重難點(diǎn)10方程的實(shí)際應(yīng)用模型（一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強(qiáng)化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練本專題主要對初中階段的方程應(yīng)用題型進(jìn)形總結(jié)分析，收集匯總各地市?？嫉姆匠虘?yīng)用題型，主要分為一元一次方程，二元一次方程組，分式方程，一元二次方程幾大題型?？荚囍形覀兛梢钥闯龆淮畏匠探M和分式方程考試頻率較高。一元一次方程相對基礎(chǔ)較為簡單，應(yīng)用題型中出現(xiàn)較少，一元二次方程的應(yīng)用綜合性較高除了在應(yīng)用題型中有所體現(xiàn)，在二次函數(shù)的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。本專題根據(jù)考試題型分類歸納總結(jié)。模型01一元一次方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測一元一次方程的應(yīng)用該題型近年主要以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，一般為應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)未知量、列方程、解方程，其中列方程是解題的核心，一般需要我們很好的理解題意。答｜題｜技｜巧1.審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系2.設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個(gè)數(shù)字列方程；3.解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合題意，是否符合實(shí)際意義。1.（2023·上海）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需6天完成，現(xiàn)由甲先做3天，乙再加入合做，還需幾天完成這項(xiàng)工程？設(shè)還需天完成這項(xiàng)工程，由題意列方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意知，甲在這項(xiàng)工程中做了天，則得方程：；故選：D．1．解一元一次方程時(shí)，去分母正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】去分母應(yīng)乘以公分母6，由此判斷．【詳解】方程兩邊同乘以6可得：．故選：D．2．方程組用代入法消去x，所得關(guān)于y的一元一次方程為（

）A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2【答案】B【分析】直接代入消元即可得解；【詳解】解:方程組用代入法消去x，把②代入①得關(guān)于y的一元一次方程為，故選：B.3．新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相依方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“相依方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式組的“相依方程”是；（填序號）(2)若關(guān)于x的方程是不等式組的“相依方程”，求k的取值范圍．【答案】(1)①③(2)【分析】（1）先解出3個(gè)方程的解，然后根據(jù)“相依方程”的定義判斷即可，（2）先求出不等式組的解集和方程的解，再根據(jù)“相依方程”的定義列不等式求解.【詳解】（1）①x﹣3＝0，解得：x＝3，②3x+2＝x，解得：x＝﹣1，③2x﹣10＝0，解得：x＝5，，∴原不等式組的解集為：，∴不等式組的“相依方程”是：①③，故答案為：①③；（2）解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式組的解集為：，由，解得：，∵關(guān)于x的方程是不等式組的“相依方程”，∴?1＜≤1，解得．4．設(shè)關(guān)于的一元一次方程（1）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有自然數(shù)根的概率；（2）若是從區(qū)間內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，且方程在有實(shí)根的概率為，求出的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）列出基本事件的總數(shù)，求出方有自然數(shù)根包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解；（2）方程的實(shí)根為，根據(jù)，可得，再根據(jù)有實(shí)根的概率為列不等式組即可求解.【詳解】（1）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，總共有；；；；；；；，共有種情況；其中方程有自然數(shù)根的對應(yīng)的取值有：；；共有種情況；所以上述方程有自然數(shù)根的概率為.（2）若是從區(qū)間內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根為.若，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以或或，解得?．當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于的一元一次方程的解滿足？【答案】【分析】先求出方程的解，根據(jù)已知方程的解取值范圍列出不等式組，再求出不等式組的解集即可.【詳解】解方程，得，因?yàn)殛P(guān)于的一元一次方程的解滿足，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元一次方程的解滿足.故答案為：.6．代數(shù)基本定理：任何一個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)根．由此可得如下推論：推論一：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為個(gè)一次因式的乘積；推論二：一元次多項(xiàng)式方程有個(gè)復(fù)數(shù)根，最多有個(gè)不同的根．即一元一次方程最多有1個(gè)實(shí)根，一元二次方程最多有2個(gè)實(shí)根等．推論三：若一個(gè)次方程有不少于個(gè)不同的根，則必有各項(xiàng)的系數(shù)均為0．已知．請利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問題：(1)求的復(fù)根；(2)若，使得關(guān)于的方程至少有四個(gè)不同的實(shí)根，求的值；(3)若的圖像上有四個(gè)不同的點(diǎn)，以此為頂點(diǎn)構(gòu)成菱形，設(shè)，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）化簡該方程后借助因式分解結(jié)合求根公式計(jì)算即可得；（2）化簡方程后借助推論三計(jì)算即可得；（3）設(shè)出中點(diǎn)，代入計(jì)算后結(jié)合推論三可得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合體型菱形對角線垂直計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意，，即，所以，所以或，對，有，即復(fù)根有；（2）由題意，，化簡得，，由推論三：該方程的解個(gè)數(shù)多于方程最高次數(shù)得，解之得；（3）在菱形中，與互相垂直平分，設(shè)中點(diǎn)，由得，所以，即，化簡得：，由點(diǎn)是的圖象上的四個(gè)不同的點(diǎn)，故該關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解，故，解得，故，又，故由菱形，可得，所以，故．