2/2估算、比較無(wú)理數(shù)的大小課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握估算的方法②會(huì)利用估算法比較大小1.會(huì)估算一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍；2.比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小．知識(shí)點(diǎn)01估算【微點(diǎn)撥】日常生活中有些數(shù)據(jù)不需要十分精確時(shí)，可以通過(guò)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行估算，但要盡可能地減小誤差，方法要科學(xué)．估算法：（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算和的大?。纾?，則；，則．常見實(shí)數(shù)的估算值：，，．【即學(xué)即練1】1.估計(jì)的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)估算大小的方法即可求解．【詳解】解：∵，且，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理數(shù)比較大小，掌握無(wú)理數(shù)估算大小，比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．2.若a和b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，那么，．【答案】34【分析】根據(jù)，可得：的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】，又為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，，故答案為：3；4．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的估算，掌握算術(shù)平方根的意義，是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02比較無(wú)理數(shù)的大?、倨椒剑⒎剑诠浪惴ㄗ⒁猓哼€有其他比較實(shí)數(shù)大小的方法，如數(shù)形結(jié)合法（數(shù)軸上右邊的實(shí)數(shù)始終比左邊的大），作差法，作商法等．【即學(xué)即練1】1.比較大小：-32-【答案】>【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，要比較的兩個(gè)數(shù)都是帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)時(shí)，應(yīng)把根號(hào)外的數(shù)整理到根號(hào)內(nèi)，然后比較被開方數(shù)．也可以采用求近似值的方法來(lái)進(jìn)行比較．因?yàn)橄啾容^的兩個(gè)數(shù)都帶根號(hào)，所以應(yīng)把根號(hào)外的數(shù)整理到根號(hào)內(nèi)，然后比較被開方數(shù)的大小即可．【詳解】解：32∵18<∴-3故答案為：>題型01估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍【典例1】（2024九年級(jí)下·新疆·專題練習(xí)）估計(jì)5的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【答案】A【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)，算術(shù)平方根，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)4<5<9，得到4<5<【詳解】解：∵4<5<9，∴4<5<故選：A．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶秀山·階段練習(xí)）估計(jì)27+1的值應(yīng)在（

A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】D【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)25<27<36得到5<27<6，則【詳解】解：∵25<27<36，∴5<27∴6<27故選：D．【變式2】（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·期末）估算17×3-4A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估值計(jì)算．根據(jù)題意可得17×【詳解】解：∵17×∴17×3-4的結(jié)果在3故選：C．【變式3】（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）估算4-5的值（

A．在0到1之間 B．在1到2之間C．在2到3之間 D．在3到4之間【答案】B【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，夾逼法求出無(wú)理數(shù)的范圍即可．【詳解】解：∵4<∴2<5∴-3<-5∴1<4-5故選B．題型02無(wú)理數(shù)的大小估算【典例2】（22-23八年級(jí)上·河南開封·期末）把無(wú)理數(shù)17，11，5，3表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無(wú)理數(shù)中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無(wú)理數(shù)是．【答案】11【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案，估算無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵4<17<5，∵3<11<4，∵2<5<3，∵1<3<2，故答案為：11．【變式1】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）估算下列數(shù)的大小：（1）3120≈(結(jié)果精確到1（2）14.8≈(結(jié)果精確到0.1)【答案】53.8【分析】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算能力，解決本題關(guān)鍵會(huì)用“夾逼法”．（1）由43（2）由于9<14.8<16，由此即可找到所求的無(wú)理數(shù)在哪兩個(gè)和它接近的有理數(shù)之間，然后即可判斷出所求的無(wú)理數(shù)的大?。驹斀狻拷猓海?）∵4120更接近125，∴3（2）∵9<14.8<16，∴3<14.8∵3.814.8更接近14.44，∴14.8故答案為：5；3.8．【變式2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）寫出一個(gè)介于-3和-10之間的整數(shù)【答案】-2【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟知估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)無(wú)理數(shù)比較大小即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵-10∴介于-3和-10之間的數(shù)為：故答案為：-2．