．若一組數據為1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，則這組數據的眾數為.2．國家射擊運動員在某次訓練中的8次射擊成績（單位：環(huán)）分別為10，7，8，10，，10，8，6，其中為整數，若這8次射擊成績的中位數為9，則（

）A．6 B．7 C．9 D．103．已知某組數據為x，y，8，10，11．它的平均數為8，方差為6，則的值為．4．已知一組數據的平均數為10，方差為2，若這組數據，的平均數為，方差為，則.考點三：頻率分布直方圖（1）由于頻率分布直方圖中的縱坐標為,因此涉及縱坐標中含參數的問題,應根據頻率之和為1列式求解；（2）根據頻率分布直方圖(表)求樣本數據在某一區(qū)間內的頻率就是樣本數據在該區(qū)間內的各組頻率的和,而求解相應的頻數還要根據頻率乘以樣本容量；（3）若所求區(qū)間包含頻率分布直方圖中非分組的端點,可以利用“比例法”求解.【典型例題】例1．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）為了解學生某月課外閱讀的情況，抽取了名學生進行調查并根據調查結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，若閱讀時間（單位：小時）在的學生有210人，則（

）A．300 B．360 C．400 D．480例2．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）某校為了解今年春季學期開學第一周，高二年級學生參加學校社團活動的時長，有關部門隨機抽查了該校高二年級100名同學，統(tǒng)計他們今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長（單位：小時）范圍是，數據分組為.這100名同學中，今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長不少于6小時的人數為人.例3．（2024高二下·天津南開·學業(yè)考試）為了研究網民的上網習慣，某機構隨機抽取了年齡在10歲到60歲的網民進行問卷調查，按年齡分為5組，即，，，40,50，，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示．若按分層抽樣的方法，從上述網民中抽取n人做采訪，其中年齡在中被抽取的人數為7，則．例4．（2023高二上·山西·學業(yè)考試）某高校為了解學習貫徹習近平新時代中國特色社會主義思想主題教育的學習情況，對全體黨員進行了黨史知識測試，從中隨機抽取200名黨員的測試成績，進行適當分組（每組為左閉右開的區(qū)間），整理得到如下的頻率分布直方圖，則成績在內的頻率為．【即時演練】1．2020年第1期深圳車牌搖號競價指標共6668個，某機構從參加這期車牌競拍且報價在1~8萬元的人員中，隨機抽取了若干人的報價，得到的部分數據整理結果如下：報價區(qū)間（單位：萬元）3,4頻數103640則在這些競拍人員中，報價不低于5萬元的人數為（

）A．30 B．42 C．54 D．802．從某高中高三年級1000名隨機選取100名學生一次數學統(tǒng)測測試成績，分為6組：，，，，，，繪制了頻率分布直方圖如圖所示，按此圖估計，則高三年級全體學生中，成績在區(qū)間內的學生有（

）A．600名 B．650名 C．60名 D．65名3．某中職學校為了解全校學生國慶小長假期間閱讀古典名著的時間的情況，抽查了1000名學生，將他們的閱讀時間進行分組：.抽樣結果繪成的頻率分布直方圖如圖所示.則實數.這1000名學生閱讀古典名著的時間不少于8小時的人數為.4．某市為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學生中按的比例隨機抽取人進行一分鐘跳繩測試，將所得數據整理后，分為組畫出頻率分布直方圖（如圖所示），由于操作失誤，導致第一組和第二組的數據丟失，但知道第二組頻率是第一組的倍.

(1)求和的值；(2)若次數在以上（含次）為優(yōu)秀，試估計全市高一學生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學生的人數約為多少？考點四：頻率分布直方圖的數字特征用頻率分布直方圖估計總體數字特征的方法:（1）眾數：最高小長方形底邊中點的橫坐標；（2）中位數：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；（3）平均數：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.【典型例題】例1．（2023高二下·浙江溫州·學業(yè)考試）某游泳館統(tǒng)計了2022年8月1日到30日某小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（

）

A．估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數的平均值為14B．估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數的眾數為18C．已知天數在區(qū)間鍛煉人數為30人，則總共鍛煉了500人D．估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數的中位數約為14.255例2．（2023高二下·浙江杭州·學業(yè)考試）為了解某地兒童生長發(fā)育情況，抽查了100名3周歲女童的身高，將統(tǒng)計結果繪制成頻率分布直方圖如圖，則可以估計這100名女童身高的平均值為cm.

