2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.設(shè)總體X的分布未知，但已知其期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2（σ>0）。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則由大數(shù)定律可知，下列說法正確的是（）。A.nX?→μ(a.s.)B.n(X?-μ)→σ2(a.s.)C.X?→μ(a.s.)D.X?→μ(P)2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則μ的以下估計量中，不是無偏估計量的是（）。A.X?=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?B.X?+σC.(n-1)S2/σ2（其中S2是樣本方差）D.max{X?,...,Xn}3.設(shè)總體X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2。X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，X?為其樣本均值。若g(X)是X的一個函數(shù)，且E(g(X))存在，則由大數(shù)定律知，下列說法正確的是（）。A.n(g(X?)-E(g(X)))→0(a.s.)B.n(g(X?)-E(g(X)))2→Var(g(X))(a.s.)C.(g(X?)-E(g(X)))2→Var(g(X))(a.s.)D.n(g(X?)-E(g(X)))→Var(g(X))(a.s.)4.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則θ的極大似然估計量是（）。A.(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?B.max{X?,...,Xn}C.min{X?,...,Xn}D.(n+1)/Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ和σ2均未知。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則μ/σ的分布是（）。A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ2(n-1)D.F(n-1,1)二、計算題（本大題共4小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）6.（10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θ*e^(-θx),x>0,θ>0。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本。（1）求θ的矩估計量；（2）求θ的最大似然估計量。7.（15分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)。從總體中抽取一個容量為25的簡單隨機樣本，樣本均值為x?=10.5。（1）求μ的95%置信區(qū)間（已知標準正態(tài)分布0.975分位點為1.96）；（2）若要使μ的95%置信區(qū)間的長度不超過1，應(yīng)抽取多大容量的樣本？8.（15分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ和σ2均未知。從總體中抽取一個容量為16的簡單隨機樣本，樣本均值為x?=20，樣本方差s2=10。檢驗假設(shè)H?:μ=18vsH?:μ≠18。取檢驗水平α=0.05。（已知t(15)的0.975分位點是2.131）9.（15分）設(shè)總體X的概率分布如下表所示：|X|-1|0|1||------|----|---|---||P(X)|p|1/2|1-2p|其中p∈(0,1/2)。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本。（1）求p的矩估計量；（2）求p的最大似然估計量。三、證明題（本大題共2小題，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）10.（15分）設(shè)總體X的期望E(X)=μ存在，方差D(X)=σ2（σ>0）也存在。X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，X?=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?為樣本均值。證明：對于任意常數(shù)c?,c?,...,cn，使得c?+c?+...+cn=1，有Var(c?X?+c?X?+...+cnXn)=c?2Var(X?)+c?2Var(X?)+...+cn2Var(Xn)。11.（15分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。若X?,X?,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，證明：θ的極大似然估計量θ?=-n/(Σ?<0xE2><0x82><0x99>logX?)是θ的一致估計量。試卷答案一、選擇題1.C2.D3.A4.D5.B二、計算題6.（1）E(X)=θ^(-1)。令E(X)=μ?=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?，得θ?_M=1/μ?。（2）似然函數(shù)L(θ)=θ^n*Π?<0xE2><0x82><0x99>(e^(-θX?))=θ^n*e^(-θΣ?<0xE2><0x82><0x99>X?)。對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ-θΣ?<0xE2><0x82><0x99>X?。求導(dǎo)得d(lnL)/dθ=n/θ-Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?。令其為0，得θ?_MLE=n/Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?=1/μ?。7.（1）σ未知，用t分布。置信度為95%，自由度df=25-1=24。t(24,0.975)=2.131。置信區(qū)間為(μ?-t(α/2,df)*s/√n,μ?+t(α/2,df)*s/√n)=(10.5-2.131*√10/5,10.5+2.131*√10/5)=(9.549,11.451)。（2）置信區(qū)間長度為2*t(α/2,df)*s/√n≤1。n≥(2*t(α/2,df)*s/1)2=(2*2.131*√10/1)2≈179.84。應(yīng)取n≥180。8.檢驗統(tǒng)計量T=(X?-μ?)*√n/S=(20-18)*√16/√10=2*4/√10=8/√10≈2.529。拒絕域為|T|>t(15,α/2)=t(15,0.025)=2.131。因為|2.529|≈2.529<2.131，所以不拒絕原假設(shè)H?。9.（1）E(X)=(-1)*p+0*(1/2)+1*(1-2p)=1-3p。令E(X)=μ?=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?，得1-3p=μ?。p?_M=(1-μ?)/3。（2）似然函數(shù)L(p)=p^n*(1/2)^n*[1-2p]^n。對數(shù)似然函數(shù)lnL(p)=nlnp+nln(1/2)+nln(1-2p)。求導(dǎo)得d(lnL)/dp=n/p+n*(-2)/(1-2p)。令其為0，得n/p=2n/(1-2p)，即1-2p=2p，得p=1/3。因為p∈(0,1/2)，p?_MLE=1/3。三、證明題10.證法一：Var(c?X?+...+cnXn)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2Var(X?)+2Σ?<0xE2><0x82><0x99>Σ<0xE1><0xB5><0xA8>≠?c?c<0xE1><0xB5><0xA8>Cov(X?,X<0xE1><0xB5><0xA8>)。因為X?,...,Xn是獨立同分布樣本，Var(X?)=σ2，Cov(X?,X<0xE1><0xB5><0xA8>)=0(i≠j)。又因為c?+...+cn=1，對c?,...,cn求和，有Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2=(Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?)2-2Σ?<0xE2><0x82><0x99>Σ<0xE1><0xB5><0xA8>≠?c?c<0xE1><0xB5><0xA8>=12-2*0=1。故Var(c?X?+...+cnXn)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2σ2=σ2。證法二：因為Var(a+b)=Var(a)+Var(b)+2Cov(a,b)，且Var(a)≥0,Cov(a,b)2≤Var(a)Var(b)。令a=Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?X?，b=Σ<0xE1><0xB5><0xA8>≠?c<0xE1><0xB5><0xA8>X<0xE1><0xB5><0xA8>。則Var(a)=σ2Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2，Var(b)=σ2Σ<0xE1><0xB5><0xA8>≠?c<0xE1><0xB5><0xA8>2=σ2(1-Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2)=σ2(1-1)=0。Cov(a,b)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?Cov(X?,Σ<0xE1><0xB5><0xA8>≠?c<0xE1><0xB5><0xA8>X<0xE1><0xB5><0xA8>)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?*0=0。所以Var(a+b)=Var(a)+Var(b)=σ2Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2=σ2Σ?<0xE2><0x82><0x99>c?2=σ2。11.證：對于任意的ε>0，p?_MLE=-n/(Σ?<0xE2><0x82><0x99>logX?)。因為X∈(0,1)，所以logX∈(-∞,0)。故Σ?<0xE2><0x82><0x99>logX?<0。令M=-Σ?<0xE2><0x82><0x99>logX?，則M>0。θ?_MLE=n/M。要證θ?_MLE→θ(a.s.)，即證n/M→θ(a.s.)。因為X~f(x;θ)，E(logX)=∫?1logxθx^(θ-1)dx=θ*[x^(θ)/(θ+1)]?1=θ*(0-1/(θ+1))=-θ/(θ+1)。令Y=logX，則Y~g(y;θ)，g(y)=θ*e^(-θy)/(1+θe^(-y))(y∈(-∞,0))。E(Y)=-θ/(θ+1)。由強大數(shù)定律，(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>logX?→E(lo