2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是：A.(1,2,3),(2,4,6),(1,3,5)B.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)C.(1,3,5),(2,6,10),(0,2,4)D.(0,1,2),(0,0,1),(0,0,0)2.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣為：A.$\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}-1&2\\3&-4\end{pmatrix}$C.$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$3.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$p$的伯努利分布，$Y=2X-1$，則$Y$的分布律為：A.$P(Y=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$B.$P(Y=k)=p^{k+1}(1-p)^{-(k+1)},k=0,1$C.$P(Y=k)=p^{1-k}(1-p)^{k},k=0,1$D.$P(Y=k)=p,k=0,1$4.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$的期望分別為$\mu_X$和$\mu_Y$，方差分別為$\sigma_X^2$和$\sigma_Y^2$，則$X+Y$的期望和方差分別為：A.$\mu_X+\mu_Y$,$\sigma_X^2+\sigma_Y^2$B.$\mu_X+\mu_Y$,$\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$C.$\frac{\mu_X+\mu_Y}{2}$,$\frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2}$D.$\mu_X\mu_Y$,$\sigma_X\sigma_Y$5.設(shè)總體$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\dots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，則$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$服從的分布為：A.$N(\mu,\sigma^2)$B.$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$C.$N(\frac{\mu}{n},\frac{\sigma^2}{n^2})$D.$N(\mu,n\sigma^2)$二、填空題1.設(shè)向量$\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(1,-1,1)$，則$\alpha\cdot\beta=$________。2.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$的秩為________。3.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda=$________。4.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$，則$P(X\leq\frac{1}{2})=$________。5.設(shè)總體$X$服從均勻分布$U(0,\theta)$，$X_1,X_2,\dots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，則$\theta$的最大似然估計(jì)量為________。三、解答題1.(10分)計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值。2.(10分)求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的特征值和特征向量。3.(10分)設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X$服從均勻分布$U(0,1)$，$Y$服從指數(shù)分布$Exp(2)$，求隨機(jī)變量$Z=X+Y$的概率密度函數(shù)。4.(10分)從正態(tài)總體$N(\mu,16)$中抽取容量為25的樣本，樣本均值為10.5。假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平為$\alpha=0.05$，檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=10$vs$H_1:\mu\neq10$。5.(15分)證明：設(shè)$A$為$n$階實(shí)對(duì)稱矩陣，則$A$的特征值都是實(shí)數(shù)，且$A$可以正交對(duì)角化。6.(10分)設(shè)函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y$，求函數(shù)$f(x,y)$的極值。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.A5.B二、填空題1.02.23.24.$\frac{1}{4}$5.$\max(X_1,X_2,\dots,X_n)$三、解答題1.解析：按第一行展開原式$=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$=1(5\cdot9-6\cdot8)-2(4\cdot9-6\cdot7)+3(4\cdot8-5\cdot7)$$=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)$$=-3+12-9$$=0$2.解析：計(jì)算特征多項(xiàng)式$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-3)=\lambda^2-5\lambda-2$解特征方程$\lambda^2-5\lambda-2=0$，得$\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$，$\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$對(duì)$\lambda_1$，解$(\lambda_1E-A)\mathbf{x}=0$，即$\begin{pmatrix}\frac{3-\sqrt{33}}{2}&-2\\-3&\frac{1-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$得$x_1=\frac{4}{3-\sqrt{33}}x_2=\frac{4(3+\sqrt{33})}{18-33}x_2=-\frac{2(3+\sqrt{33})}{15}x_2$取$x_2=15$，得特征向量$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}-2(3+\sqrt{33})\\15\end{pmatrix}$對(duì)$\lambda_2$，解$(\lambda_2E-A)\mathbf{x}=0$，即$\begin{pmatrix}\frac{3+\sqrt{33}}{2}&-2\\-3&\frac{1+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$得$x_1=\frac{4}{3+\sqrt{33}}x_2=\frac{4(3-\sqrt{33})}{18-33}x_2=-\frac{2(3-\sqrt{33})}{15}x_2$取$x_2=15$，得特征向量$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2(3-\sqrt{33})\\15\end{pmatrix}$特征值和特征向量為$\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$，$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}-2(3+\sqrt{33})\\15\end{pmatrix}$；$\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$，$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2(3-\sqrt{33})\\15\end{pmatrix}$3.解析：$X$和$Y$獨(dú)立，$Z=X+Y$的概率密度函數(shù)為$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$$X\simU(0,1)$，$f_X(x)=\begin{cases}1,&0\leqx\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$Y\simExp(2)$，$f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y},&y\geq0\\0,&y<0\end{cases}$$f_Z(z)=\int_{0}^{1}1\cdot2e^{-2(z-x)}dx=2e^{2x}\big|_{0}^{1}=2e^{2}-2e^{-2z}$for$0\leqz\leq1$$f_Z(z)=0$for$z<0$or$z>1$$f_Z(z)=\begin{cases}2e^{2}-2e^{-2z},&0\leqz\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$4.解析：檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=10$vs$H_1:\mu\neq10$，使用$Z$檢驗(yàn)法統(tǒng)計(jì)量$Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{10.5-10}{4/\sqrt{25}}=\frac{0.5}{0.8}=0.625$顯著性水平$\alpha=0.05$，雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值為$z_{\alpha/2}=z_{0.025}\approx1.96$拒絕域?yàn)?Z<-1.96$或$Z>1.96$由于$0.625$不在拒絕域內(nèi)，故不能拒絕原假設(shè)$H_0$，即沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為$\mu\neq10$。5.證明：$A$為實(shí)對(duì)稱矩陣，則對(duì)任意實(shí)向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$，有$(\mathbf{x}^TA\mathbf{y})=(\mathbf{y}^TA\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{y}$令$\mathbf{x}=\mathbf{v}$是$A$的特征向量，對(duì)應(yīng)特征值$\lambda$，即$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$$\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=\mathbf{v}^T(\lambda\mathbf{v})=\lambda(\mathbf{v}^T\mathbf{v})$$(A\mathbf{v})^T\mathbf{v}=\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=\mathbf{v}^T(\lambda\mathbf{v})=\lambda(\mathbf{v}^T\mathbf{v})$$\lambda(\mathbf{v}^T\mathbf{v})=\lambda(\mathbf{v}^T\mathbf{v})$$\lambda(\mathbf{v}^T\mathbf{v})=\mathbf{v}^T\mathbf{v}$$(\lambda-1)(\mathbf{v}^T\mathbf{v})=0$由于$\mathbf{v}\neq0$，$\mathbf{v}^T\mathbf{v}>0$，所以$\lambda-1=0$，即$\lambda$為實(shí)數(shù)。令$\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_k$為$A$的$k$個(gè)不同特征值$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$對(duì)應(yīng)的正交特征向量。則$\mathbf{u}_i^TA\mathbf{u}_j=\lambda_i\mathbf{u}_i^T\mathbf{u}_j$由于$\mathbf{u}_i$和$\mathbf{u}_j$正交，$\mathbf{u}_i^T\mathbf{u}_j=0$for$i\neqj$，且$\mathbf{u}_i^T\mathbf{u}_i=1$。所以$A\mathbf{u}_i=\lambda_i\mathbf{u}_i$forall$i=1,2,\dots,k$。令$\mathbf{V}$是由$\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_k$為列向量的正交矩陣，則$\mathbf{V}^T\mathbf{V}=E$?？紤]$A\mathbf{V}=A(\mathbf{u}_1,\mathbf{u