5.3.1單調(diào)性1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性.3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.函數(shù)

y=f(x)在給定區(qū)間

G

上，當(dāng)x1、x2∈G

且x1＜x

2時(shí),（1）都有f(x1)＜f(x2)，則

f(x)在G

上是增函數(shù)；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，則f(x)在G

上是減函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性的定義

1：(1)(3)(5)在定義域上是增加的，(2)(4)(6)在定義域上是減少的．3：(1)(3)(5)的導(dǎo)數(shù)為正，(2)(4)(6)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)．2：

當(dāng)f′(x)>0，

f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0，

f(x)單調(diào)遞減.知識(shí)梳理導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：(1)若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)>0，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增；(2)若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)<0，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.上述結(jié)論可以用下圖直觀表示.追問(wèn)1:如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).追問(wèn)2:存在有限個(gè)點(diǎn)使得f'(x)=0,其余點(diǎn)都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f(x)仍為增函數(shù).例1(多選)在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列一定不正確的是()分析：當(dāng)f′(x)>0時(shí)，y＝f(x)是增加的；當(dāng)f′(x)<0時(shí)，y＝f(x)是減少的.故可得，A，B中函數(shù)圖象的增減趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的；而C中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不遞減，故錯(cuò)誤；D中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不遞減，故錯(cuò)誤.CD函數(shù)圖象的升降可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)分析判斷，即符號(hào)為正，圖象上升；符號(hào)為負(fù)，圖象下降.看導(dǎo)函數(shù)圖象時(shí)，主要是看圖象在x軸上方還是下方，即關(guān)心導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，而不是其單調(diào)性.解決問(wèn)題時(shí)，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導(dǎo)函數(shù)圖象.歸納總結(jié)例2求證：函數(shù)f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù).證：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，x∈R，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.故函數(shù)f(x)在(－∞，0)內(nèi)為減函數(shù).

解：（1）因?yàn)閒(x)=x3+3x，x∈R，所以f

′(x)=3x2+3=

3(x2+1)>0；所以函數(shù)f(x)=x3+3x

在R

上單調(diào)遞增.

歸納總結(jié)判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號(hào)；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.例4

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π).解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)<0解得－3<x<2.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－3，2).(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π).(2)f′(x)＝cosx－1.因?yàn)?<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，π)上的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.歸納總結(jié)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為減函數(shù).

A

B3.(多選)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(

)A.(－∞，2) B.(0，3)C.(3，4) D.(2，＋∞)4.函數(shù)f