/2025菏澤市第二中學高三上學期10月學情檢測數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．設復數(shù)，則A． B． C．3 D．52．與向量反向的單位向量是A． B． C． D．3．已知集合，0，，，2，，以下判斷正確的是A．是的充分條件 B．是的既不充分也不必要條件 C．是的必要條件 D．是的充要條件4．若函數(shù)為自然對數(shù)的底）的一條切線與軸平行，則切點的坐標為A． B． C． D．5．已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，以下判斷正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則6．一個鉛垂做單擺運動時，離開平衡位置的位移關(guān)于時間的函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)關(guān)系滿足，當時，不可能是A． B． C． D．7．將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前三位數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，后三位數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，記，大于100的概率是A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦點為，，過點的直線與雙曲線交于，兩點．若，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．（6分）在某班級的一次測驗后，隨機抽取7名同學的成績作為樣本，這7名同學的成績分別為78，80，81，84，87，88，90，則A．估計這次考試全班成績的平均分為84 B．從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是 C．樣本的分位數(shù)是87 D．當該樣本中加入84形成新樣本時，新樣本方差小于原樣本方差10．（6分）已知曲線，則以下說法正確的是A．點在曲線內(nèi)部 B．曲線關(guān)于原點對稱 C．曲線與坐標軸圍成的面積為 D．曲線的周長是11．（6分）已知函數(shù)和，以下判斷正確的是A．函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有唯一的零點 B．，時， C．，時， D．存在正實數(shù)，當時，對于任意大于1的正實數(shù)，三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．函數(shù)在，上的最小值為．13．在銳角三角形中，，，的對邊分別為，，，若，，，則△的面積為．14．正方體的棱長為2，平面截正方體內(nèi)切球所得的截面面積為．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）已知正四棱柱底面邊長為3，點、分別在直線、上，，．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．16．（15分）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”這二十八字節(jié)氣歌是我國古人智慧的結(jié)晶．某文具店試銷二十四節(jié)氣書簽，每套書簽24張，分別印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張．文具店為促銷進行抽獎活動，凡購買一套二十四節(jié)氣書簽可參加抽獎，抽獎規(guī)則如下：從一套書簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡裝在一個不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外．現(xiàn)從盒中隨機抽出一張卡，若抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換．如此操作不超過4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書簽，否則不獲獎．（1）求只抽3次即獲獎的概率；（2）若促銷的30天中預計有360人參加活動，從數(shù)學期望的角度分析商家準備多套少書簽作為獎品更為合理？17．（15分）已知橢圓的上頂點為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于點，并與圓相切，已知點，直線與橢圓交于點，證明：與相切．18．（17分）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）若數(shù)列滿足，證明：為自然對數(shù)的底）．19．（17分）已知曲線S：sin（x+y）＝cosx+siny，x，y∈R．（1）定義：若對于曲線f（x，y）＝0上任意一點P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到點Q（x+T，y+T′）仍在曲線上，其中T與T′是不同時為0的常數(shù)，則稱曲線f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判斷是否存在向量使曲線S具有周期性，若存在請寫出一個符合要求的向量，若不存在，請說明理由；（2）證明：曲線S是中心對稱圖形；（3）當x∈[0，π]，時，曲線S為一條封閉的曲線，四條直線l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，圍成矩形ABCD，其中θ為銳角，cosθ＝﹣1，證明：曲線S在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上，且過矩形對角線交點的直線平分曲線S圍成的面積．

