8.“點(diǎn)M在曲線y=|x|上”是“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的

條件。9.已知0≤α<2π，點(diǎn)P(cosα，sinα)在曲線(x－2)2+y2=3上，則α的值為

.充分不必要2.1.2求曲線的方程f(x,y)=00xy2．坐標(biāo)法和解析幾何的本質(zhì)、基本問(wèn)題．坐標(biāo)法——對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題，在建立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問(wèn)題的方法稱(chēng)為坐標(biāo)法。解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。解析幾何的兩大基本問(wèn)題——（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。（由曲線來(lái)求出方程）（2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)。（由方程來(lái)研究曲線）二、例題分析例１、設(shè)Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-1)、(3,7),求線段ＡＢ的垂直平分線方程.0xyABM0xyABC曲線的方程解:設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)M屬于集合由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得：

x+2y－7=0③例1：如果A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-1)，(3,7)，動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等.你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？我們的目標(biāo)就是要找x與y的關(guān)系式先找曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件11方法小結(jié)變式1：已知等腰三角形底邊的兩個(gè)端點(diǎn)是Ａ(-1,-1)

、Ｂ(3,7)，求第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程．ABC0xyx+2y－7=0，且不過(guò)點(diǎn)（1,3）注：求得的軌跡方程要與動(dòng)點(diǎn)的軌跡一一對(duì)應(yīng),否則要“多退少補(bǔ)”,多余的點(diǎn)要剔除(用x,y的取值范圍來(lái)限制),不足的點(diǎn)要補(bǔ)充.

求曲線方程的方法步驟是什么？（1）設(shè)（建系設(shè)點(diǎn)）（2）寫(xiě)（寫(xiě)等量關(guān)系）（3）列（列方程）（4）化（化簡(jiǎn)方程）（5）---M(x,y)---P={M|M滿足的條件}檢驗(yàn)1.建系設(shè)點(diǎn)－－

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（如果題目中已確定坐標(biāo)系就不必再建立）2.尋找條件－－

寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合3.列出方程－－用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化簡(jiǎn)－－化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；5.證明－－證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。(不要求證明，但要檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增解或漏解.)1.建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(如果已給出，本步驟省略);２.設(shè)點(diǎn)：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y);３.列式：根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件,寫(xiě)出等式;4.化簡(jiǎn)：用坐標(biāo)x、y表示這個(gè)等式,并化方程為最簡(jiǎn)形式;５.證明：驗(yàn)證化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲上的點(diǎn).（一般變?yōu)榇_定點(diǎn)的范圍即可）直接法求曲線方程的一般步驟：總結(jié)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的原則:1.若曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形,則可以選它的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸;2.可以選曲線上的特殊點(diǎn)作為原點(diǎn);3.應(yīng)充分利用條件中的定點(diǎn),定直線等條件.B幾種常見(jiàn)求軌跡方程的方法1．直接法由題設(shè)所給(或通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線的方程，這種方法叫直接法．例1．求到x軸距離等于2的點(diǎn)的軌跡方程。分析：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡很容易知道就是兩條平行于x軸的直線，所以根據(jù)圖形的幾何特點(diǎn)直接可以寫(xiě)出軌跡方程為：y=±2。直接法：由題設(shè)所給（或通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線的方程。.B練習(xí)：動(dòng)點(diǎn)M與距離為2a的兩個(gè)定點(diǎn)A，B的連線的斜率之積等于-1/2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。..AM解:如圖,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0)。設(shè)M(x,y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，則由上可知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）；容易證明，以方程（1）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上。所以，方程（1）就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。練習(xí)11.到F(2，0)和Y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是:__________________2.在三角形ABC中,若|BC|=4,BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為3,求點(diǎn)A的軌跡方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y≠0)2．相關(guān)點(diǎn)法若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程。這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法)。規(guī)律技巧:在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到已知一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的問(wèn)題,而解決這類(lèi)問(wèn)題的解法稱(chēng)為代入法(或相關(guān)點(diǎn)法).而此法的關(guān)鍵是如何來(lái)表示出相關(guān)的點(diǎn).例、如下圖，已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.xoyBMA解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3），且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以于是有因?yàn)辄c(diǎn)A在圓（x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程（x+1)2+y2=4，把①代入②中，得(2x-4+1)2+（2y-3)2=4整理得：所以，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)是1的圓。練習(xí):點(diǎn)A(3,0)為圓x2+y2=1外一點(diǎn),P為圓上任意一點(diǎn),若AP的中點(diǎn)為M,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程.分析:利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,把P點(diǎn)的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示,利用代入法,代入圓的方程即可.例2在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？yxoPDM相關(guān)點(diǎn)法解:解法1:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn),∴A的坐標(biāo)為(2x,0),B的坐標(biāo)為(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2過(guò)點(diǎn)P(2,4),例4:過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.整理得x+2y-5=0(x≠1).∵當(dāng)x=1時(shí),A?B的坐標(biāo)分別為(2,0)?(0,4),∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程x+2y-5=0.綜上所求,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.規(guī)律技巧:在平面直角坐標(biāo)系中,遇到垂直問(wèn)題,常利用斜率之積等于-1解題,但需注意斜率是否存在,即往往需要討論,如解法1.求軌跡方程有時(shí)利用平面幾何知識(shí)更為方便快捷.解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,P,B四點(diǎn)共圓,且該圓的圓心為M.∴|MP|=|MO|.∴點(diǎn)M的軌跡為線段OP的中垂線.

的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),∴點(diǎn)M的軌跡方程是即x+2y-5=0.在求曲線方程的過(guò)程中，根據(jù)題中所給幾何特征，利用平面幾何知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系得出方程，這種方法叫做幾何法。例2設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-4/9,求點(diǎn)M的軌跡方程?！半s點(diǎn)”可不要忘了喲例1：已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離的比為1/2

的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程。練習(xí)：設(shè)兩點(diǎn)A、B的距離為8，求到A、B兩點(diǎn)距離的平方和是50的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。點(diǎn)差法練習(xí):如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于1,O1O2=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM?PN(M,N分別為切點(diǎn)),使得，建立平面直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示,則O1(-2,0),O2(2,0).由已知得PM2=2PN2,因?yàn)閳A的半徑為1,所以:PO21-1=2(PO22-1),設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.練習(xí):平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直,且交α于點(diǎn)C,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A.一條直線B.一個(gè)圓C.一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支解析:設(shè)l與l′是動(dòng)直線AC中的任意兩條,則這兩條直線確定一個(gè)平面β,且斜線AB⊥β.由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直,可知過(guò)定點(diǎn)A和AB垂直的直線都在β內(nèi),故點(diǎn)C在平面α與β的交線上,故選A.A1.已知定點(diǎn)A(0，-1)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線y=2x2+1上移動(dòng)，則線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程是:___2.已知點(diǎn)A(-1，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足2∠MAB=∠MBA，求點(diǎn)M的軌跡方程.

3.線段AB的長(zhǎng)為10，兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在X軸正半軸上和Y軸正半軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程3．參數(shù)法（交規(guī)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t，并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y，從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡的普通方程。4．定義法利用所學(xué)過(guò)的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．例2.已知定點(diǎn)A(6,0),曲線C:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B,點(diǎn)M滿足,求點(diǎn)M的軌跡方程.xyA(6,0)OBM特征:所求(從)動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上的(主)動(dòng)點(diǎn)的變化而變化方法:用從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x0,y0),然后代入已知曲線方程，即的從動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.代入法