模型02二元一次方程組的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測二元一次方程組應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握二元一次方程組的解法是考試的重點(diǎn)，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應(yīng)用題型中，根據(jù)題意列二元一次方程組相對簡單，該題型設(shè)兩個(gè)未知量，兩個(gè)條件兩個(gè)方程，相對直觀，只要我們在解方程組的過程中不出現(xiàn)失誤，一般不會失分。答｜題｜技｜巧“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．1．（2024·黑龍江哈爾濱）一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝76瓶．大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，根據(jù)題意可列方程組為：，故選：C．1．已知關(guān)于x，y的方程組是二元一次方程組，則k的值為（

）A．1或 B．3或 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查的是二元一次方程組的定義，解答時(shí)，一定要緊扣二元一次方程組的定義：組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．根據(jù)組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程解答．【詳解】解：由題意可得：，解得：．故選：C．2．關(guān)于二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查根據(jù)方程組的解的情況求參數(shù)的范圍，解一元一次不等式，將兩個(gè)方程相加得到的值，整體代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：，，得：，∴，∵，∴，解得：；故選A．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象分別與軸交于點(diǎn)，，則關(guān)于，的二元一次方程組的解為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象平移問題，坐標(biāo)與圖形變化——平移，兩直線的交點(diǎn)與二元一次方程組的解等知識點(diǎn)，利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律及坐標(biāo)平移的變化規(guī)律推出“一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．由一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律及坐標(biāo)平移的變化規(guī)律可得，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，而一次函數(shù)的圖象與軸也交于點(diǎn)，于是可得一次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，進(jìn)而可得關(guān)于，的二元一次方程組的解．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，將一次函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位得到一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，而一次函數(shù)的圖象與軸也交于點(diǎn)，一次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，關(guān)于，的二元一次方程組的解為，故選：．4．如圖所示，已知函數(shù)（為常數(shù)，）和（為常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等于對應(yīng)一元二次方程組的解，結(jié)合圖像即可解答．【詳解】解：二元一次方程組整理為：，由圖可知：的解是，故答案為：．5．已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足且．(1)若關(guān)于x的不等式組無解，求所有符合條件的整數(shù)a的值；(2)若有解，求所有符合條件的整數(shù)a的和．【答案】(1)所有符合條件的整數(shù)a的值有1，2，3，4(2)所有符合條件的整數(shù)a的和為15【分析】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點(diǎn)，能求出a的取值范圍是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出方程組和不等式的解集，再求出a的范圍，最后得出答案即可；（2）先求出方程組和不等式的解集，再求出a的范圍得出所有符合條件的整數(shù)a，最后得出答案即可．【詳解】（1）解：解方程組得：，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足且，，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，關(guān)于x的不等式組無解，，解得：，即，∴所有符合條件的整數(shù)a的值有1，2，3，4；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組有解，，即，所有符合條件的整數(shù)a有：1，2，3，4，5，，所有符合條件的整數(shù)a的和為15．6．解二元一次方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法解答即可；（2）利用加減消元法解答即可．本題考查了方程組的解法，熟練掌握解方程組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入得，解得；把代入①解得，，故方程組的解為．（2）解：，整理，得得，解得，把代入①解得，，故方程組的解為．7．興平辣椒是興平市的特產(chǎn)，具有色澤鮮紅、椒身細(xì)長、肉厚籽多、皺紋均勻的特點(diǎn)，辣香濃郁，富含多種維生素、蛋白質(zhì)和氨基酸，是國家地理標(biāo)志產(chǎn)品．某超市新店開業(yè)，展開促銷活動，所有袋裝興平干辣椒或辣椒面都按標(biāo)價(jià)打八折，買10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元．已知每袋干辣椒的標(biāo)價(jià)比每袋辣椒面的標(biāo)價(jià)貴4元．求每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別是多少元？