例3．（2012高一下·江蘇淮安·學業(yè)考試）為了了解某校女生視力情況，某中學對女生視力進行了一次測量，所得數據整理后列出了頻率分布表如下：組別頻數頻率10.0240.08200.40150.3080.16mn合計MN(1)求出表中m，n，M，N所表示的數分別是多少？(2)將頻率分布直方圖補充完整；(3)利用組中值計算女生視力的平均值.例4．（2023高一·全國·學業(yè)考試）某市司法部門為了宣傳《中華人民共和國憲法》舉辦法律知識問答活動，從該市歲的人群中隨機抽取一個容量為的樣本，并將樣本按年齡分成五組：、、、、，再將其按從左到右的順序分別編號為第組，第組，，第組，繪制了樣本的頻率分布直方圖．對回答問題的情況進行統(tǒng)計后，結果如下表所示．組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的比例第組第組第組第組第組(1)分別求出、的值；(2)從第、、組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，則第、、組各應抽取多少人？(3)根據頻率分布直方圖估算出樣本數據的中位數．【即時演練】1．某校組織50名學生參加慶祝中華人民共和國成立75周年知識競賽，經統(tǒng)計這50名學生的成績都在區(qū)間內，按分數分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據圖中數據，下列結論錯誤的是（

）A．成績在上的人數最少B．成績不低于80分的學生所占比例為C．50名學生成績的極差為50D．50名學生成績的平均分小于中位數2．某車間從生產的一批產品中隨機抽取了1000個零件進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論錯誤的是（

）A．B．估計這批產品該項質量指標的眾數為45C．估計這批產品該項質量指標的中位數為60D．從這批產品中隨機選取1個零件，其質量指標在的概率約為0.53．某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名，將其物理成績（均為整數）分成六段40,50，50,60，，90,100后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息，設估計這次考試的物理成績的平均分為和中位數，則與大小關系是（用“或或”作答）4．某校抽取100名高二學生期中考試的語文成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區(qū)間為：.

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的眾數和平均數.考點五：百分位數的估計（1）求一組數據的百分位數時,一定要先將該組數據按照從小到大的順序排列；（2）根據頻率分布直方圖計算樣本數據的百分位數,首先要理解頻率分布直方圖中各組數據頻率的計算方法,其次估計百分位數在哪一組,再應用方程的思想方法及比例法,設出百分位數,利用比例列方程求解.【典型例題】例1．（2022高二下·安徽馬鞍山·學業(yè)考試）高二年級某班甲同學自進入高中以來，每次數學考試成績情況如下：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101計算出學生甲的第25，50百分位數（

）A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99例2．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）一組數據：，其中為正整數，且．若該組數據的分位數為，則該組數據的眾數為（

）A．1 B．3 C．5 D．7例3．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）某校為了解高一年級學生的體育健康標準測試（簡稱“體測”）成績的分布情況，從該年級學生的體測成績（規(guī)定滿分為100分）中，隨機抽取了80名學生的成績，并進行分組：50,60，60,70，，，90,100，繪制成如下頻率分布直方圖，該校高一年級學生體測成績的第80百分位數的估計值是（

）

A．87 B．88 C．89 D．90例4．（2023高二·安徽·學業(yè)考試）某校為了解學生課外閱讀情況，對該校學生的年閱讀量（單位：本）進行抽樣調查，將調查數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數據的第25百分位數所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【即時演練】1．已知一組數據為：，，，，，，，，，，則這組數據（

