2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——分形幾何的特征及應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個(gè)圖形是嚴(yán)格自相似的？A.科赫雪花B.謝爾賓斯基三角形C.芒德勃羅集D.海岸線2.分形的豪斯多夫維數(shù)一定等于其盒維數(shù)嗎？A.一定相等B.一定不相等C.可能相等，也可能不相等D.只有可能大于盒維數(shù)3.下列哪個(gè)量不是衡量分形復(fù)雜性的指標(biāo)？A.分形維數(shù)B.自相似性C.分形的規(guī)模D.分形的對稱性4.科赫曲線的極限長度是多少？A.0B.1C.$\infty$D.$\frac{4}{3}$5.分形幾何在哪個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用較少？A.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)B.天文學(xué)C.經(jīng)濟(jì)學(xué)D.醫(yī)學(xué)二、填空題1.分形集的自相似性是指分形集的任意部分在一定比例下與整體相似。2.計(jì)算分形維數(shù)的盒維數(shù)方法是通過計(jì)算覆蓋分形所需最小方塊的數(shù)量來估計(jì)維數(shù)。3.謝爾賓斯基三角形的豪斯多夫維數(shù)是$\log_23$。4.分形維數(shù)可以用來描述分形集的復(fù)雜性和不規(guī)則性。5.分形幾何為研究自然界中的復(fù)雜現(xiàn)象提供了新的數(shù)學(xué)工具。三、計(jì)算題1.一個(gè)科赫曲線的生成規(guī)則是：將直線段替換為三個(gè)長度相等的線段，形成一個(gè)等邊三角形的兩條邊。計(jì)算該科赫曲線的盒維數(shù)。2.考慮一個(gè)自相似的分形集，其由四個(gè)相同的小分形集組成，每個(gè)小分形集的尺寸是原分形集的$\frac{1}{3}$。計(jì)算該分形集的豪斯多夫維數(shù)。3.一個(gè)分形集的生成規(guī)則是：在每條線段的末端添加一個(gè)長度為原線段$\frac{1}{3}$的線段，并使其與原線段成60度角。計(jì)算該分形集的盒維數(shù)。四、證明題證明：如果一個(gè)分形集是自相似的，并且由$N$個(gè)相同的小分形集組成，每個(gè)小分形集的尺寸是原分形集的$r$倍，那么該分形集的豪斯多夫維數(shù)$D$滿足關(guān)系式$Nr^D=1$。五、應(yīng)用題討論分形幾何在描述海岸線形狀方面的應(yīng)用。解釋為什么海岸線可以被視為分形，并分析分形維數(shù)在描述海岸線復(fù)雜性和不規(guī)則性方面的作用。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.C5.B二、填空題1.分形集的自相似性是指分形集的任意部分在一定比例下與整體相似。2.計(jì)算分形維數(shù)的盒維數(shù)方法是通過計(jì)算覆蓋分形所需最小方塊的數(shù)量來估計(jì)維數(shù)。3.謝爾賓斯基三角形的豪斯多夫維數(shù)是$\log_23$。4.分形維數(shù)可以用來描述分形集的復(fù)雜性和不規(guī)則性。5.分形幾何為研究自然界中的復(fù)雜現(xiàn)象提供了新的數(shù)學(xué)工具。三、計(jì)算題1.解析：科赫曲線的生成規(guī)則將每條線段替換為等邊三角形的兩條邊，每條新線段的長度是原線段長度的$\frac{1}{3}$。設(shè)初始線段長度為1，第一代線段總長度為$4\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。第二代線段總長度為$4^2\times\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$，依此類推，第$n$代線段總長度為$\frac{4^n}{3^n}$。盒維數(shù)$D$滿足$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{L_n}{\epsilon_n}\right)^{1/D}=\infty$，其中$L_n$為第$n$代線段總長度，$\epsilon_n$為覆蓋分形所需最小方塊的邊長。對于科赫曲線，$\epsilon_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n$。因此，$\left(\frac{4^n/3^n}{(\frac{1}{3})^n}\right)^{1/D}=4^{1/D}$。由于線段總長度趨于無窮，$4^{1/D}\to\infty$，所以$1/D<0$，即$D>1$。又因?yàn)榭坪涨€是自相似的，其維數(shù)應(yīng)等于其生成單元的維數(shù)，即一維線段的維數(shù)。因此，盒維數(shù)$D=\log_43$。2.解析：設(shè)原分形集的豪斯多夫維數(shù)為$D$。根據(jù)自相似性，原分形集可以看作由4個(gè)尺寸縮小為$\frac{1}{3}$的小分形集組成。根據(jù)豪斯多夫維數(shù)的定義，$Nr^D=1$，其中$N=4$，$r=\frac{1}{3}$。代入得$4\left(\frac{1}{3}\right)^D=1$，解得$D=\log_34$。3.解析：類似于科赫曲線的計(jì)算方法。初始線段長度為1，第一代線段總長度為$\sqrt{3}$（由兩個(gè)長度為$\frac{1}{2}$的線段和一個(gè)長度為$\frac{1}{2\sqrt{3}}$的線段組成）。第二代線段總長度為$4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\sqrt{3}=\sqrt{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2$。依此類推，第$n$代線段總長度為$\sqrt{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1}$。盒維數(shù)$D$滿足$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{L_n}{\epsilon_n}\right)^{1/D}=\infty$，其中$L_n$為第$n$代線段總長度，$\epsilon_n$為覆蓋分形所需最小方塊的邊長。對于該分形集，$\epsilon_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$。因此，$\left(\frac{\sqrt{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}\right)^{1/D}=\sqrt{3}^{1/D}\times2^{1/D}$。由于線段總長度趨于無窮，$\sqrt{3}^{1/D}\times2^{1/D}\to\infty$，所以$1/D<0$，即$D>1$。又因?yàn)樵摲中渭亲韵嗨频?，其維數(shù)應(yīng)等于其生成單元的維數(shù)，即一維線段的維數(shù)。因此，盒維數(shù)$D=\log_2\sqrt{3}=\frac{1}{2}\log_23$。四、證明題證明：設(shè)原分形集的豪斯多夫維數(shù)為$D$。根據(jù)自相似性，原分形集可以看作由$N$個(gè)尺寸縮小為$r$倍的小分形集組成。根據(jù)豪斯多夫維數(shù)的定義，$Nr^D=1$。因此，$D=\frac{\logN}{\log\frac{1}{r}}=\frac{\logN}{-\logr}=-\frac{\logN}{\logr}$。五、應(yīng)用題解析：海岸線可以被視為分形，因?yàn)楹０毒€具有自相似性。無論你使用多長的測量單位，海岸線的曲折程度都大致相同。這種自相