（列二元一次方程組解）【答案】每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為12元，8元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找到出題中等量關(guān)系．設(shè)每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為元，元，根據(jù)“所有袋裝興平干辣椒或辣椒面都按標(biāo)價(jià)打八折，買10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元．已知每袋干辣椒的標(biāo)價(jià)比每袋辣椒面的標(biāo)價(jià)貴4元．”建立方程組求解．【詳解】解：設(shè)每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為元，元，由題意得：，解得：，答：每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為12元，8元．模型03分式方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測分式方程的應(yīng)用該題型近年在方程的應(yīng)用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，讓學(xué)生體會解分式方程過程中的化歸思想是本節(jié)內(nèi)容的重心。分式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會用增根的意義解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn),有時(shí)也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中。該題型主要難點(diǎn)在于設(shè)、列、解，屬于應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項(xiàng)。答｜題｜技｜巧1.根據(jù)題意設(shè)未知量，分式方程只設(shè)一個(gè)未知量，用一個(gè)量表示另一個(gè)量；2.解分式方程；3.檢驗(yàn)分式方程的解，看是否為增根，注意不檢驗(yàn)會扣分；4.答：即寫出答案，注意答案完整1．（2024·山西）我縣文化宮向全縣中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動地點(diǎn)．若設(shè)乙同學(xué)的速度是每分鐘x米，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)乙同學(xué)的速度是米/分，可得：故選D．1．2023年12月8日，山東濟(jì)南到河南鄭州的高速鐵路全線通車，將兩城之間的“V字形”路線變成了“一字形”路線，為鄭州、濟(jì)南建設(shè)“強(qiáng)省會”提供更多可能．已知通車前從濟(jì)南西站到鄭州東站的路程約為，通車后總路程縮短了，速度提升到了原來的2倍，時(shí)間縮短了90分鐘．設(shè)通車前的平均速度為，那么滿足的分式方程為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，根據(jù)通車前行駛所需時(shí)間-通車后行駛所需時(shí)間，列方程即可．【詳解】解：設(shè)通車前的平均速度為x千米/小時(shí)，則通車后運(yùn)行速度為千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得：，故選：C．2．如果關(guān)于的分式方程有增根，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式方程的增根，先去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，當(dāng)最簡公分母為0時(shí)產(chǎn)生增根，可得解．【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．∵原方程有增根，∴，即，解得．故選：B．3．若關(guān)于的不等式組有解且至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【答案】20【分析】先計(jì)算出不等式組的解集，再根據(jù)解的情況判斷出；然后計(jì)算分式方程的解，再結(jié)合其解為非負(fù)整數(shù)即可求解．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集為，∵該不等式組至多有兩個(gè)偶數(shù)解，∴，解得，，解得且，∵該方程解為非負(fù)整數(shù)，∴，13，∴，故答案為：20．4．解下列分式方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步驟是解本題的關(guān)鍵．（1）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可；（2）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，去分母得：，∴，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解．（2），去分母得：，∴，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解．5．在數(shù)學(xué)課上，老師展示兩道習(xí)題的解答過程：習(xí)題：計(jì)算：解：原式…第一步……………第二步………第三步習(xí)題：解方程：解：方程兩邊同乘，得……第一步解得……第二步經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解……………第三步(1)解答過程中，習(xí)題從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，習(xí)題從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)任選一個(gè)習(xí)題寫出正確的解答過程．【答案】(1)二；一(2)習(xí)題：；習(xí)題：【分析】（）根據(jù)計(jì)算過程判斷即可求解；（）習(xí)題：先分母因式分解，再約分，然后進(jìn)行同分母分式的加法運(yùn)算即可；習(xí)題：按照解分式方程的一般步驟解答即可；本題考查了分式的加減運(yùn)算，解分式方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：解答過程中，習(xí)題從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，習(xí)題從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二，一；（2）解：習(xí)題：原式；習(xí)題：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的解．6．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程”這是我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對方程一詞給出的注釋，現(xiàn)有如下兩個(gè)約定：（I）方程的整數(shù)解稱之為“趣根”；（II）若兩個(gè)方程存在相同的“趣根”，則稱這兩個(gè)方程為“同源方程”．已知分式方程與一元一次方程；請判斷方程是否為“同源方程”，并說明理由．