2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在人體疾病學(xué)研究中的意義考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.簡(jiǎn)述SIR模型中各狀態(tài)S、I、R的含義及其在疾病傳播研究中的作用。2.解釋什么是閾值現(xiàn)象，并說明基本再生數(shù)R0在傳染病動(dòng)力學(xué)中的意義。3.比較并說明SIR模型和SEIR模型的區(qū)別及其適用場(chǎng)景。二、1.在一項(xiàng)關(guān)于某種慢性病是否與某種生活習(xí)慣相關(guān)的調(diào)查中，假設(shè)H0：該慢性病與該生活習(xí)慣無關(guān)，H1：該慢性病與該生活習(xí)慣相關(guān)。調(diào)查得到樣本頻率為p?，若顯著性水平α=0.05，寫出進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，并說明拒絕域。2.某醫(yī)生收集了30名患者服用某種藥物后的治療效果數(shù)據(jù)，假設(shè)療效服從正態(tài)分布，試用樣本數(shù)據(jù)建立療效的95%置信區(qū)間。3.在一項(xiàng)臨床試驗(yàn)中，研究人員希望比較兩種藥物A和B對(duì)某種疾病的療效。設(shè)兩種藥物的治愈率分別為pA和pB，現(xiàn)分別對(duì)兩種藥物進(jìn)行了隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，得到樣本治愈率分別為p?A和p?B，樣本量分別為nA和nB。請(qǐng)寫出比較兩種藥物療效的假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)，并簡(jiǎn)述檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇依據(jù)。三、1.簡(jiǎn)述藥代動(dòng)力學(xué)中一級(jí)吸收模型和一級(jí)消除模型的數(shù)學(xué)表達(dá)及其意義。2.解釋什么是隨機(jī)對(duì)照臨床試驗(yàn)，并說明其在藥物療效評(píng)估中的作用。3.在一項(xiàng)藥物臨床試驗(yàn)中，研究人員將患者隨機(jī)分為兩組，分別服用安慰劑和試驗(yàn)藥物，觀察治療效果。設(shè)服用安慰劑組有n1名患者，其中有c1名患者有效；服用試驗(yàn)藥物組有n2名患者，其中有c2名患者有效。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)試驗(yàn)藥物是否比安慰劑更有效的假設(shè)檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)，并簡(jiǎn)述可以使用哪些統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。四、1.簡(jiǎn)述生物信息學(xué)中，如何利用數(shù)學(xué)方法分析基因序列數(shù)據(jù)。2.解釋什么是系統(tǒng)生物學(xué)，并說明數(shù)學(xué)模型在構(gòu)建復(fù)雜生物網(wǎng)絡(luò)中的作用。3.舉例說明數(shù)學(xué)方法在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域研究大腦功能中的應(yīng)用。試卷答案一、1.S：易感者，指尚未感染但可能被感染的人群；I：感染者，指已經(jīng)感染并能傳播疾病的人群；R：移除者，指已感染并康復(fù)或死亡的人群。SIR模型通過描述易感者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，感染者轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥叩倪^程，來模擬疾病的傳播動(dòng)態(tài)。2.閾值現(xiàn)象是指疾病在人群中傳播的閾值，當(dāng)基本再生數(shù)R0大于1時(shí)，疾病會(huì)持續(xù)傳播；當(dāng)R0小于1時(shí)，疾病會(huì)逐漸消失。R0是指每個(gè)感染者平均能傳染的人數(shù)，反映了疾病傳播的強(qiáng)度。3.SIR模型假設(shè)一旦感染就會(huì)移除（康復(fù)或死亡），而SEIR模型將移除者進(jìn)一步分為潛伏期E和免疫期R兩個(gè)狀態(tài)，更精細(xì)地描述了感染者的狀態(tài)變化。SEIR模型適用于潛伏期較長(zhǎng)的疾病。二、1.步驟：(1)提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；(2)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布；(3)根據(jù)顯著性水平α確定拒絕域；(4)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值；(5)判斷觀測(cè)值是否落入拒絕域，從而做出拒絕或不拒絕H0的決策。拒絕域?yàn)镻-value≤α。具體檢驗(yàn)方法取決于樣本量大小和頻率是否足夠大，可能使用z檢驗(yàn)或χ2檢驗(yàn)。2.建立療效μ的95%置信區(qū)間，公式為(x?-t_(α/2,n-1)*s/√n,x?+t_(α/2,n-1)*s/√n)，其中x?為樣本均值，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本量，t_(α/2,n-1)為自由度為n-1的t分布的α/2分位點(diǎn)。3.原假設(shè)H0：pA=pB，備擇假設(shè)H1：pA≠pB（或pA<pB或pA>pB，取決于具體研究問題）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇依據(jù)是樣本量大小以及pA和pB的估計(jì)值。當(dāng)nA和nB較大且p?A和p?B不接近0或1時(shí)，通常使用z檢驗(yàn)；否則可能使用χ2檢驗(yàn)或Fisher精確檢驗(yàn)。三、1.一級(jí)吸收模型描述藥物以恒定速率從給藥部位吸收進(jìn)入血液循環(huán)，數(shù)學(xué)表達(dá)通常為dC/dt=ka*F*(D0-C)/Vd，其中C為血藥濃度，t為時(shí)間，ka為吸收速率常數(shù)，F(xiàn)為生物利用度，D0為給藥劑量，Vd為表觀分布容積。一級(jí)消除模型描述藥物從血液循環(huán)中以恒定速率被代謝或排泄，數(shù)學(xué)表達(dá)通常為dC/dt=-ke*C，其中ke為消除速率常數(shù)。2.隨機(jī)對(duì)照臨床試驗(yàn)是將受試者隨機(jī)分配到不同治療組（如試驗(yàn)組與對(duì)照組），并比較不同治療組結(jié)果的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。其在藥物療效評(píng)估中的作用是控制混雜因素，減少偏倚，從而更客觀地評(píng)價(jià)藥物的療效和安全性。3.零假設(shè)H0：pA=pB，備擇假設(shè)H1：pA≠pB?？梢允褂脄檢驗(yàn)（當(dāng)樣本量較大時(shí)），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量基于兩個(gè)樣本比例之差的標(biāo)準(zhǔn)化值。也可以使用χ2檢驗(yàn)（當(dāng)樣本量較大或使用Fisher精確檢驗(yàn)（當(dāng)樣本量較小時(shí)）。四、1.利用數(shù)學(xué)方法分析基因序列數(shù)據(jù)，可以通過計(jì)算序列間的相似性或差異性（如使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法計(jì)算序列比對(duì)得分），構(gòu)建進(jìn)化樹（如使用系統(tǒng)發(fā)育樹構(gòu)建算法），或識(shí)別基因家族和功能元件（如使用隱馬爾可夫模型）。2.系統(tǒng)生物學(xué)是研究生物系統(tǒng)整體行為的多學(xué)科交叉領(lǐng)域。數(shù)學(xué)模型在構(gòu)建復(fù)雜生物網(wǎng)絡(luò)中作用是：(1)幫助理解系統(tǒng)中各個(gè)組成部分之間的相互