重難點(diǎn)02規(guī)律型問題探究（數(shù)式或圖形規(guī)律、旋轉(zhuǎn)問題、平移或翻滾型、漸變型）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強(qiáng)化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練規(guī)律性問題的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問題。具體思維過程是“特殊---一般----特殊”。這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點(diǎn)，對(duì)分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。模型01數(shù)式或圖形規(guī)律考｜向｜預(yù)｜測(cè)數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會(huì)分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點(diǎn)分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號(hào)進(jìn)行前后對(duì)比分析。主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．答｜題｜技｜巧1.讀懂題意，標(biāo)序號(hào)；2.根據(jù)已有規(guī)律模仿或歸納推導(dǎo)隱藏規(guī)律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點(diǎn)分析“怎樣變”；3.猜想規(guī)律與“序號(hào)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并用關(guān)于“序號(hào)”的式子表示出來；4.驗(yàn)證所歸納的結(jié)論，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解答；1.（2024·山東）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401【答案】1【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律型問題，根據(jù)已知等式正確發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字是以1,7,9,3為一循環(huán)，再根據(jù)2024+1=4×506+1即可得．【詳解】因?yàn)?0=1，71=7，72=49，73所以個(gè)位數(shù)字是以1,7,9,3為一循環(huán)，且1+7+9+3=20，又因?yàn)?024+1=4×506+1，506×20+1=10121，所以70+7故答案為：1．1．按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，-35，12，-717，926A．-19101 B．21101 C．-【答案】A【分析】把第3個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為：510，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是n【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：12∴12-3510..．∴第n個(gè)數(shù)為：-1n+1∴第10個(gè)數(shù)為：-110+1故選：A．2．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規(guī)律排列的第n個(gè)【答案】3n+2【分析】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項(xiàng)式的序號(hào)關(guān)系寫出即可．【詳解】解：5a系數(shù)為3×1+2=5，次數(shù)為1；8a2系數(shù)為3×2+2=8，次數(shù)為11a3系數(shù)為3×3+2=11，次數(shù)為14a4系數(shù)為3×4+2=14，次數(shù)為∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)可表示為：3n+2，字母a的次數(shù)可表示為：n，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：3n+2a3．正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，則第27行的第21個(gè)數(shù)是．【答案】744【分析】由題意知，第n行有n個(gè)數(shù)，第n行的最后一個(gè)偶數(shù)為n（n+1），計(jì)算出第27行最后一個(gè)偶數(shù)，再減去與第21位之差即可得到答案．【詳解】由題意知，第n行有n個(gè)數(shù)，第n行的最后一個(gè)偶數(shù)為n（n+1），∴第27行的最后一個(gè)數(shù)，即第27個(gè)數(shù)為27×28=756，∴第27行的第21個(gè)數(shù)與第27個(gè)數(shù)差6位數(shù)，即756-2×6=744，故答案為：744．4．1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為【答案】128【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：a+b5展開后系數(shù)為：1,5,10,10,5,1系數(shù)和：1+5+10+10+5+1=32=2a+b6展開后系數(shù)為：1,6,15,20,15,6,1系數(shù)和：1+6+15+20+15+6+1=64=2a+b7展開后系數(shù)為：1,7,21,35,35,21,7,1系數(shù)和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=2故答案為：128．5．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的q=143，則p的值為（

）A．100 B．121 C．144 D．169【答案】B【分析】分別分析n的規(guī)律、p的規(guī)律、q的規(guī)律，再找n、p、q之間的聯(lián)系即可．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知：n=1,2,3,4p=q=則p=n2，∵第n個(gè)圖中的q=143，∴q=(n+1)解得：n=11或n=-13(不符合題意，舍去)∴p=n故選：B．6．下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（

）A．135 B．153 C．170 D．189【答案】C【分析】由觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)正方形內(nèi)有：2×2=4,2×3=6,2×4=8,可求解b，從而得到a，再利用a,b,x之間的關(guān)系求解x即可．【詳解】解：由觀察分析：每個(gè)正方形內(nèi)有：2×2=4,2×3=6,2×4=8,∴2b=18,∴b=9,由觀察發(fā)現(xiàn)：a=8,又每個(gè)正方形內(nèi)有：2×4+1=9,3×6+2=20,4×8+3=35,∴18b+a=x,∴x=18×9+8=170.故選C．7．如圖，在2×2的網(wǎng)格內(nèi)各有4個(gè)數(shù)字，各網(wǎng)格內(nèi)數(shù)字都有相同的規(guī)律，c為（）A．990 B．9900 C．985 D．9850【答案】D【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，根據(jù)方格先求的a，進(jìn)一步求得b，則可求得c．【詳解】解：觀察網(wǎng)格圖中的數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)：a=100÷2=50，b=100-1=99，c=100b-a=100×99-50=9850，故選：D．模型02旋轉(zhuǎn)型問題考｜向｜預(yù)｜測(cè)該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）。主要考查對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算。答｜題｜技｜巧1.觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；2.分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；3.周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動(dòng)時(shí)間登，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；4.利用有理數(shù)的運(yùn)算解題；1.（2023·四川）如圖所示，矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，對(duì)角線在第二象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：四邊形是矩形，，每秒旋轉(zhuǎn)，8次一個(gè)循環(huán)，，第2025秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．1.數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算1+2+3+4+?+100時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到1+2+3+4+?+100=100×(1+100)2．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n=n(1+n)2（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)Aixi,yi，其中i=1,2,3,?,n,?，且xi,y

A．a(chǎn)2023=40 B．a(chǎn)2024=43 C．【答案】B【分析】利用圖形尋找規(guī)律A2n-1【詳解】解：第1圈有1個(gè)點(diǎn)，即A1(0,0)，這時(shí)第2圈有8個(gè)點(diǎn)，即A2到A第3圈有16個(gè)點(diǎn)，即A10到A依次類推，第n圈，A2n-1由規(guī)律可知：A2023是在第23圈上，且A2025(22,22)，則AA2024是在第23圈上，且A2024(21,22)第n圈，A2n-12(n-1,n-1)，所以a2n-12故選B．2．如圖是從原點(diǎn)開始的通道寬度為1的回形圖，OA=1，反比例函數(shù)y=1x與該回形圖的交點(diǎn)依次記為B1、B2、B3、……【答案】(【分析】本題考查了在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，找規(guī)律，找出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別寫出前三個(gè)回形的點(diǎn)坐標(biāo)，找出規(guī)律，得到第n個(gè)回形4個(gè)點(diǎn)的規(guī)律，分別是(n,1n)，(1n,n)，【詳解】由題意可知，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)為(x,1x)第1個(gè)回形有2個(gè)點(diǎn)，B1(1,1)第2個(gè)回形有4個(gè)點(diǎn)，分別是B3(2,12)，第3個(gè)回形有4個(gè)點(diǎn)，分別是B7(3,13)，?第n(n≥2)個(gè)回形有4個(gè)點(diǎn)，分別是(n,1n)，(1(2024-2)÷4=505??2505+1+1=507那么第2024個(gè)點(diǎn)在第507個(gè)回形的第2個(gè)點(diǎn)，那么點(diǎn)坐標(biāo)為(故答案為：(3．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1從原點(diǎn)出發(fā)，沿如圖所示的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達(dá)終點(diǎn)An（506，﹣505），則n的值為．【答案】2022【分析】終點(diǎn)An506，【詳解】解：∵506，∴An∴在第四象限的點(diǎn)為A∵6=4×-1+2∴n=4×故答案為：20223．如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5?叫作“正方形的漸開線”，其中C1C2，C2C3，C

A．(-1，-2022) B．(-2023，1) C．【答案】A【分析】由題得點(diǎn)的位置每4個(gè)一循環(huán)，經(jīng)計(jì)算得出C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合同一規(guī)律，探究出C3，C【詳解】解：由圖得C1(0，1)點(diǎn)C的位置每4個(gè)一循環(huán)，2023=505×4+3，∴C2023在第三象限，與C3，C7，符合規(guī)律(-1，∴C2023坐標(biāo)為(-1故選：A．4．在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1，邊長(zhǎng)的2

【答案】22023【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60°，可知每旋轉(zhuǎn)6次后點(diǎn)A又回到x軸的正半軸上，故點(diǎn)A2023在第四象限，且O【詳解】解：∵△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，∴OA=1，∵每次旋轉(zhuǎn)角度為60°，∴6次旋轉(zhuǎn)360°，第一次旋轉(zhuǎn)后，A1在第四象限，O第二次旋轉(zhuǎn)后，A2在第三象限，O第三次旋轉(zhuǎn)后，A3在x軸負(fù)半軸，O第四次旋轉(zhuǎn)后，A4在第二象限，O第五次旋轉(zhuǎn)后，A5在第一象限，O第六次旋轉(zhuǎn)后，A6在x軸正半軸，O……如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)又回到x軸正半軸，∵2023÷6=337?1，點(diǎn)A2023在第四象限，且O如圖，過點(diǎn)A2023作A2023H⊥x

在Rt△OHA2023∴OH=OAA2023∴點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為2故答案為：22023，2模型03平移或翻滾型考｜向｜預(yù)｜測(cè)該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律(如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等)。主要考查對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算求解。這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點(diǎn)，對(duì)分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。答｜題｜技｜巧1.觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出具體數(shù)量的變化規(guī)律；2.分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；3.周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動(dòng)時(shí)間登，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；1.如圖，，點(diǎn)在射線上，且，過點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使；過點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使.按照此規(guī)律，線段的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】解直角三角形分別求得，，，……，探究出規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題．，是直角三角形，在中，，，，，，，，，，，同理可得：，，……，，，故答案為：．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，那么點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為（）A．(﹣1，1) B．(，0) C．(﹣1，﹣1) D．(0，)【答案】C【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)8次一循環(huán)，據(jù)此解答即可求解．【詳解】解：連接OB，∵四邊形OABC是正方形，A的坐標(biāo)為（1，0），∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，∴B（1，1），由勾股定理得：，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)45°，相當(dāng)于將OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)45°，∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，），B2（－1，1），B2(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0），