）A．中位數為 B．眾數為 C．百分位數為3 D．平均數為2．某市九月份30天的空氣質量指數如下：54

51

53

62

52

52

50

58

61

6063

62

59

57

58

17

18

30

29

3140

55

84

73

44

70

67

44

46

84則將該市空氣質量指數按照從低到高的順序排列，其分位數是（

）A．61 B．62 C．61.5 D．62.53．某省教育廳對全省高三學生采用分層抽樣的方式抽取了1000名學生參加化學，物理和英語三大學科的抽樣考試，目的是為了更好地應對新高考的改革來調整日常教學同時檢查各個學校的教學成果，考試結束后對這1000名同學的化學成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數據用該組區(qū)間中間值作為代表值，則這些同學化學成績的上四分位數約為（

）A．79.5分 B．82.5分 C．81分 D．82分4．某市為了了解該市的“全民健身運動”的開展情況，從全體市民中隨機調查了100位市民每天的健身運動時間（健身運動時間是考查“全民健身運動”情況的重要指標），所得數據都在區(qū)間（單位：分鐘）中，其頻率直方圖如圖所示，估計市民健身運動時間的樣本數據的百分位數是（

）

A．29分鐘 B．27分鐘 C．29.5分鐘 D．30.5分鐘考點六：古典概型的計算（1）判斷是否為古典概型,關鍵是看它是否同時滿足兩個特征:有限性和等可能性；（2）計算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點的總個數n；②求出事件A所包含的樣本點個數;③代入公式求出概率.【典型例題】例1．（2024高二下·福建·學業(yè)考試）某高中開設7門課，3門是田徑，某學生從7門中選一門，選到田徑的概率為（

）A． B． C． D．例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）從長度為的5條線段中任取3條，則以這三條線段為邊能構成一個三角形的概率是（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5例3．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（

）A． B． C． D．例4．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）同時擲兩個骰子一次，計算向上的點數，求：(1)點數之和是7的概率；(2)點數中恰有一個奇數和一個偶數的概率．【即時演練】1．從三名男生和兩名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為（

）A． B． C． D．2．從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數字之積是3的倍數的概率為（

）A． B． C． D．3．某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．4．人類四種血型與基因類型的對應關系為：O型對應基因類型ii，A型對應基因類型ai或aa，B型對應基因類型bi或bb，AB型對應基因類型ab．其中a和b是顯性基因，i是隱性基因．一對夫妻的血型一個是A型，一個是B型，則其子女的血型中最可能出現的是型，概率值為．考點七：互斥事件與對立事件設事件與所含的結果組成的集合分別為.①若事件件與互斥,則集合；②若事件件與對立,則集合且.【典型例題】例1．（2021高二·湖北·學業(yè)考試）明明同學打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有兩次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶例2．（2023高三·廣東·學業(yè)考試）某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是（

）A．至多投中一次 B．兩次都投中C．只投中一次 D．兩次都沒投中例3．（2023高三·上海·學業(yè)考試）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2，0.3，0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4例4．（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）已知是互斥事件，且，則.【即時演練】1．已知隨機事件，滿足，，，則（

）A．15 B． C． D．2．一名射擊愛好者擊中目標的概率是不能擊中目標概率的3倍，設表示其擊中目標的次數，若他射擊一次，則的值是（

）A．0.33 B． C．0.75 D．3．袋子中有一些大小質地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為（）A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.824．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是（

）A．至多一枚硬幣正面朝上 B．只有一枚硬幣正面朝上C．兩枚硬幣反面朝上 D．兩枚硬幣正面朝上考點八：事件的相互獨立求相互獨立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據互斥事件的概率計算公式求出結果.【典型例題】例1．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別是與．甲、乙兩人在罰球線各投球1次，假設兩人投球是否命中互不影響，則甲、乙兩人投球都命中的概率為（

