2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在血液病研究中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某血液系統(tǒng)的細胞總數(shù)變化服從以下微分方程模型：$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)-dN$$其中，$N(t)$為$t$時刻的細胞總數(shù)，$r$為內(nèi)源性生長速率，$K$為環(huán)境容量（或飽和細胞數(shù)），$d$為外源性死亡或清除速率。該模型是Logistic增長模型與死亡率的結(jié)合。1.解釋模型中各參數(shù)$r,K,d$的生物學(xué)意義。2.求解該微分方程，確定細胞總數(shù)$N(t)$隨時間$t$的變化規(guī)律。假設(shè)初始時刻$t=0$時，細胞總數(shù)為$N_0$。3.分析當(dāng)$d=0$（無外源性死亡或清除）時，模型的行為與當(dāng)$d\neq0$時相比有何主要不同？請從數(shù)學(xué)表達和生物學(xué)意義兩個角度進行闡述。二、某項研究旨在評估一種新型化療藥物對急性淋巴細胞白血?。ˋLL）患者的治療效果。研究人員隨機選取了100名確診的ALL患者，將他們隨機分為兩組，每組50人。組A接受標準治療，組B接受標準治療聯(lián)合新型化療藥物。經(jīng)過6個月的追蹤觀察，記錄了兩組患者完全緩解（CR）的情況。數(shù)據(jù)如下：組A：有32名患者達到完全緩解。組B：有45名患者達到完全緩解。假設(shè)兩組患者的基線特征相似，且緩解與否可以近似視為一個伯努利試驗的結(jié)果。使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗新型化療藥物是否顯著提高了完全緩解率。請寫出你的檢驗思路，包括零假設(shè)和備擇假設(shè)、所使用的統(tǒng)計量、以及得出結(jié)論的依據(jù)（提示：考慮使用假設(shè)檢驗或置信區(qū)間等方法，無需具體計算）。三、在白血病細胞的基因組測序中，研究人員獲得了一組基因表達數(shù)據(jù)。為探究不同類型白血?。ㄈ鏏型、B型）細胞在基因表達譜上的差異，研究人員對100個樣本（其中50個來自A型，50個來自B型）的1000個基因的表達量進行了分析。數(shù)據(jù)以矩陣形式給出，其中行代表基因，列代表樣本。由于基因數(shù)量眾多，研究者首先使用主成分分析（PCA）方法對數(shù)據(jù)進行處理，以期發(fā)現(xiàn)主要的變異模式并降低維度。1.簡述主成分分析（PCA）的基本思想及其在處理此類高維基因表達數(shù)據(jù)中的作用。2.假設(shè)通過PCA分析，前兩個主成分（PC1和PC2）共解釋了總變異的85%。請解釋這組結(jié)果意味著什么？對于后續(xù)的聚類分析或分類研究，這會帶來什么便利？3.如果研究者進一步發(fā)現(xiàn)，PC1在A型細胞樣本中平均得分顯著高于B型細胞樣本，而PC2的得分在兩種類型樣本中沒有顯著差異。請結(jié)合PCA的原理，嘗試解釋這可能與哪些基因的表達模式差異有關(guān)。四、考慮一個簡化的血液凝固模型，其中涉及兩種關(guān)鍵分子：因子X（X）和凝血酶原（Pro）。因子X被轉(zhuǎn)化為活躍的凝血酶（T），凝血酶再催化凝血酶原轉(zhuǎn)化為凝血酶（T）。假設(shè)這兩個轉(zhuǎn)化步驟是一級反應(yīng)，速率常數(shù)分別為$k_1$和$k_2$。系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，X和Pro的轉(zhuǎn)化接近平衡。請建立描述該穩(wěn)態(tài)下因子X、凝血酶原和凝血酶濃度變化的數(shù)學(xué)模型。1.寫出該系統(tǒng)的微分方程組（假設(shè)初始反應(yīng)較快，系統(tǒng)快速達到穩(wěn)態(tài)，關(guān)注穩(wěn)態(tài)濃度）。2.推導(dǎo)出穩(wěn)態(tài)時各物質(zhì)濃度（$[X]_{ss}$,$[Pro]_{ss}$,$[T]_{ss}$）的表達式（用$k_1,k_2$以及初始濃度表示）。3.分析參數(shù)$k_1$和$k_2$對穩(wěn)態(tài)凝血酶濃度$[T]_{ss}$的影響。這個模型如何可以用于理解或預(yù)測血液凝固的調(diào)控機制？五、設(shè)想一種血液疾病的發(fā)生與發(fā)展可以用一個包含潛伏期、顯癥期和晚期三個階段的隨機過程來描述。