【答案】不是，見解析【分析】本題考查了解分式方程和解一元一次方程，熟練掌握解分式方程和解一元一次方程的方法是解答本題的關(guān)鍵．解出分式方程和一元一次方程之后，再結(jié)合“同源方程”的定義判斷即可．【詳解】解：不是，理由如下：，方程兩邊乘以，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的增根，原方程無解，方程沒有“趣根”；，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，方程方程有“趣根”，綜上，方程不是“同源方程”．7．某商廈進(jìn)貨員在廣州發(fā)現(xiàn)一種飾品，預(yù)計(jì)能暢銷市場，就用8000元購進(jìn)所有飾品，面市后果然供不應(yīng)求．進(jìn)貨員又在上海用13200元購進(jìn)，這次比在廣州多進(jìn)了100件，但單價(jià)比廣州貴了．(1)求兩次所購數(shù)量分別是多少？（列分式方程求解）(2)商廈銷售這種飾品時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下15件按8折銷售，很快售完．在這兩筆生意中，商廈共盈利多少元？（不考慮其它因素）【答案】(1)廣州進(jìn)貨200件，上海進(jìn)貨300件(2)在這兩筆生意中，商廈共盈利7626元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意正確列方程是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)廣州進(jìn)貨的單價(jià)為元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）根據(jù)盈利單件利潤數(shù)量，分別求出兩筆生意的盈利求和即可．【詳解】（1）解：設(shè)廣州進(jìn)貨的單價(jià)為元，則上海進(jìn)貨的單價(jià)為元．依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，（件），（件）；答：廣州進(jìn)貨200件，上海進(jìn)貨300件．（2）解：商廈共盈利：（元）；

答：在這兩筆生意中，商廈共盈利7626元．模型04一元二次方程應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測一元二次方程應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與二次函數(shù)相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一元二次方程中根的判別式的應(yīng)用也需要我們重點(diǎn)理解和熟練應(yīng)用。一元二次方程的解法及根的判別式及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應(yīng)用題。答｜題｜技｜巧1.審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；2.設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；3.列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；4.解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；5.驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）6.答(寫出答案，切忌答非所問).1．（2023·安徽）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對教育經(jīng)費(fèi)的投入，2022年投入3億元，預(yù)計(jì)2024年投入5億元，設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，得，故選：A．1．已知關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，利用一元二次方程根的判別式求解即可，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一元二次方程無實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：C．2．已知關(guān)于的一元二次方程，其中滿足，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，利用一元二次方程根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．由得到，代入到關(guān)于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，代入到關(guān)于的方程得，，整理得：，，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．3．關(guān)于的一元二次方程，下列說法：①若，則方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若，則方程沒有實(shí)數(shù)根；③若是方程的一個(gè)根，則；④若是方程的一個(gè)根，則是方程的一個(gè)根．其中正確的是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根等知識點(diǎn)，掌握運(yùn)用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況成為解題的關(guān)鍵．通過證明，即可判斷①，證明，即可判斷②；根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則或即可判斷③；由題意可得即可判斷④．【詳解】解：①對于方程，∴，若，則，∴，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故①正確；②由①可知，，若，則，即，則，∴，∴方程沒有實(shí)數(shù)根；故②正確；③若n是方程的一個(gè)根，則，即，∴或，即或，故③錯(cuò)誤；④若是方程的一個(gè)根，∴，∵，∴兩邊同除以得，，即，∴是方程的一個(gè)根，故④正確；綜上可知，①②④正確，共3個(gè)．故選：C．4．某產(chǎn)品現(xiàn)在售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)價(jià)，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使每周利潤最大化，并確定x的取值范圍？【銷售最大利潤問題】先通過價(jià)格與利潤關(guān)系得到二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象及性質(zhì)求最大值．