2025菏澤市第二中學高三上學期10月學情檢測數(shù)學試題參考答案與試題解析題號12345678答案BADBCADA一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．設復數(shù)，則A． B． C．3 D．5解：，則．故選：．2．與向量反向的單位向量是A． B． C． D．解：設與向量反向的單位向量是，則．故答案為：．3．已知集合，0，，，2，，以下判斷正確的是A．是的充分條件 B．是的既不充分也不必要條件 C．是的必要條件 D．是的充要條件解：因為集合，0，，，2，，則，則錯誤；因為，，0，1，2，，則是的充分不必要條件，錯誤；是的充分不必要條件，錯誤；是的充要條件，正確．故選：．4．若函數(shù)為自然對數(shù)的底）的一條切線與軸平行，則切點的坐標為A． B． C． D．解：設切點坐標為，，函數(shù)，所以，因為切線與軸平行，所以，解得，，故切點坐標為．故選：．5．已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，以下判斷正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則解：若，，，則或或與相交，故錯誤；若，，，則或，故錯誤；若，在內(nèi)作，則，又，，又，，得，故正確；若，，，則或與相交或與異面，故錯誤．故選：．6．一個鉛垂做單擺運動時，離開平衡位置的位移關(guān)于時間的函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)關(guān)系滿足，當時，不可能是A． B． C． D．解：由的圖象知，最小正周期，所以，由，則函數(shù)的圖象過，，即，解得，；即，；由得，所以，由，則，解得，；或，；可得，；或，；當時，，當時，，當時，．故選：．7．將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前三位數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，后三位數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，記，大于100的概率是A． B． C． D．解：先求小于100的概率，百位必相鄰，且較大數(shù)的十位小于較小的數(shù)的十位，個位無限制，分兩步：（1）取百位的概率為．（2）取十位，在剩下的4個數(shù)字中取兩數(shù)分配給，作十位，而的十位大于的十位與的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率為，小于100的概率為，大于100的概率是．故選：．8．已知雙曲線的焦點為，，過點的直線與雙曲線交于，兩點．若，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．解：因為雙曲線的焦點坐標為，設雙曲線的方程為，所以，當過點的直線與雙曲線右支交于，兩點如圖所示，由，，設，則，由雙曲線的定義知，所以，，在△中，，，，在△中，，即，解得，，所以雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為：；當過點的直線與雙曲線兩支交于，兩點如圖所示，由，，得，與雙曲線定義不符，故此種情況不成立，綜上，雙曲線的漸近線方程為．故選：．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．（6分）在某班級的一次測驗后，隨機抽取7名同學的成績作為樣本，這7名同學的成績分別為78，80，81，84，87，88，90，則A．估計這次考試全班成績的平均分為84 B．從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是 C．樣本的分位數(shù)是87 D．當該樣本中加入84形成新樣本時，新樣本方差小于原樣本方差解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，全班成績的平均分為，正確；對于，7人成績中，有3人成績大于平均分，則要求概率，正確；對于，，則樣本的分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，即88，錯誤；對于，由于加入的數(shù)據(jù)為84，正好等于7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則加入后，數(shù)據(jù)的波動變小，故新樣本方差小于原樣本方差，正確．故選：．10．（6分）已知曲線，則以下說法正確的是A．點在曲線內(nèi)部 B．曲線關(guān)于原點對稱 C．曲線與坐標軸圍成的面積為 D．曲線的周長是解：當，時，曲線的方程為，即，表示圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，同理，當，時，曲線的方程化為，當，時，曲線的方程化為，當，時，曲線的方程化為，作出曲線，如圖所示，選項：當時，得，即，因，故，故或，因，故點在曲線外部，故錯誤；選項：將換成，將換成，方程不變，故曲線關(guān)于原點對稱，故正確；選項：將將換成，方程不變，故曲線關(guān)于軸對稱，設曲線在第一象限與坐標軸圍成的面積為，則曲線與坐標軸圍成的面積為，當，時，方程，即，其圓心坐標為，半徑為，如圖，當時，得或，故弦長，由，故，則，故，故正確；選項：由題意可知曲線的周長為，故錯誤．故選：．11．（6分）已知函數(shù)和，以下判斷正確的是A．函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有唯一的零點 B．，時， C．，時， D．存在正實數(shù)，當時，對于任意大于1的正實數(shù)，解：因為函數(shù)和，由于，當時，，，則，當時，，故當時，，，則，故必有，使，因此選項正確，選項錯誤．對于任意正數(shù)，當時，，取，當時，對于任意大于1的正實數(shù)，，因此選項正確，而當時，故選項錯誤．故選：．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．函數(shù)在，上的最小值為．解：因為，所以，當，時，，單調(diào)遞增，當，時，，單調(diào)遞減，所以，又因為，，所以函數(shù)在，上的最小值為．故答案為：．13．在銳角三角形中，，，的對邊分別為，，，若，，，則△的面積為．解：在銳角三角形中，，，的對邊分別為，，，若，，，由，可得：，即，即，即，化簡可得：，又，可得：，由，可得，因為，，所以，即，所以銳角三角形為等邊三角形，所以△的面積為．故答案為：．14．正方體的棱長為2，平面截正方體內(nèi)切球所得的截面面積為．解：由題意正方體的棱長為2，正方體的中心是內(nèi)切球球心，設為，到平面的距離為，設到平面的距離為，因為，所以，所以，所以，正方體內(nèi)切球半徑，正方體內(nèi)切球被平面截球面所得的截面是一個圓半徑為的圓，所以，所以圓的面積為．