PAGE培優(yōu)點(diǎn)09活用三次函數(shù)的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 5題型一：三次函數(shù)的圖象問(wèn)題 5題型二：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 7題型三：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題 9題型四：切線(xiàn)數(shù)量問(wèn)題 12題型五：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 15題型六：三次函數(shù)的極最值問(wèn)題 19題型七：等高線(xiàn)問(wèn)題 22題型八：三次函數(shù)的綜合應(yīng)用 2804課時(shí)精練 35

三次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)，常以中等難度題型出現(xiàn)，涉及導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用與函數(shù)性質(zhì)分析。其核心考點(diǎn)包括單調(diào)性、極值、零點(diǎn)分布及圖像特征。

1、三次函數(shù)的圖象對(duì)于三次函數(shù)的判別式為，則的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，圖象如下：參數(shù)范圍 圖象2、三次函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于三次函數(shù)（、、、且），其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)，其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)解，，原函數(shù)有兩個(gè)極值，．①當(dāng)時(shí)，原方程有且只有一個(gè)實(shí)根②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根③當(dāng)時(shí)，原方程三個(gè)實(shí)數(shù)根．3、三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性對(duì)于三次函數(shù)，（1）若，則；（2）的對(duì)稱(chēng)中心是．4、三次函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題對(duì)于任意三次函數(shù)，過(guò)圖象的對(duì)稱(chēng)中心作切線(xiàn)，則坐標(biāo)平面被切線(xiàn)和函數(shù)的圖象分割為四個(gè)區(qū)域，有以下結(jié)論：（1）過(guò)區(qū)域II、區(qū)域III內(nèi)的點(diǎn)以及對(duì)稱(chēng)中心作的切線(xiàn)，有且僅有條；（2）過(guò)切線(xiàn)或函數(shù)圖象（除去對(duì)稱(chēng)中心）上的點(diǎn)作的切線(xiàn)，有且僅有2條．（3）過(guò)區(qū)域I、區(qū)域IV內(nèi)的點(diǎn)作（x）的切線(xiàn)，有且僅有3條．5、三次函數(shù)的切割線(xiàn)性質(zhì)（1）如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)（非對(duì)稱(chēng)中心），過(guò)作函數(shù)圖象的切線(xiàn)和割線(xiàn)，其中是切點(diǎn)，是交點(diǎn)，則成等差數(shù)列，即；（2）如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且方程為圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，則成等差數(shù)列．6、其它性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則．

題型一：三次函數(shù)的圖象問(wèn)題【例1】在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列一定不正確的序號(hào)是（

）A．①② B．①③C．③④ D．①④【答案】C【解析】當(dāng)f′(x)>0時(shí)，y＝f(x)是遞增的；當(dāng)f′(x)<0時(shí)，y＝f(x)是遞減的．故可得，①②中函數(shù)圖象的增減趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的；而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯(cuò)誤；④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯(cuò)誤．所以不正確的是③④，故選：C.【變式1-1】設(shè)f(x)=x3+bx2+cx+d,又k是一個(gè)常數(shù),已知當(dāng)k<0或k>4時(shí),f(x)－k=0只有一個(gè)實(shí)根;當(dāng)0<k<4時(shí),f(x)－k=0有三個(gè)相異實(shí)根,現(xiàn)給出下列命題:①f(x)－4=0和=0有一個(gè)相同的實(shí)根

②f(x)=0和=0有一個(gè)相同的實(shí)根③f(x)+3=0的任一實(shí)根大于f(x)－1=0的任一實(shí)根④f(x)+5=0的任一實(shí)根小于f(x)－2=0的任一實(shí)根.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】∵f(x)=x3+bx2+cx+d，當(dāng)k<0或k>4時(shí)，f(x)－k=0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0<k<4時(shí)，f(x)－k=0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)既有極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，且極大值點(diǎn)小于極小值點(diǎn)，故f(x)－4=0與=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極大值點(diǎn)，故①正確；f(x)=0與=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故②正確；f(x)+3=0有一實(shí)根小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f(x)－1=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；f(x)+5=0有一實(shí)根小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f(x)－2=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故④正確；故選：D．【變式1-2】函數(shù)的圖象如圖所示，且在與處取得極值，給出下列判斷：①；②；③函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).其中正確的判斷是（