B8（1，1），……，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)8次一循環(huán)，∵2020=8×252+4，∴點(diǎn)B2020與點(diǎn)B4重合，∴點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為（－1，－1），故選：C．2．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，菱形的對(duì)角線的交于點(diǎn)D；若將菱形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，從如圖所示位置起，經(jīng)過60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)【答案】B【解析】分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，7.5周，進(jìn)而根據(jù)中心對(duì)稱求得點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的D坐標(biāo)【詳解】如圖，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，∴，∵四邊形為菱形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴；由題意知菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)為：，∴菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)周，∴點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)周，∵，∴旋轉(zhuǎn)60秒時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選B3．如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，使．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)．則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為A． B．4 C． D．6【答案】C【解析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，則△BCD是等腰直角三角形，根據(jù)BC=，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，第一次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)第二次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第三次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與第一次坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，確定循環(huán)節(jié)為4，計(jì)算2022÷4的余數(shù)，確定最后的坐標(biāo)，利用k=橫坐標(biāo)×縱坐標(biāo)計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，∵直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，使，∴A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，∴DC=BD=2，∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，∴點(diǎn)C（-2，3），第一次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)為（3，2），第二次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為（2，-3），第三次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與第一次坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為（-3，-2），第四次回到起點(diǎn)，∴循環(huán)節(jié)為4，∴2022÷4=505…2，∴第2022次變化后點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），∴k=-3×2=-6，故選C．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等限直角三角OA3A4，…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為_____________．【答案】（0，﹣21010）【解析】根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)系中點(diǎn)與象限的關(guān)系，確定一部分點(diǎn)的坐標(biāo)，從坐標(biāo)中尋找規(guī)律，再按規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，∴A1（0，1），A2（1，1）；根據(jù)勾股定理得：OA2＝，∴OA3＝OA2＝2，∴A3（2，0），A4（2，﹣2），根據(jù)勾股定理得：OA4＝，∴OA5＝OA4＝4，∴A5（0，﹣4），∴A6（﹣4，﹣4），根據(jù)勾股定理得：OA6＝OA5＝4，∴OA7＝OA6＝8，∴A7（﹣8，0），A8（﹣8，﹣8），根據(jù)勾股定理得：OA8＝OA7＝8，∴OA9＝OA8＝16，∴A9（0，16），∴坐標(biāo)的循環(huán)節(jié)為8，∵2021÷8＝252…5，∴A2021的坐標(biāo)與A5（0，﹣4）的規(guī)律相同，∵﹣4＝﹣22＝，∴A2021的縱坐標(biāo)為＝﹣21010，∴A2021的坐標(biāo)為（0，﹣21010），故答案為：（0，﹣21010）．5．如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】連接AD、BD，由勾股定理可得BD，求出∠OFA=30°，得到OA的值，進(jìn)而求得OB的值，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，由題意可得6次一個(gè)循環(huán)，即可求出經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，連接AD，BD，在正六邊形ABCDEF中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，∴6次一個(gè)循環(huán)，∵，∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第一象限中D點(diǎn)的坐標(biāo)相同，故答案為：．模型04漸變型考｜向｜預(yù)｜測(cè)漸變型變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生分析、解決問題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答。