（1）設(shè)每件漲價(jià)x元，則此時(shí)每星期少賣件，實(shí)際賣出件，此時(shí)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為元，每周產(chǎn)品的銷售額元，此時(shí)每周產(chǎn)品的成本元，因此周利潤合計(jì)為：y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x）＝?10x2＋100x＋6000＝?10（x?5）2＋6250當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)漲價(jià)5元，即售價(jià)元，利潤最大，最大利潤為元（2）設(shè)每件降價(jià)x元，則此時(shí)每星期多賣件，實(shí)際賣出件，此時(shí)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為元，每周產(chǎn)品的銷售額元，此時(shí)每周產(chǎn)品的成本元，因此周利潤合計(jì)為：y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x）＝?20x2＋100x＋6000＝?20（x?2.5）2＋6125當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)降價(jià)2.5元，即售價(jià)元，利潤最大，最大利潤為元當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)漲價(jià)5元，即售價(jià)65元，利潤最大，最大利潤為6250元．當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)降價(jià)2.5元，即售價(jià)57.5元，利潤最大，最大利潤為6125元．綜上所述，當(dāng)漲價(jià)5元時(shí)利潤最大，最大利潤6250元【答案】10x60＋x300－10x（）（60＋x）（300－10x）40（300－10x）65625020x60＋x300＋20x（）（60－x）（300＋20x）40（300＋20x）57.56125【解析】略5．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)若時(shí)，求方程的根；(2)求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解題的關(guān)鍵．（1）把代入方程，然后解方程求出方程的解即可；（2）根據(jù)方程根的情況得到，求出m的取值范圍即可．【詳解】（1）解：把代入方程得，解得；（2）解：根據(jù)題意得，解得．6．閱讀材料，各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方程和，可得方程的解．(1)問題：方程的解是：，，；(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解；(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪的長，寬，點(diǎn)在上（），小華把一根長為的繩子一段固定在點(diǎn)，把長繩段拉直并固定在點(diǎn)，再拉直，長繩的另一端恰好落在點(diǎn)，求的長．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，一元二次方程的解法．解無理方程是注意到驗(yàn)根．（1）首先提出，然后因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；（2）兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解，注意驗(yàn)根；（3）設(shè)的長為，根據(jù)勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可．【詳解】（1）解：，，∴或或，故答案為：，；（2）解：方程的兩邊平方，得，即，，∴或，∴，，當(dāng)時(shí)，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；（3）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?，，，，，兩邊平方，得整理，得兩邊平方并整理，得解得或不合題意，舍去此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解．答：的長為．7．某校八年級開展社會實(shí)踐活動，下表是某小組的活動記錄表，請根據(jù)相關(guān)信息解決實(shí)際問題．社會實(shí)踐活動記錄表小組名稱活動時(shí)間2024.6小組成員地點(diǎn)北岸果蔬超市實(shí)踐內(nèi)容調(diào)查楊梅銷售行情；幫助超市解決銷售問題；同時(shí)思考民生獲益等事宜．調(diào)研信息楊梅進(jìn)價(jià)為40元/箱．當(dāng)楊梅售價(jià)為50元/箱時(shí)，每月可銷售500箱．若每箱售價(jià)每上漲1元，則月銷售量將減少10箱．解決問題問題1當(dāng)銷售單價(jià)定為每箱55元時(shí)，月銷售量是多少？問題2設(shè)銷售單價(jià)為每箱元，請用的代數(shù)式表示月銷售利潤．問題3請自行提出一個(gè)實(shí)際問題，并嘗試解決之【答案】問題1：450箱；問題2：；問題3：見解析【分析】問題1：由題意列式計(jì)算即可；問題2：設(shè)銷售單價(jià)為每箱元，則月銷售量為箱，每箱的銷售利潤為元，即可解決問題；問題3：由題意提出問題，再解答即可．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)，解題的關(guān)鍵：（1）正確列式計(jì)算；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出列代數(shù)式表達(dá)式；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【詳解】解：問題1：依題意，當(dāng)銷售單價(jià)定為每箱55元時(shí)，月銷售量是（箱；問題2：依題意，設(shè)銷售單價(jià)為每箱元，則月銷售量為箱每箱的銷售利潤為元，月銷售利潤元問題3：依題意，提出問題：若該超市將當(dāng)月的獲利目標(biāo)定為8000元，且盡可能的讓利顧客，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？解答如下：由題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克60元．1．如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于、的二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．由圖可知：兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為；那么交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式，而所求的方程組正好是由兩個(gè)函數(shù)的解析式所構(gòu)成，因此兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解．【詳解】解：函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，即，同時(shí)滿足兩個(gè)一次函數(shù)的解析式．所以關(guān)于，的方程組的解是．故選：B．2．文化情境·傳統(tǒng)文化