）A．① B．② C．②③ D．①②【答案】C【解析】，∵函數(shù)，且在與處取得極值，由圖可知，是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，∴，且與是方程的兩個(gè)不同的根，即，，則，，∵由圖象可知，∴，故①不正確，∵，且，∴，故②正確；是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故③正確，故正確的命題是②③.故選：C.【變式1-3】設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為【答案】C【解析】由圖象可知，當(dāng)和時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以的極小值為，極大值為.故選：C.題型二：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題【例2】三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)槿魏瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以恒成立，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【變式2-1】已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，即可的解集為，即可得到、、的關(guān)系，從而得解；由題可得，則的解集為，即，，可得，∴，故選:C．【變式2-2】函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像如圖，則函數(shù)y＝ax2＋的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．(－∞，－2] B． C． D．【答案】D【解析】不妨取，，由圖可知，，，，，，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故選：D．【變式2-3】函數(shù)的圖象如圖，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】；令，則的零點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸為圖象先增再減再增，則函數(shù)開(kāi)口向上，先減后增，單調(diào)減區(qū)間為選A.【變式2-4】已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為．【答案】3【解析】由題意得在R上恒成立，則，，令，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”）.故答案為3.題型三：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題【例3】設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖像都有對(duì)稱(chēng)中心，其中滿(mǎn)足.已知三次函數(shù)，若，則；若，分別滿(mǎn)足方程，則.【答案】2【解析】由題，，，由可得，的圖像的對(duì)稱(chēng)中心為，即，，所以和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故；令，同理可求的對(duì)稱(chēng)中心，，，由可得，對(duì)稱(chēng)中心為，即，，故，由，故單調(diào)遞增，即是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，故和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，故答案為：；2【變式3-1】（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心，若函數(shù)，則.【答案】8090【解析】由題意因?yàn)?，所以，，令，解得，，由題意得對(duì)稱(chēng)中心為，所以，，故答案為：8090.【變式3-2】設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖像都有對(duì)稱(chēng)中心，其中滿(mǎn)足.已知三次函數(shù)，若，則.【答案】4【解析】因?yàn)槿魏瘮?shù)，所以，所以，令得，所以三次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為.所以.即若，則．故答案為：4【變式3-3】對(duì)于三次函數(shù)給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算（

）A．1010 B．2020 C．2023 D．2024【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，令，即，解得，又，由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，所以，即，故，所以.故選：B題型四：切線(xiàn)數(shù)量問(wèn)題【例4】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)軸上一點(diǎn)可以作函數(shù)圖像的3條切線(xiàn)，則的取值范圍是：（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程，而過(guò)，將代入方程得到，令，，令，，此時(shí)單調(diào)遞減，令，，此時(shí)單調(diào)遞增，故有極小值，有極大值，則得到，故A正確.故選：A.【變式4-1】（2025·高三·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．必有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的范圍是C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的3條切線(xiàn)【答案】B【解析】對(duì)于A，，令，解得：或，因?yàn)?，所以令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值,所以A正確；對(duì)于B，要使有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，所以C正確；對(duì)于D，，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，令，所以過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的切線(xiàn)條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,令，解得：或，因?yàn)椋粤?，得或，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的3條切線(xiàn)，故正確，故選：B【變式4-2】過(guò)點(diǎn)可作3條直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，切線(xiàn)方程為，由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以有，整理得，設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，由得或，若，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，解得或，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；當(dāng)時(shí)，解得或，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；有3個(gè)零點(diǎn)，則與異號(hào)，即，所以，得，所以.故選：A【變式4-3】（2025·江西九江·一模）已知函數(shù)（），點(diǎn)位于曲線(xiàn)的下方，且過(guò)點(diǎn)可以作3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)斜率為，切線(xiàn)方程為，由于切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，整理得.構(gòu)造函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，易知，，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)下方，，即，解得，故選：D.題型五：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【例5】若三次函數(shù)有三個(gè)相異且成等差的零點(diǎn)，則a的取值范圍為.【答案】【解析】定義域?yàn)镽，，時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增，不會(huì)有三個(gè)零點(diǎn)，舍去，故，解得，設(shè)的三個(gè)相異的零點(diǎn)為，，故，又①，②，③，式子①-②得，即，故，因?yàn)?，所以④，式子?②得，即，故，因?yàn)?，所以⑤，式子?⑤得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，將其代入②得，，即，，又，故，又，解?故答案為：【變式5-1】已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，若，，均不相等，且，則.【答案】/【解析】由，則，即，又，，由于，，均不相等，則故答案為：【變式5-2】（2025·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【答案】18【解析】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故則的最小值為18，故答案為：18【變式5-3】（多選題）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)也有三個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．D．【答案】ABD【解析】由可得，要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故，即，A正確，由于為二次函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因此，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因此成等差數(shù)列，故是的對(duì)稱(chēng)中心，則，故B正確，當(dāng)時(shí)，作出的圖象，則的圖象與的圖象交點(diǎn)如圖所示，由于，故，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，根據(jù)，展開(kāi)可得，故，同理可得的三個(gè)實(shí)數(shù)根為，則，故，因此，故，即得，故D正確，故選：ABD題型六：三次函數(shù)的極最值問(wèn)題【例6】（多選題）已知三次函數(shù)在區(qū)間上的值域也為，那么下列說(shuō)法正確的是（