個體在潛伏期后以概率$p_1$進入顯癥期，在顯癥期以概率$p_2$進入晚期，或在概率$p_3$下恢復(fù)（或消失）。在晚期，個體保持為晚期狀態(tài)。假設(shè)初始時刻所有個體都處于潛伏期。1.用馬爾可夫鏈的概念描述這個模型，明確狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣$P$。2.計算該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布$\pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2)$，其中$\pi_i$表示系統(tǒng)最終處于第$i$個狀態(tài)（潛伏期、顯癥期、晚期）的概率。請解釋平穩(wěn)分布的生物學(xué)意義。3.如果研究觀察到實際數(shù)據(jù)中，顯癥期和晚期個體的比例遠高于模型基于$p_1,p_2,p_3$預(yù)測的比例，這可能意味著模型需要哪些改進？請?zhí)岢鲋辽賰煞N可能的改進思路，并簡要說明其理由。試卷答案一、1.生物學(xué)意義：*$r$：細胞在理想無限制條件下的最大內(nèi)源性增長速率。*$K$：環(huán)境資源或空間有限時，細胞總數(shù)能穩(wěn)定達到的最大值，代表環(huán)境的承載能力。*$d$：單位時間內(nèi)因疾病、藥物、免疫等因素導(dǎo)致細胞死亡或被清除的速率。2.求解：$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)-dN=rN\left(1-\frac{N+d}{K+d}\right)$$令$N'=N+d$，則$dN'=d\frac{dN}{dt}$，代入得：$$\frac{1}8mcsii4\frac{dN'}{dt}=r\frac{N'}{K+d}\left(1-\frac{N'}{K+2d}\right)$$分離變量并積分：$$\int\frac{K+2d}{rN'(K+2d)-rN'}\,dN'=\int\frac{1}w224s4o\,dt$$$$\int\frac{K+2d}{rN'((K+d)-N')}\,dN'=\int\frac{1}msomey2\,dt$$令$u=(K+d)-N'$，則$du=-dN'$，積分變?yōu)椋?$-\frac{1}{r}\int\frac{K+2d}{u(-u)}\,du=\int\frac{1}souaauw\,dt$$$$\frac{1}{r}\int\frac{K+2d}{u^2}\,du=-\int\frac{1}0gaoesa\,dt$$$$-\frac{K+2d}{ru}=-\frac{t}o2qm2o2+C$$$$\frac{K+2d}{ru}=\frac{t}cu8aa4g-C$$$$\frac{1}{N+d}=\frac{rt}{r(K+2d)}-\frac{C}{r(K+2d)}$$$$\frac{1}{N+d}=\frac{t}{K+2d}-\frac{C'}{K+2d}\quad(C'=C/r)$$$$N+d=\frac{K+2d}{t+C''(K+2d)}\quad(C''=C'/r)$$$$N=\frac{K+2d}{t+C''(K+2d)}-d$$$$N=\frac{K-d}{t+C''(K+2d)}$$初始條件$N(0)=N_0$：$$N_0=\frac{K-d}{C''(K+2d)}$$$$C''=\frac{K-d}{N_0(K+2d)}$$代入得最終解：$$N(t)=\frac{K-d}{1+\frac{t(K-d)}{N_0(K+2d)}}=\frac{K-d}{\frac{N_0(K+2d)}{N_0(K+2d)}+\frac{t(K-d)}{N_0(K+2d)}}$$$$N(t)=\frac{(K-d)N_0(K+2d)}{N_0(K+2d)+t(K-d)}$$$$N(t)=\frac{N_0(K+2d)}{1+\frac{t(K-d)}{N_0(K+2d)}}$$或更簡潔形式：$$N(t)=\frac{K-d}{1+\frac{d(K-d)}{N_0r}e^{-rt}}$$3.分析：*數(shù)學(xué)表達：當(dāng)$d=0$時，解為$N(t)=\frac{K}{1+(K/N_0-1)e^{-rt}}$，呈現(xiàn)典型的Logistic增長曲線。當(dāng)$d\neq0$時，解為$N(t)=\frac{K-d}{1+\frac{d(K-d)}{N_0r}e^{-rt}}$，其增長曲線在達到最大值$K-d$時會更快達到平臺期，且初始增長速率受$d$影響。