中國古今詩歌中蘊(yùn)含著很多有趣的數(shù)學(xué)問題，下列一首古詩歌中就蘊(yùn)含著方程的數(shù)量關(guān)系：“老頭提籃去趕集，一共花去七十七；滿滿裝了一菜籃，十斤大肉三斤魚；買好未曾問單價(jià)，只因回家心里急；道旁行人告訴他，九斤肉錢五斤魚．”其意思是：老頭用77元錢共買了10斤肉和3斤魚，9斤肉的錢數(shù)等于5斤魚的錢數(shù)，問每斤肉和魚各是多少錢?如果設(shè)每斤肉元，每斤魚元，那么可列二元一次方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)老頭用77元錢共買了10斤肉和3斤魚，9斤肉的錢數(shù)等于5斤魚的錢數(shù)列出方程組即可得．【詳解】解：由題意，列二元一次方程組為，故選：B．3．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由b的值確定 B．沒有實(shí)數(shù)根C．兩根互為倒數(shù) D．若，則兩根互為相反數(shù)【答案】D【分析】本題主要考查了根的判別式，利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．【詳解】解：由題知，所以此一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，兩根之積等于，當(dāng)時(shí)，方程變形為，解得或，即兩根互為相反數(shù)，故選：D．4．甲、乙兩位同學(xué)在解一道一元二次方程時(shí)，甲同學(xué)在化簡過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根為6和1，乙同學(xué)在化簡中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根為和，則原來的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)原來的方程為，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于，及，之間的關(guān)系式即可解決問題．【詳解】解：設(shè)原來的方程為，由題知，，，所以，，所以原來的方程為，則．故選：B．5．已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線（、為常數(shù)，且）與（、為常數(shù)，且）交于點(diǎn)，則關(guān)于的二元一次方程組的解為．【答案】【分析】直線（、為常數(shù)，且）與（、為常數(shù)，且）交于點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)的意義，得到方程組的解．本題考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)，方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系，熟練掌握關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線（、為常數(shù)，且）與（、為常數(shù)，且）交于點(diǎn)∴方程組的解為，故答案為：．6．已知關(guān)于的二元一次方程組(1)用含的式子表示此方程組的解為________；(2)若方程組的解滿足．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查加減消元法解二元一次方程組、解一元一次不等式等知識，熟練掌握解二元一次方程組、解一元一次不等式的方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用加減消元法先求出，再將只代入二元一次方程組中的其中一個(gè)方程求解即可得到答案；（2）由（1）知，將的值代入解一元一次不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：，由①②得，解得；將代入②得；原方程組的解為，故答案為：；（2）解：由（1）知，，，解得．7．我校學(xué)生組織冬游活動，交通工具有兩座車和五座車兩種，兩座車每人每次18元，五座車每人每次8元，共100名學(xué)生參與了活動，乘坐了兩種車若干，且每輛車正好坐滿．(1)若一共花去車費(fèi)1300元，則兩種車各租用了多少輛？（列二元一次方程組解決問題）(2)因場地停車位置有限，只能?？?4輛車．故新提供了大巴車可選擇，每輛大巴車可乘坐7人．若每種車型必須都租用，請你設(shè)計(jì)符合要求的租車方案．(3)若每輛大巴車的租金為30元一次，請你通過計(jì)算，找出租金最低的租車方案．【答案】(1)租用兩座車共25輛，租用五座車共10輛(2)租車方案有3種：方案一：乘2人的車8輛，乘5人的車14輛，乘7人的車2輛．方案二：乘2人的車10輛，乘5人的車9輛，乘7人的車5輛．方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛．(3)方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛，租金最低為832元【分析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、有理數(shù)混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，正確列出方程組和二元一次方程成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)租用的兩座車共能坐學(xué)生a人，租用的五座車共能坐學(xué)生b人，根據(jù)共100名學(xué)生參與了活動，一共花去車費(fèi)1300元列方程組求解即可；（2）設(shè)租用兩座車x輛，五座車y輛，則租用大巴車輛，再根據(jù)共100名學(xué)生參與了活動，據(jù)此列二元一次方程求解即可；（3）分別求出三種方案的費(fèi)用，然后再比較即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)租用的兩座車共能坐學(xué)生a人，租用的五座車共能坐學(xué)生b人，根據(jù)題意；，得：，解得：，將代入①得：，解得：，則（輛），（輛）．答：租用兩座車共25輛，租用五座車共10輛．（2）解：設(shè)租用兩座車x輛，五座車y輛，則租用大巴車輛，根據(jù)題意：，即，為非負(fù)整數(shù)，且，解得：或或，則大巴車租用的數(shù)量依次為：，則租車方案有3種：方案一：乘2人的車8輛，乘5人的車14輛，乘7人的車2輛．方案二：乘2人的車10輛，乘5人的車9輛，乘7人的車5輛．方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛．（3）解：方案一：租金為（元）；方案二：租金為（元）；方案三：租金為（元）；，方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛，租金最低為832元．8．（1）解分式方程：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），1【分析】本題考查的是分式方程的解法，分式的化簡求值，掌握“解分式方程的步驟與方法以及分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵．（1）先去分母，再去括號，合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化“1”即可得到答案；（2）先計(jì)算括號內(nèi)的分式的加法運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算得到化簡的結(jié)果，最后把代入化簡后的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，∴分式方程的解為：；（2），當(dāng)時(shí)，原式．9．【數(shù)學(xué)與生活】某校八年級的學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館開展研學(xué)活動，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．