）A．且B．當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足要求的不存在C．當(dāng)時(shí)，有D．當(dāng)時(shí)，有【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由已知，當(dāng)時(shí)，，且，則在上為減函數(shù)，此時(shí)，矛盾，故且，故A正確；對(duì)于B，由知，的極值點(diǎn)分別為當(dāng)時(shí)，則，如圖1，在上為減函數(shù)，則，矛盾，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，如圖2，由（僅時(shí)成立，時(shí)，應(yīng)為），得，但，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，如圖3，在上減，在上增，所以，有，解得，符合條件，故D正確.故選：ABD.【變式6-1】（多選題）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的對(duì)稱(chēng)中心為B．若關(guān)于x的方程有三解，則C．若在上有極小值，則D．若在上的最大值、最小值分別為，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，易知，，令，而，由“拐點(diǎn)”定義可知的對(duì)稱(chēng)中心為，故A正確；令，此時(shí)單調(diào)遞減，令或，此時(shí)單調(diào)遞增，則，即的極大值為3，極小值為，所以關(guān)于x的方程有三解，即兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則，故B正確；易知若在上有極小值，則，故C錯(cuò)誤；由上可知，若在上的最大值、最小值分別為，則，最值在端點(diǎn)處取得，即，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心知，而，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，則，故D正確.故選：ABD【變式6-2】已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，．設(shè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為，則的取值不可能為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由題意知，為二次函數(shù)，且為的零點(diǎn)，且，得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得：，可知，在和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，若，則，因?yàn)椋?，兩者相矛盾，故，則有2個(gè)根，有1個(gè)根，可知，若，可知，，若，可知，，若，可知，，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得：或，可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，若，則，因?yàn)?，即，兩者相矛盾，故，若，即，可知，，，若，即，可知，，，若，即，可知，，，綜上可知，的取值集合為，則不可能為7.故選：D【變式6-3】（2025·高三·云南曲靖·期末）已知函數(shù)在處取得極小值，則的最大值為（

）A．27 B．9 C．4 D．1【答案】C【解析】由，可得，則，即，所以，記，，則，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，此時(shí)，故選：C.題型七：等高線(xiàn)問(wèn)題【例7】（2025·高三·湖南·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，，其中a，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.【解析】（1）若，則，分兩種情況討論：①、當(dāng)時(shí)，有恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；②、當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）若存在極值點(diǎn)，則必有，且，由題意可得，，則，進(jìn)而，又，由題意及（1）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，其中，則有，故有；（3）設(shè)在區(qū)間上的最大值M，表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，所以。②當(dāng)時(shí)，，由（1）、（2）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，③當(dāng)時(shí)，，由（1）、（2）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于.【變式7-1】（多選題）（2025·江蘇泰州·二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（0，1）B．當(dāng)且時(shí)，C．，D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，由，可得或，由，可得，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)?，所以，由A函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，，依題意，，可得①由，可得，由于，化簡(jiǎn)得②將①代入②式，可化簡(jiǎn)得：，即，因，故得，即D正確．故選：ABD．【變式7-2】（多選題）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是B．當(dāng)且時(shí)，C．對(duì)于任意滿(mǎn)足D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，由，可得或，由，可得，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，同時(shí)，根據(jù)A項(xiàng)結(jié)論：函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，故C正確；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，，依題意，，可得①由，可得，化簡(jiǎn)得②，將①代入②式，可化簡(jiǎn)得：，即，因，故得，即D正確.故選：ACD.【變式7-3】（多選題）（2025·高三·貴州銅仁·期末）已知函數(shù).則（