*生物學(xué)意義：$d=0$表示細胞僅受內(nèi)源性增長和理想環(huán)境容量的限制，種群數(shù)量緩慢增長至環(huán)境容量$K$。$d\neq0$表示除了增長和飽和限制外，還存在持續(xù)的外源性死亡或清除因素（如藥物毒性、疾病消耗），這會抑制種群的增長，使其最終穩(wěn)定在低于$K$的水平$K-d$，且增長過程更快地受到抑制。二、檢驗思路：1.零假設(shè)$H_0$：兩組患者的完全緩解率相同，即$p_A=p_B$。2.備擇假設(shè)$H_1$：兩組患者的完全緩解率不同，即$p_A\neqp_B$。3.統(tǒng)計量選擇：由于樣本量較大（$n_A=n_B=50$），且關(guān)心比例差異，可以使用基于正態(tài)近似的方法（如$Z$檢驗）或精確的卡方檢驗。這里采用$Z$檢驗思路描述。4.計算（概念性）：*樣本比例：$\hat{p}_A=32/50=0.64$，$\hat{p}_B=45/50=0.90$。*檢驗統(tǒng)計量$Z$的計算公式（基于$H_0:p_A=p_B=p$）：$$\hat{p}=\frac{x_A+x_B}{n_A+n_B}=\frac{32+45}{50+50}=0.775$$$$Z=\frac{\hat{p}_A-\hat{p}_B}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right)}}=\frac{0.64-0.90}{\sqrt{0.775(1-0.775)\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}\right)}}$$*計算標準誤和$Z$值。5.結(jié)論依據(jù)：將計算得到的$Z$值與標準正態(tài)分布的臨界值（如對于雙尾檢驗，顯著性水平$\alpha=0.05$時，臨界值為$\pm1.96$）進行比較。如果$|Z|>1.96$，則拒絕$H_0$，認為兩組緩解率有顯著差異；如果$|Z|\leq1.96$，則不能拒絕$H_0$，認為證據(jù)不足以表明兩組緩解率有顯著差異。根據(jù)計算出的$Z$值的大小和方向，判斷新型藥物的效果是否顯著提高緩解率。三、1.基本思想與作用：PCA通過線性變換將原始的高維數(shù)據(jù)投影到新的低維子空間，使得投影后的數(shù)據(jù)在新坐標系下具有最大的方差。作用在于：1)降低數(shù)據(jù)維度，減少計算復(fù)雜度和過擬合風(fēng)險；2)揭示數(shù)據(jù)中的主要變異方向，發(fā)現(xiàn)潛在的共同因素或結(jié)構(gòu)；3)去除噪聲和冗余信息，使數(shù)據(jù)更易于可視化和后續(xù)分析。2.結(jié)果含義與便利：85%的總變異被前兩個主成分解釋，意味著PC1和PC2抓住了這1000個基因表達數(shù)據(jù)中絕大部分重要信息的變化模式。這極大地簡化了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使得后續(xù)的分析（如聚類、分類）可以在二維空間中進行，更直觀地展示不同樣本（如A型與B型細胞）之間的差異和相似性，提高了分析效率。3.基因模式解釋：PC1在A型細胞中得分高，B型細胞中得分低，表明與PC1相關(guān)的基因表達模式在A、B型細胞間存在顯著差異，且這種差異構(gòu)成了數(shù)據(jù)中最主要的變異來源。結(jié)合PC1可能代表了A、B型細胞在基礎(chǔ)代謝、增殖調(diào)控或特定信號通路等方面的整體差異。PC2沒有顯著差異，可能反映了細胞間在這些主要變異方向之外的次要變異，或者這些變異在當(dāng)前數(shù)據(jù)集中不顯著。具體哪些基因貢獻較大，需要進一步進行載荷分析（loadingsanalysis）來確定與PC1和PC2關(guān)聯(lián)最強的基因。四、1.微分方程組：*$\frac{d[X]}{dt}=-k_1[X]$*$\frac{d[\Pro]}{dt}=-k_2[T][X]-k_1[\Pro]$（Pro被T轉(zhuǎn)化或自身降解）*$\frac{d[T]}{dt}=k_2[T][X]$（T由Pro轉(zhuǎn)化而來）（假設(shè)初始反應(yīng)快，系統(tǒng)快速達到穩(wěn)態(tài)，故忽略初始瞬態(tài)方程）2.穩(wěn)態(tài)濃度推導(dǎo)：*穩(wěn)態(tài)：$\frac{d[X]}{dt}=0\Rightarrow[X]_{ss}=[X]_0$（假設(shè)初始X濃度[X]0）*穩(wěn)態(tài)：$\frac{d[\Pro]}{dt}=0\Rightarrowk_2[T]_{ss}[X]_{ss}+k_1[\Pro]_{ss}=0\Rightarrow[Pro]_{ss}=-\frac{k_2[T]_{ss}[X]_{ss}}{k_1}$*穩(wěn)態(tài)：$\frac{d[T]}{dt}=0\Rightarrowk_2[T]_{ss}[X]_{ss}=0$從最后一個方程，如果$k_2,[X]_{ss}\neq0$，則必有$[T]_{ss}=0$。