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）已知正四棱柱底面邊長為3，點、分別在直線、上，，．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：，因為，所以，所以，平面，平面，所以平面；（2）解：以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則三棱錐的體積，解得，則，設平面的法向量為，則，取，則，，則平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值．16．（15分）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”這二十八字節(jié)氣歌是我國古人智慧的結(jié)晶．某文具店試銷二十四節(jié)氣書簽，每套書簽24張，分別印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張．文具店為促銷進行抽獎活動，凡購買一套二十四節(jié)氣書簽可參加抽獎，抽獎規(guī)則如下：從一套書簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡裝在一個不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外．現(xiàn)從盒中隨機抽出一張卡，若抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換．如此操作不超過4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書簽，否則不獲獎．（1）求只抽3次即獲獎的概率；（2）若促銷的30天中預計有360人參加活動，從數(shù)學期望的角度分析商家準備多套少書簽作為獎品更為合理？解：（1）設事件可取1，2，3，表示第次抽到春季卡，可取1，2，3，表示第次抽到夏季卡，事件表示抽3次即獲獎，則，（C），所以．（2）設事件表示獲獎，則，且，，，為互斥事件，（D），由（1），，，，又因為參加抽獎是否獲獎相互獨立，用隨機變量表示參加活動獲獎的人數(shù)，若促銷的30天中預計有360人參加活動，則，所以，即估計獲獎人數(shù)的平均值為30，又因為獲獎后每人獲得2套二十四節(jié)氣書簽，，所以商家準備60套書簽作為獎品較為合理．17．（15分）已知橢圓的上頂點為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于點，并與圓相切，已知點，直線與橢圓交于點，證明：與相切．解：（1）設橢圓焦距為，若焦點在軸，易知橢圓的長軸長為，短軸長為，因為橢圓的離心率為，所以，因為，所以，，則橢圓的方程為；若焦點在軸，易知橢圓的長軸長為，短軸長為，因為橢圓的離心率為，所以，因為，所以，，則橢圓的方程為，綜上所述，若焦點在軸，橢圓的方程為；若焦點在軸時，橢圓的方程為；（2）證明：若焦點在軸，橢圓的方程為，若直線斜率不存在，此時點在軸上，顯然滿足題意；若直線斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，此時，易知，聯(lián)立，消去并整理得，此時，所以，因為直線與圓相切，所以，直線，此時圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；若焦點在軸，橢圓方程為，若直線斜率不存在，此時在軸上，顯然滿足題意；若直線斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，此時，易知，聯(lián)立，消去并整理得，此時，所以，因為直線與圓相切，所以，直線，此時圓心到直線的距離，所以直線與圓不相切，綜上所述，當橢圓的焦點在軸上時，直線與圓相切；焦點在軸上時且直線斜率存在時，直線與圓不相切．18．（17分）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）若數(shù)列滿足，證明：為自然對數(shù)的底）．【解答】（1）解：設等差數(shù)列公差為，，，，成等比數(shù)列，，即，解得或（舍去），數(shù)列的通項公式；（2）證明：設，當時，，單調(diào)遞減，（1），，由（1）可知，則有，不等式恒立．（3）證明：，要證，只需證，由（2）可知（當且僅當時等號成立），又，，，則，．19．（17分）已知曲線S：sin（x+y）＝cosx+siny，x，y∈R．（1）定義：若對于曲線f（x，y）＝0上任意一點P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到點Q（x+T，y+T′）仍在曲線上，其中T與T′是不同時為0的常數(shù)，則稱曲線f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判斷是否存在向量使曲線S具有周期性，若存在請寫出一個符合要求的向量，若不存在，請說明理由；（2）證明：曲線S是中心對稱圖形；（3）當x∈[0，π]，時，曲線S為一條封閉的曲線，四條直線l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，圍成矩形ABCD，其中θ為銳角，cosθ＝﹣1，證明：曲線S在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上，且過矩形對角線交點的直線平分曲線S圍成的面積．解：（1）因為sin[（x+2mmπ）+（y+2mπ）]＝sin（x+y），cos（x+2mπ）＝cosx，sin（y+2mπ）＝siny，所以當P（x，y）在曲線S上時，Q（x+2mmπ，y+2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同時為0）必在曲線S上，故存在向量使曲線S具有周期性，向量＝（2mπ，2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同時為0），（m，n取一個符合要求的值即可），則符合要求的一個向量＝（2π，2π）．（2）證明：因為cos（2π+2mπ﹣x）＝cosx，sin（π+2mπ﹣y）＝siny，sin[（2π+2mπ﹣x）+（π+2nπ﹣y）]＝sin（x+y）（m，n∈Z），所以當sin（x+y）＝cosx+si