答｜題｜技｜巧觀察幾何圖形、根據(jù)題中的變化規(guī)律進(jìn)行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結(jié)果、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，過點(diǎn)D作DC1⊥AC于點(diǎn)C1，以C1A，C1D為鄰邊作矩形AA1DC1，連接A1C1，交AD于點(diǎn)O1，過點(diǎn)D作DC2⊥A1C1于點(diǎn)C2，交AC于點(diǎn)M1，以C2A1，C2D為鄰邊作矩形A1A2DC2，連接A2C2，交A1D于點(diǎn)O2，過點(diǎn)D作DC3⊥A2C2于點(diǎn)C3，交A1C1于點(diǎn)M2；以C3A2，C3D為鄰邊作矩形A2A3DC3，連接A3C3，交A2D于點(diǎn)O3，過點(diǎn)D作DC4⊥A3C3于點(diǎn)C4，交A2C2于點(diǎn)M3…若四邊形AO1C2M1的面積為S1，四邊形A1O2C3M2的面積為S2，四邊形A2O3C4M3的面積為S3…四邊形An﹣1OnCn＋1Mn的面積為Sn，則Sn＝__________．（結(jié)果用含正整數(shù)n的式子表示）【答案】【解析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得AC＝，運(yùn)用面積法可得DC1＝＝，進(jìn)而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，∴AC＝＝＝，∵DC1?AC＝AB?BC，∴DC1＝＝＝，同理，DC2＝DC1＝（）2，DC3＝（）3，……，DCn＝（）n，∵＝tan∠ACD＝＝2，∴CC1＝DC1＝，∵tan∠CAD＝＝＝，∴A1D＝AC1＝2DC1＝，∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，同理，A1M2＝×DC2，A2M3＝×DC3，……，An﹣1Mn＝×DCn，∵四邊形AA1DC1是矩形，∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，同理∵DC2?A1C1＝A1D?DC1，∴DC2＝＝＝，在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，同理，O2C3＝DC3，O3C4＝DC4，……，OnCn＋1＝DCn＋1，∴＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2＝（﹣）＝＝，同理，＝×＝，S3＝＝×＝，……，Sn＝＝×＝．故答案為：．1.如圖，，，，…，，都是一邊在軸上的等邊三角形，點(diǎn)，，，…，都在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，，，…，，都在軸上，則的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)B1作B1C⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B2作B2D⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B3作B3E⊥x軸于點(diǎn)E，∵△OA1B1為等邊三角形，∴∠B1OC=60°，∴，B1C=OC，設(shè)OC的長(zhǎng)度為x，則B1的坐標(biāo)為（），代入函數(shù)關(guān)系式可得：，解得，x=1或x=-1（舍去），∴OA1=2OC=2，∴A1（2，0）設(shè)A1D的長(zhǎng)度為y，同理，B2D為y，B2的坐標(biāo)表示為，代入函數(shù)關(guān)系式可得，解得：y=或y=（舍去）∴A1D=，A1A2=，OA2=∴A2（，0）設(shè)A2E的長(zhǎng)度為z，同理，B3E為z，B3的坐標(biāo)表示為，代入函數(shù)關(guān)系式可得，解得：z=或z=（舍去）∴A2E=，A2A3=，OA3=∴A3（，0），綜上可得：An（，0），故答案為：．2．如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)B1作B1A1⊥l，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長(zhǎng)B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長(zhǎng)B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長(zhǎng)B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形AnBnBn+1?n的邊長(zhǎng)為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【答案】×()n﹣1．【解析】設(shè)直線y＝x與x軸夾角為α，過B1作B1H⊥x軸于H，由點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，可得OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，tanα＝＝,Rt△A1B1O中，求得A1B1＝OB1?tanα＝，即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是，在Rt△A2B2O中，求得第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×，在Rt△A3B3O中，求得第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×（）2，在Rt△A4B4O中，求得第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×()3，......觀察規(guī)律即可得：第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×()n﹣1．解：設(shè)直線y＝x與x軸夾角為α，過B1作B1H⊥x軸于H，如圖：∵點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，令x＝2得y＝1,∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，∴tanα＝＝,Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1?tanα＝，即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是，∴OB2＝OB1+B1B2＝+＝×3，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2?tanα＝×3×＝×，即第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×，∴OB3＝OB2+B2B3＝×3+×＝×，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3?tanα＝××＝×，即第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×（）2，∴OB4＝OB3+B3B4＝×+×＝×，Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4?tanα＝＝××＝×，即第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×＝×()3，.....．觀察規(guī)律可知：第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)是×()n﹣1，故答案為：×()n﹣1．3.如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)…，按照如此規(guī)律操作下去，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______________．【答案】【解析】先根據(jù)30°的特殊直角三角形，如，，，求出B點(diǎn)，B1點(diǎn)的縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，∴為30°的直角三角形∴∵∴為30°的直角三角形∴∴為30°的直角三角形∵軸∴∴為30°的直角三角形同理：…故：故答案為：4．如圖，一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OA，交x軸于點(diǎn)B；作BA1∥OA，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A1；過點(diǎn)A1作A1B1⊥A1B交x軸于點(diǎn)B；再作B1A2∥BA1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2，依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為．