）A． B． C． D．例2．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）甲?乙兩名同學進行投籃練習，已知甲命中的概率為0.7，乙命中的概率為0.8，且甲?乙兩人投籃的結果互不影響，相互獨立.甲?乙兩人各投籃一次，求下列事件的概率：(1)甲?乙兩人都命中；(2)甲?乙兩人至少有一人命中.例3．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）某射擊運動員在一天的射擊訓練中射靶100次，訓練成績統(tǒng)計結果如圖所示.(1)請估計這名運動員射擊成績的眾數；(2)請估計這名運動員射擊一次命中9環(huán)的概率；(3)如果這名運動員連續(xù)射擊兩次，每次射擊成績互不影響，請估計他兩次命中環(huán)數都大于8環(huán)的概率.例4．（2023高二下·遼寧·學業(yè)考試）某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否回答正確互不影響．求：(1)該選手進入第三輪考核才被淘汰的概率；(2)該選手至多進入第二輪考核的概率．【即時演練】1．某大學選拔新生進“籃球”“舞蹈”“美術”三個社團，據資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.假設某新生通過考核選拔進入“籃球”“舞蹈”“美術”三個社團的概率依次為，m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，則（

）A．， B．，C．， D．，2．某乒乓球隊在長春訓練基地進行封閉式集訓，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數據知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．3．甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為.4．Matlab是一種數學軟件，用于數據分析、無線通信、深度學習、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領域，推動了人類基礎教育和基礎科學的發(fā)展，某中學舉行了Matlab科普講座后進行了問答比賽，已知甲乙兩個同學互不影響地參加比賽，甲、乙答對每一道題的概率分別為與，乙連續(xù)2次答錯的概率為．(1)求乙答對題的概率；(2)若甲、乙兩人各回答2次，求兩人共答對3次的概率．考點九：利用頻率估計概率頻率是事件發(fā)生的次數與試驗總次數的比值,利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量,當很大時,頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動,這個穩(wěn)定值就是概率.【典型例題】例1．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為（單位：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在之間的概率約為（

）A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5例2．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）拋擲硬幣試驗，設“正面朝上”，則下列論述正確的是（

）A．投擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為B．投擲10次硬幣，事件A發(fā)生的次數一定是5C．投擲硬幣20次，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D．投擲硬幣1萬次，事件A發(fā)生的頻率接近0.5例3．（2023高二上·新疆·學業(yè)考試）從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：卡片號碼12345678910取到的次數1110585121910119則取到號碼為奇數的頻率是（

）A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47例4．（2021高三下·河北·學業(yè)考試）一批瓶裝純凈水，每瓶標注的凈含量是，現從中隨機抽取10瓶，測得各瓶的凈含量為（單位：）：542548549551549550551555550557若用頻率分布估計總體分布，則該批純凈水每瓶凈含量在之間的概率估計為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【即時演練】1．已知某種設備在一年內需要維修的概率為0.2．用計算器進行模擬實驗產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1時，表示一年內需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設備，所以每3個隨機數為一組，代表3臺設備一年內需要維修的情況，現產生20組隨機數如下：412

451

312

531

224

344

151

254

424

142

435

414

135

432

123

233

314

232

353

442據此估計一年內這3臺設備都不需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.552．在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，用計算機產生之間的隨機數，當出現、、時表示一局比賽甲獲勝，當出現4、5時表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組，現產生20組隨機數，結果如下：423

123

423

344

114

453

525

332

152

342534

443

512

541

125

432

334

151

314

354則估計在本次比賽中甲獲得冠軍的概率是（

）A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.653．某個制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有500名志愿者服用此藥，結果如下體重變化體重減輕體重不變體重增加人數27614480如果另有一人服用此藥，估計其體重減輕的概率為;4．盒子中有四個大小質地完全相同的小球，分別寫有“安”、“寧”、“聯”、“盟”四個字，有放回地從中任取一個小球，將三次抽取后“聯”、“盟”兩個字都抽取到記為事件.用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率，利用電腦隨機產生整數四個隨機數，分別代表“安”、“寧”、“聯”、“盟”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下組隨機數：233，103，122，320，031，231，133，130，231