但這與疾病發(fā)生矛盾，故假設(shè)轉(zhuǎn)化速率不為零，需修正。更合理的假設(shè)是反應(yīng)平衡或快速平衡，即凈轉(zhuǎn)化速率近似零。因此，Pro的穩(wěn)態(tài)濃度應(yīng)為：$$[Pro]_{ss}=[Pro]_0-[T]_{ss}$$（假設(shè)初始Pro濃度[Pro]0）結(jié)合前面，穩(wěn)態(tài)時$-k_1[Pro]_{ss}=k_2[T]_{ss}[X]_{ss}$，代入$[Pro]_{ss}$：$$-k_1([Pro]_0-[T]_{ss})=k_2[T]_{ss}[X]_{ss}$$$$[T]_{ss}=\frac{k_1[Pro]_0}{k_1[X]_{ss}+k_2[Pro]_{ss}}=\frac{k_1[Pro]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0-k_2[T]_{ss}}$$解得：$$[T]_{ss}=\frac{k_1[Pro]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0}$$代入$[Pro]_{ss}$表達式：$$[Pro]_{ss}=[Pro]_0-\frac{k_1[Pro]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0}=\frac{k_2[Pro]_0[X]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0}$$代入$[X]_{ss}=[X]_0$：$$[Pro]_{ss}=\frac{k_2[Pro]_0[X]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0}$$$$[X]_{ss}=[X]_0$$3.參數(shù)影響與調(diào)控機制：穩(wěn)態(tài)凝血酶濃度$[T]_{ss}=\frac{k_1[Pro]_0}{k_1[X]_0+k_2[Pro]_0}$。*$[X]_{ss}$：穩(wěn)態(tài)X濃度越高，$[T]_{ss}$越高。X是T的前體，其濃度直接影響T的生成速率。*$[Pro]_{ss}$：穩(wěn)態(tài)Pro濃度越高，$[T]_{ss}$越高。Pro是T的另一個前體，其濃度同樣影響T的生成。*$k_2$：T生成速率常數(shù)。$k_2$越大，$[T]_{ss}$越高。這反映了轉(zhuǎn)化效率，$k_2$調(diào)控了X和Pro轉(zhuǎn)化為T的速度。模型可以用于：1)預(yù)測在給定X和Pro濃度下，穩(wěn)態(tài)T的濃度；2)評估抑制X生成（如使用藥物）或抑制轉(zhuǎn)化過程（如使用抑制劑）對凝血酶水平的影響；3)理解X和Pro濃度如何共同調(diào)控凝血酶的穩(wěn)態(tài)水平，以及轉(zhuǎn)化效率$k_2$在其中的關(guān)鍵作用。五、1.馬爾可夫鏈描述：*狀態(tài)空間：$E=\{0,1,2\}$，分別代表潛伏期、顯癥期、晚期。*轉(zhuǎn)移概率矩陣$P$：$$P=\begin{pmatrix}1-p_1&p_1&0\\p_3&1-p_1-p_3&p_1\\0&0&1\end{pmatrix}$$其中，$p_1$是潛伏期到顯癥期的轉(zhuǎn)移概率，$p_3$是顯癥期到恢復(fù)/消失的概率，$(1-p_1)$是潛伏期保持為潛伏期的概率，$p_1$是顯癥期到晚期的概率，$(1-p_1-p_3)$是顯癥期保持為顯癥期的概率，$1$是晚期保持為晚期的概率。2.平穩(wěn)分布計算與意義：平穩(wěn)分布$\pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2)$滿足$\piP=\pi$且$\pi_0+\pi_1+\pi_2=1$。$$\pi_0(1-p_1)+\pi_1p_3=\pi_0$$$$\pi_1(1-p_1-p_3)+\pi_0p_1=\pi_1$$$$\pi_2p_1+\pi_1(1-p_1-p_3)=\pi_2$$$$\pi_0+\pi_1+\pi_2=1$$從第一式：$\pi_0p_1=\pi_1p_3$。從第二式：$\pi_0p_1=\pi_1p_1