【答案】+．【解析】由一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，可得A（1，1）；易得△OAB是等腰直角三角形，則OB＝2；分別過點(diǎn)A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，則△ABD是等腰直角三角形，設(shè)BD＝m，則A1D＝m，則A1（m+2，m），點(diǎn)A1在反比例函數(shù)上，可得m的值，求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，同理可得A2的坐標(biāo)，以此類推，可得結(jié)論．如圖，分別過點(diǎn)A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，∵一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，∴聯(lián)立，解得A（1，1），∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，∵AB⊥OA，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OB＝2OC＝2，∵A1B∥OA，∴∠A1BD＝45°，設(shè)BD＝m，則A1D＝m，∴A1（m+2，m），∵點(diǎn)A1在反比例函數(shù)y＝上，∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+，（m＝﹣1﹣，負(fù)值舍去），∴A1（+1，﹣1），∵A1B1⊥A1B，∴BB1＝2BD＝2﹣2，∴OB1＝2．∵B1A2∥BA1，∴∠A2B1E＝45°，設(shè)B1E＝t，則A2E＝t，∴A2（t+2，t），∵點(diǎn)A2在反比例函數(shù)y＝上，∴t（t+2）＝1，解得t＝﹣+，（t＝﹣﹣，負(fù)值舍去），∴A2（，﹣），同理可求得A3（2+，2﹣），以此類推，可得點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為+．故答案為：+．1．（2023·湖南）觀察下列等式：根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】∵∴個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∴，∴，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是：0．故選A．2．（2022·河南）我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．33 B．301 C．386 D．571【答案】C【解析】由圖形知第n個(gè)三角形數(shù)為1+2+3+…+n=，第n個(gè)正方形數(shù)為n2，當(dāng)n=19時(shí)，=190＜200，當(dāng)n=20時(shí)，=210＞200，所以最大的三角形數(shù)m=190；當(dāng)n=14時(shí)，n2=196＜200，當(dāng)n=15時(shí)，n2=225＞200，所以最大的正方形數(shù)n=196，則m+n=386，故選C．3．（2019·甘肅）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個(gè)圖形中共有_____個(gè)〇．【答案】6058【解析】由圖可得，第1個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第2個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第3個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第4個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，……∴第2019個(gè)圖形中共有：個(gè)〇，故答案為：6058．4．（2024·遼寧）如圖，在中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；……按照上面的作法進(jìn)行下去，則的面積為_____．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）【答案】【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出，由含30°角直角三角形的性質(zhì)得出，解：，，，，，，，，，，同理，，，同理，，，，，同理，，，，…，，故答案為：．5.（2024·四川）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通過解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各點(diǎn)的坐標(biāo)，再?gòu)钠渲姓页鲆?guī)律，便可得結(jié)論．由題意得，A1的坐標(biāo)為（1，0），A2的坐標(biāo)為（1，），A3的坐標(biāo)為（﹣2，2），A4的坐標(biāo)為（﹣8，0），A5的坐標(biāo)為（﹣8，﹣8），A6的坐標(biāo)為（16，﹣16），A7的坐標(biāo)為（64，0），…由上可知，A點(diǎn)的方位是每6個(gè)循環(huán)，與第一點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x正半軸上，其橫坐標(biāo)為2n﹣1，其縱坐標(biāo)為0，與第二點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第三點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第四點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x負(fù)半軸上，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣1，縱坐標(biāo)為0，與第五點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，與第六點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴點(diǎn)A2019的方位與點(diǎn)A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2＝﹣22017，縱坐標(biāo)為220171．規(guī)律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個(gè)圖案用幾根火柴棒（

）A．8093 B．8095 C．8092 D．8091【答案】A【詳解】觀察圖形的變化可知：擺第1個(gè)圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5；擺第2個(gè)圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；擺第3個(gè)圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；…則擺第n個(gè)圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；故第2023個(gè)圖案要用火柴棒的根數(shù)為：故選：A2．漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活．如圖所示圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡(jiǎn)化“漢”字，其中，圖①中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則圖⑩中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意知，圖①中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有個(gè)圓點(diǎn)，…∴圖⑩中共有圓點(diǎn)，故選：D．3．已知點(diǎn)，記關(guān)于直線m（直線m上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為0