）A．當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是或B．若，，且，則的最小值是C．對(duì)任意恒有D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令可得，令，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)椋珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，，①由可得，可得，即，②②①得，即，若，則①式顯然不成立，故，又因?yàn)?，故，D對(duì).故選：ACD.題型八：三次函數(shù)的綜合應(yīng)用【例8】（2025·高三·北京·期中）已知三次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若，求的取值范圍.【解析】由可得：（1）當(dāng)時(shí)，，.所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）由已知可得①當(dāng)時(shí)，令得，.與在區(qū)間_上的情況如下：x0（0,2）2+0-0+增極大值減極小值增因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以.②當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上的情況如下：x0（0,2）2－0＋0－減極小值增極大值減因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，所以，即.綜上所述，a的取值范圍是.（3）先證明：.由（2）知，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是（0，2）.因?yàn)?，不妨設(shè)，則.①若，則.所以.②若，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上所述，.再證明：的取值范圍是.假設(shè)存在常數(shù)，使得對(duì)任意，.取，且則，與矛盾.所以的取值范圍是.【變式8-1】三次函數(shù)的圖象如圖所示，直線(xiàn)，且直線(xiàn)與函數(shù)圖象切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，直線(xiàn)與函數(shù)圖象切于點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）若函數(shù)為奇函數(shù)且過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若函數(shù)在處取得極值，試用表示和，并求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求證：【解析】（1）為奇函數(shù)

，又過(guò)點(diǎn)，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，（2）由題意得：，，解得：，，令，解得：，在處取得極值

，即，①當(dāng)，即時(shí)，令，可得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為：，②當(dāng)，即時(shí)令，可得：的單調(diào)遞減區(qū)間為：（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為：既在直線(xiàn)上又在曲線(xiàn)上

即：整理可得：

同理有：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：，即，又【變式8-2】對(duì)于三次函數(shù)．定義：①設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”；定義：②設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．已知，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)（2）檢驗(yàn)函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意的三次函數(shù)寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）（3）寫(xiě)出一個(gè)三次函數(shù)，使得它的“拐點(diǎn)”是（不要過(guò)程）【解析】（1）依題意，得：，．由，即．∴，又，∴的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是，（2）由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是.而===，由定義(2)知：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．一般地，三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，它就是的對(duì)稱(chēng)中心.（或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)）（3）或?qū)懗鲆粋€(gè)具體的函數(shù),如或.【變式8-3】（2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試）對(duì)三次函數(shù)，如果其存在三個(gè)實(shí)根，則有.稱(chēng)為三次方程根與系數(shù)關(guān)系.(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)對(duì)三次函數(shù)，設(shè)，存在，滿(mǎn)足.證明：存在，使得；(3)稱(chēng)是上的廣義正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在極值點(diǎn)，使得.在平面直角坐標(biāo)系中，是第一象限上一點(diǎn)，設(shè).已知在上有兩根.（i）證明：在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是；（ii）求點(diǎn)組成的點(diǎn)集，滿(mǎn)足是上的廣義正弦函數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，所以，若，則，從而此時(shí)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上所述，若，則單調(diào)遞增；若，則在分別單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，所以不妨設(shè)，所以，而，故，故存在使得，所以，若，則，此時(shí)，與題設(shè)矛盾，綜上所述，存在，使得.（3）（i）是第一象限上一點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，設(shè)，則，而時(shí)，，時(shí)，，所以存在負(fù)根，因?yàn)樵谏洗嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)根，等價(jià)于方程在上存在兩個(gè)變號(hào)根，注意到三次方程最多有3個(gè)根，所以方程有一個(gè)負(fù)根，兩個(gè)不同的正根，而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，命題（i）得證；（ii）由（i）可得在有兩個(gè)極值點(diǎn),且.由題設(shè)恰好有兩個(gè)正根，此時(shí)：由于對(duì)來(lái)說(shuō)，等價(jià)于，等價(jià)于，所以對(duì)，如果，那么，故，故，結(jié)合（i）中分析可得:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故分別為在的極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn).對(duì)兩個(gè)不相等的正數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，那么如果或，就有或，故，此時(shí)，所以，故，最后，由于有一個(gè)極值點(diǎn)，所以都不等于（是不相等的正零點(diǎn)，同時(shí)該方程還有另一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，但只要是根就是二重的，所以不可能是根），這就說(shuō)明，結(jié)合的單調(diào)性以及，必有，所以此時(shí)一定是廣義正弦函數(shù)，綜上所述，滿(mǎn)足題意的.