【學(xué)以致用】設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，用含有x的式子表示：(1)汽車的速度為________千米/小時(shí)；(2)騎車學(xué)生總共用的時(shí)間為________小時(shí)，乘汽車的學(xué)生總共用的時(shí)間為________小時(shí)．(3)請列分式方程并求出騎車學(xué)生的速度．【答案】(1)(2)，(3)騎車同學(xué)的速度為【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程，注意不要忘記檢驗(yàn)．（1）設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，可得出答案；（2）用代數(shù)式分別表示出騎車學(xué)生總共用的時(shí)間及乘汽車的學(xué)生總共用的時(shí)間為；（3）根據(jù)題意可得等量關(guān)系：騎自行車同學(xué)所用時(shí)間乘汽車同學(xué)所用時(shí)間分鐘，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【詳解】（1）解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，得出汽車的速度為千米/小時(shí)，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，可得騎車學(xué)生總共用的時(shí)間為小時(shí)，乘汽車的學(xué)生總共用的時(shí)間為小時(shí)．故答案為：，；（3）由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解，且符合實(shí)際意義，答：騎車同學(xué)的速度為．10．下面是小軍同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).今天在復(fù)習(xí)方程（組）的概念和解法時(shí)，我發(fā)現(xiàn)，各類方程的解法有一定的規(guī)律，求解一元一次方程時(shí)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式：求解二元一次方程組時(shí)，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；類似的，解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組求解；解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解；解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程求解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把多元轉(zhuǎn)化成一元，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單.運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我還可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，第一步，因式分解：，第二步，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程：________或________，第三步，解得：，，.(1)問題：將小軍求解一元三次方程過程中的第二步補(bǔ)充完整為________或________；(2)類比：方程的解是：，________，________；(3)拓展：解方程組；(4)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪的長，寬，點(diǎn)在上，小明把一根長為的繩子一端固定在點(diǎn)，把繩長拉直并固定在上的一點(diǎn)處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點(diǎn)處，求的長．【答案】(1)，(2)(3)(4)的長為【分析】本題主要考查一元二次方程，勾股定理，解方程的轉(zhuǎn)化思想解復(fù)雜方程（組）的解法等知識的綜合，（1）根據(jù)一元一次方程，一元二次方程的概念及形式即可求解；（2）根據(jù)材料提示，先提取公因式，運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可求解；（3）把變形得代入，再運(yùn)用材料提示的方法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）設(shè)，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理在中，求出，在中，求出，再根據(jù)，及材料提示的方法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：是一元一次方程，是一元二次方程，故答案為：；（2）解：，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（3）解：，由②得，，把③代入①得，，整理得，，∴，解得，，∴，∴原方程組的解為；（4）解：設(shè)，則，∵四邊形是矩形，∴，在中，，即，則在中，，即，則，∵，∴，，等式兩邊同時(shí)平方得，，整理得，，等式兩邊同時(shí)平方，整理得，，解得，，∴或，則對應(yīng)的或，∵，∴，∴的長為．11．閱讀材料，解決問題：配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，并在此基礎(chǔ)上得出了一元二次方程的求根公式．其實(shí)配方法還有很多重要的應(yīng)用，例如我們可以用配方法求函數(shù)的最值以及取得最值的條件，見下面的例子：例：求函數(shù)的最大值以及取得最大值的條件．解答過程如下：解：∵，∴，∴，即．∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值，且最大值為．仿照上面的方法，請你解決下面的問題：(1)已知函數(shù)，當(dāng)________時(shí)，函數(shù)有最________值（填“大”或“小”），其最值為________．(2)如圖，在中，，高，內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)、在上，、分別在、上，設(shè)，矩形的面積為，求：①關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②矩形的面積的最大值．【答案】(1)；?。?2)①；②【分析】（1）根據(jù)所給的例題，應(yīng)用配方法即可求出的最值；（2）①證明，根據(jù)相似三角形的相比等于高的比，可得，分別求出，，即可求矩形的面積的函數(shù)表達(dá)式；②根據(jù)所給的例題，應(yīng)用配方法即可求出矩形的面積的最大值．【詳解】（1）解：，∵，∴，即，∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值，其最小值為，故答案為：；?。?；（2）解：①設(shè)交于，∵四邊形是矩形，，∴，，∴四邊形為矩形，∴，，即，∴，∴，即，∵，，，∴，即，∴，∵，∴，∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；②由①知：，∵，∴，∴，即，∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值，其最大值為，∴矩形的面積的最大值為．1．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二元一次方程組，一元一次不等式求解，根據(jù)題意，把a(bǔ)看作已知數(shù)表示出方程組的解，代入已知不等式求出a的范圍即可．