2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——時間序列分析與預測考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.一個時間序列{X_t}，若其均值為常數，方差也為常數，且任意兩個時刻t和s的協(xié)方差僅依賴于時間差k=|t-s|，則稱該序列（）。A.是白噪聲序列B.是寬平穩(wěn)序列C.是自回歸序列D.是移動平均序列2.對于一個非平穩(wěn)的時間序列數據，若其一階差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則通常認為該序列（）。A.存在趨勢性B.存在季節(jié)性C.平方后可能平穩(wěn)D.一定是白噪聲3.在自回歸模型AR(p)中，其自相關函數（ACF）（）。A.拖尾，PACF截尾B.截尾，PACF拖尾C.拖尾，PACF也拖尾D.截尾，PACF也截尾4.移動平均模型MA(q)的自相關函數（ACF）（）。A.拖尾，PACF截尾B.截尾，PACF拖尾C.拖尾，PACF也拖尾D.截尾，PACF也截尾5.在ARIMA(p,d,q)模型中，參數d代表（）。A.模型的自回歸階數B.模型的移動平均階數C.對序列進行差分的次數D.模型的季節(jié)性周期長度二、填空題（每空3分，共18分）1.時間序列分析主要研究的是按__________順序排列的數據，目的是揭示數據的變化規(guī)律并進行__________。2.自相關函數（ACF）衡量的是時間序列與其自身在不同滯后間隔上的__________。3.偏自相關函數（PACF）衡量的是在排除了中間滯后項的影響后，時間序列與其自身在特定滯后間隔上的__________。4.對于一個平穩(wěn)時間序列{X_t}，其自協(xié)方差函數γ(k)滿足γ(0)為最大值，且當k趨向于無窮大時，γ(k)趨向于__________。5.指數平滑法中，Holt模型也稱為__________模型，它同時考慮了水平趨勢項。6.在使用ARIMA模型進行擬合時，選擇模型階數(p,d,q)通常需要依據__________圖和__________圖的信息，并結合__________準則。三、計算題（共27分）1.（12分）給定一個時間序列{X_t}的觀測值為：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30。計算該序列的一階差分序列{ΔX_t}和二階差分序列{Δ2X_t}的均值、方差，并判斷原序列是否為平穩(wěn)序列。（假設該序列為隨機序列，不考慮其他因素）2.（15分）假設某個平穩(wěn)時間序列{Y_t}服從AR(2)模型：Y_t=φ?Y_(t-1)+φ?Y_(t-2)+ε_t，其中ε_t是均值為0，方差為σ2的白噪聲。已知φ?=0.5,φ?=-0.3。請推導Y_(t+1)關于Y_t和Y_(t-1)的表達式，并計算Y_(t+1)的均值和方差。（假設Y_0=Y_(-1)=0）四、分析題（共22分）1.（10分）某研究者繪制了一個時間序列{Z_t}的自相關函數（ACF）圖，發(fā)現ACF從第一個滯后開始緩慢衰減，PACF在第一個滯后處顯著不為零，之后迅速衰減至零。請根據此ACF和PACF圖的特征，判斷{Z_t}可能適合用哪種（或哪些）ARIMA模型來擬合？并簡要說明理由。2.（12分）一位分析師使用ARIMA(1,1,1)模型擬合了一個月度銷售數據，得到了模型參數，并計算了模型的殘差序列{e_t}。請列舉至少三種常用的殘差分析方法或檢驗，用以判斷該ARIMA(1,1,1)模型是否對數據擬合良好？如果殘差分析結果顯示模型擬合不佳，可能存在哪些問題？該如何修正？（無需進行具體計算）試卷答案一、選擇題1.B2.A3.A4.B5.C二、填空題1.時間；預測2.相關性3.相關性4.零5.Holt線性6.自相關；偏自相關；AIC/BIC/AICc三、計算題1.解：ΔX_t=X_t-X_(t-1)=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3)均值E[ΔX_t]=3方差Var(ΔX_t)=E[(ΔX_t-E[ΔX_t])2]=E[(3-3)2]=0Δ2X_t=ΔX_t-ΔX_(t-1)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)均值E[Δ2X_t]=0方差Var(Δ2X_t)=0原序列的一階差分序列{ΔX_t}為常數序列，其均值不為零（或方差為零），但二階差分序列{Δ2X_t}為零序列，其均值和方差均為零。根據平穩(wěn)性定義（均值和方差為常數，自協(xié)方差僅與滯后時間有關），原序列不是平穩(wěn)序列。（注：此題假設為隨機序列，實際中需先檢驗均值方差是否常數）2.解：Y_(t+1)=φ?Y_t+φ?Y_(t-1)+ε_(t+1)=0.5Y_t-0.3Y_(t-1)+ε_(t+1)均值E[Y_(t+1)]=E[0.5Y_t-0.3Y_(t-1)+ε_(t+1)]=0.5E[Y_t]-0.3E[Y_(t-1)]+E[ε_(t+1)]=0.5*0-0.3*0+0=0方差Var(Y_(t+1))=Var(0.5Y_t-0.3Y_(t-1)+ε_(t+1))=0.52Var(Y_t)+(-0.3)2Var(Y_(t-1))+Var(ε_(t+1))+2*0.5*(-0.3)Cov(Y_t,Y_(t-1))=0.25σ2+0.09σ2+σ2+2*0.5*(-0.3)*0（因Y_t和Y_(t-1)不獨立，Cov(Y_t,Y_(t-1))=σ2*φ?=σ2*0.5）=0.25σ2+0.09σ2+σ2-0.15σ2=(0.25+0.09+1-0.15)σ2=1.19σ2四、分析題1.解：根據描述的ACF圖特征（拖尾，PACF在lag1處顯著，之后截尾），該時間序列{Z_t}適合用AR(1)模型來擬合。理由：ACF拖尾意味著序列存在自相關性，但隨滯后增加而衰減；PACF在lag1處顯著，之后迅速為零，表明序列在lag1上的自相關性不能被更早的滯后所解釋，符合AR(1)模型的特性（ACF拖尾，PACF在lagp處截尾）。2.解：常用的殘差分析方法或檢驗有：(1)殘差序列白噪聲檢驗：如Ljung-BoxQ檢驗，檢驗殘差序列是否為白噪聲（即是否不存在自相關性）。(2)殘差正態(tài)性檢驗：如使用Q-Q圖或正態(tài)分布檢驗（Shapiro-Wilk等），檢驗殘差是否服從正態(tài)分布。(3)殘差均值和方差檢驗：檢驗殘差的均值是否為0，方差是否為常數。如果殘差分析結果顯示模型擬合不佳，可能存在的問題包括：(1)模型階數選擇不當（p,d,q取值錯誤）。(2)模型假設不滿足（如殘差非