1．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝處有極值，則ac＋2b的值為（

）A．－3 B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】.依題意，.故選：A2．（2025·高三·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．4 B．5 C．9 D．10【答案】C【解析】所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選C.3．已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為．故選：．4．若過(guò)點(diǎn)可作3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則=，其中表示直線(xiàn)的斜率，即，整理，得.過(guò)點(diǎn)P可作3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切等價(jià)于方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)，則.由，得或，易知和是的兩個(gè)極值點(diǎn).方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有3個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，解得.故選:B．5．已知函數(shù).若過(guò)點(diǎn)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.若過(guò)點(diǎn)，則依題意，方程有三個(gè)不等實(shí)根.令，，得，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此的極小值為，極大值為.若有三個(gè)不等實(shí)根，故.故選B6．（多選題）（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．函數(shù)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有一條D．當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線(xiàn)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：，令，即，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同根，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)切點(diǎn)，則切線(xiàn)方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，整理得，所以，或，由于，則兩根相等，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線(xiàn)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，所以，或，由于，則方程組有兩組不同解，即有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.7．（多選題）三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，，單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C：設(shè)切點(diǎn)，則切線(xiàn)方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，，解得，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又有極大值為，所以若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則有極小值為，得到，故D正確．故選：ABD．8．對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.若，則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為，.【答案】2018【解析】由，求得f′(x)，f″(x)，令f″(x)＝0求對(duì)稱(chēng)中心.由對(duì)稱(chēng)中心得到f(x)＋f(1－x)＝2求解.因?yàn)?，所以f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.，由題中給出的結(jié)論，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為.所以，即f(x)＋f(1－x)＝2.故，，……，，所以×2×2018＝2018.故答案為：，20189．如圖為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象，為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xf′(x)＜0的解集為．【答案】(－∞，)∪(0,)【解析】由圖象，得函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，即當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為.10．已知函數(shù)的圖象與軸切于點(diǎn)，則的極大值為,極小值為.【答案】極大值為極小值為【解析】由函數(shù)的圖象與軸切于點(diǎn)得即，解出，則函數(shù)，則令其得到或；①當(dāng)或時(shí)，單調(diào)增；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，所以極大值，極小值為，即的極大值為，極小值為，故答案為.11．已知三次函數(shù)，若，則.【答案】【解析】由題意得，，令，則，令，解得，又，故的對(duì)稱(chēng)中心為.故當(dāng)時(shí)，.故答案為：12．已知三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，則.【答案】0【解析】令，其中，，，互不相等.則..故答案為：0.13．已知三次函數(shù)無(wú)極值，且滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】由題設(shè)，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，故，可得，所以.故答案為：14．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）設(shè)三次函數(shù)(b，c為實(shí)數(shù))的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，若在R上是增函數(shù)，則的最大值為.【答案】【解析】,，，恒成立，故，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：15．已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為．【答案】【解析】由題設(shè)，在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.16．已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1處取極小值，x=3處取極大值，且函數(shù)圖象在(2，f(2))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-5y=0平行.（1）求實(shí)數(shù)a?b?c的值;（2）設(shè)函數(shù)f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求d的取值范圍.【解析】（1），函數(shù)圖象在的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-5y=0平行，

①由題意可知，1和3為方程的兩根，所以：

②

③由①?②?③解得.（2）由(1)得，x=1和x=3分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以方程f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根