【詳解】解：，得：，整理得：，∵，∴，解得故選：D．2．定義：可化為其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都為，另一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)倒反方程組”．如．(1)若關(guān)于的方程組是“相關(guān)倒反方程組”，則，．(2)若關(guān)于的方程組可化為“相關(guān)倒反方程組”，求該方程組的解．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根據(jù)“相關(guān)倒反方程組”的定義即可求解；（2）先把化為“相關(guān)倒反方程組”，根據(jù)“相關(guān)倒反方程組”的定義求出的值，然后解二元一次方程組即可；本題考查了二元一次方程組的解法及新定義，理解新定義，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：若關(guān)于的方程組是“相關(guān)倒反方程組”，則，，故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意得：原方程組化為“相關(guān)倒反方程組”是，所以，，所以，，所以原方程組為，解得．3．某中學(xué)組織師生共人去參觀博物院．閱讀下列對話：李老師：“客運(yùn)公司有座和座兩種型號的客車可供租用，且租用輛座客車和輛座客車到河南省博物院，一天的租金共計(jì)元．”小明說：“我們學(xué)校八年級師生昨天在這個(gè)客運(yùn)公司租了輛座和輛座的客車到河南省博物院，一天的租金共計(jì)元．”(1)客運(yùn)公司座和座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（利用二元一次方程組求解）(2)若同時(shí)租用兩種或一種客車，要使每位師生都有座位；且每輛客車恰好坐滿，若使用最省錢的租車方式，則租車費(fèi)用為元．【答案】(1)座客車每輛每天的租金為元，座客車每輛每天的租金為元(2)【分析】此題主要考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．（1）設(shè)座客車每輛每天的租金為元，座客車每輛每天的租金為元，根據(jù)題意列出方程組即可求解；（2）設(shè)租輛座客車，輛座客車，則，根據(jù)，都是非負(fù)整數(shù)，即可得到租金的值，進(jìn)相比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)座客車每輛每天的租金為元，座客車每輛每天的租金為元，根據(jù)題意得：，解得：，答：座客車每輛每天的租金為元，座客車每輛每天的租金為元；（2）解：設(shè)租輛座客車，輛座客車，根據(jù)題意得：，，，都是非負(fù)整數(shù)，，，，租金為，當(dāng)時(shí)，（元；當(dāng)時(shí)，（元；當(dāng)時(shí)，（元；有三種方案，其中座客車租8輛時(shí)最省錢，為元，故答案為：．4．下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：①，得．③…（第一步）②③，得，解得，…（第二步）將代入①，得…（第三步）所以原方程組的解為…（第四步）(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做______法，以上求解步驟中，馬小虎同學(xué)從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)請寫出此題正確的解答過程．【答案】(1)加減消元法，第二步(2)見解析【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握方程組的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解方程組的特點(diǎn)判斷，注意系數(shù)化為1時(shí)的計(jì)算．（2）按照解方程組的步驟求解即可【詳解】（1）解：根據(jù)解題步驟分析，這種求解方程組的方法是加減消元法，在第二步合并同類項(xiàng)出錯(cuò)，故答案為：加減消元法，第二步．（2）解：方程組：解：①，得……③

，②③，得，解得．

將代入①，得3．解得x=．所以，原方程組的解為．5．今年的3月12日植樹節(jié)當(dāng)天，某學(xué)校組織了該校八年級學(xué)生參加“用勞動創(chuàng)造美，讓校園更綠色”的主題教育活動．本次主題教育活動學(xué)校購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹樹苗，已知購買的桃樹和梨樹的樹苗分別花費(fèi)了210元和180元，且已知購買的桃樹樹苗單價(jià)比梨樹的樹苗單價(jià)多5元，請根據(jù)題目的相關(guān)信息，提出一個(gè)可以用分式方程求解的問題，并進(jìn)行解答．【答案】問題：桃樹樹苗的單價(jià)是多少？桃樹樹苗的單價(jià)為35元【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，問題：桃樹樹苗的單價(jià)是多少？設(shè)桃樹樹苗的單價(jià)為x元，則梨樹樹苗的單價(jià)為元，由題意：購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹樹苗，已知購買的桃樹和梨樹的樹苗分別花費(fèi)了210元和180元，列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：問題：桃樹樹苗的單價(jià)是多少？設(shè)桃樹樹苗的單價(jià)為x元，則梨樹樹苗的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意，答：桃樹樹苗的單價(jià)為35元．6．下面是學(xué)習(xí)分式方程的應(yīng)用時(shí)，老師板書的問題和兩名同學(xué)所列的方程．一艘輪船在靜水中的最大航速為，它以最大航速沿江順流航行所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？甲：乙：根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)甲同學(xué)所列方程中的表示________________；乙同學(xué)所列方程中的表示________________．(2)兩個(gè)方程中任選一個(gè)，解方程并回答老師提出的問題．【答案】(1)江水的流速；輪船以最大航速沿江順流航行所用時(shí)間（或輪船以最大航速逆流航行所用時(shí)間）(2)解方程見解析，江水的流速為；【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中等量關(guān)系，然后列出方程．（1）根據(jù)“最大航速沿江順流航行|所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行所用時(shí)間相等”，建立方程，故甲方程未知數(shù)為：江水的流速，乙方程未知數(shù)為輪船以最大航速沿江順流航行所用時(shí)間（或輪船以最大航速逆流航行所用時(shí)間）；（2）對分式方程進(jìn)行求解，檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：根據(jù)“所用時(shí)間相等”，建立的方程，故，等式的左邊和右邊均表示所用的時(shí)間，則和分別表示“最大航速”順流航行和“最大航速”逆流航行，故未知