【變式3】（22-23七年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）28在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)a和b之間，a<28<b，那么a+b的立方根是【答案】3【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算，立方根；此題的關(guān)鍵在于估算28的大小，并找出其兩側(cè)的連續(xù)整數(shù)．通過(guò)比較28與完全平方數(shù)的大小來(lái)確定28的范圍，進(jìn)而求得a,b的值，即可求解．【詳解】∵5的平方等于25，6的平方等于36，25即：5<由此可知，a和b分別是28兩側(cè)的連續(xù)整數(shù)，即a=5，b=6∴a+b=5+6=11，∴a+b的立方根是311故答案為：311題型03無(wú)理數(shù)大小的比較【典例3】（23-24七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）比較大?。?-1【答案】<【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，先確定7-1【詳解】解：∵2<7∴1<7∴7故答案為：<．【變式1】（22-23八年級(jí)上·內(nèi)蒙古興安盟·開學(xué)考試）比較大?。?-21（填“>”“<”或“=”【答案】<【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，正確估算無(wú)理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵．直接利用估算無(wú)理數(shù)的大小方法分析可得出答案．【詳解】解：∵1<2∴0<2-2故答案為：<．【變式2】（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·期末）比較大小：1.55+1【答案】＜【分析】本題考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法得出5＜2.5，再比較大小即可．【詳解】∵4<5，∴2<5∴2+1<5∴32<故答案為：＜【變式3】（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）比較大?。?+13．(填“>”“<”或“=【答案】>【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)2<5【詳解】解：∵2<5∴3<5∴5+1>3故答案為：>題型04無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【典例3】（23-24七年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）已知5+7的小數(shù)部分為a，5-7的小數(shù)部分為b，則a+b【答案】1【分析】本題主要考查估算無(wú)理數(shù)的大小，求得a，b的值是解題的關(guān)鍵．先估算出5+7的整數(shù)部分，然后可求得a的值，在估算出5-7的整數(shù)部分，可求得【詳解】解：∵4<7<9，∴2<∴7<5+7<8，∴a=5+7-7=7∴a+b2024故答案為：1．【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東臨沂·期末）設(shè)4+5的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則a-b=【答案】8-5/【分析】考查了估計(jì)無(wú)理數(shù)，得出a，b的值是解題關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)大小可得出a，b的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵4<5<9，∴2<5∴4+2<4+5<4+3∵4+5的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b∴a=6，b=5則a-b=6-5故答案是8-5【變式2】（23-24七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期末）已知a的立方根是2，b是12的整數(shù)部分，則a+b的算術(shù)平方根是．【答案】11【分析】本題考查了立方根與算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握立方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)立方根的性質(zhì)求出a的值，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得b的值，然后根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵a的立方根是2，∴a=2∵9<12<16，∴9<12<∵b是12的整數(shù)部分，∴b=3，∴a+b=8+3=11，則a+b的算術(shù)平方根是11，故答案為：11．【變式3】（22-23七年級(jí)下·湖北黃岡·期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道2是無(wú)理數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)2-1來(lái)表示2的小數(shù)部分，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是2，又例如∵22<72<32，即2<請(qǐng)解答：(1)11的整數(shù)部分是，小數(shù)部分．(2)如果5的小數(shù)部分為a，41的整數(shù)部分為b，則a+b-5(3)已知x是3-5的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x-y【答案】(1)3，11(2)4(3)5【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小和求代數(shù)式的值，能估算出無(wú)理數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．（1）先估算出11的范圍，再求出即可；（2）先估算出5和41的范圍，再求出a、b的值，最后求出代數(shù)式的值即可；（3）先求出3-5的范圍，再求出x、y【詳解】（1）解：∵9∴3<11∴11的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是11故答案為：3，11-3（2）解：∵4<5∴2<5<3，∴a=5-2，∴a+b-5（3）解：∵2<5∴-2>-5∴1>3-5∴x=0，y=3-5∴x-y=0-3-一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┕烙?jì)的值是在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【分析】本題考查估算無(wú)理數(shù)大小，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義，能估算無(wú)理數(shù)大?。?，可得，即可得到答案．【詳解】解：，，故選：B2．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．先估算出的范圍，再得到的范圍，即可求解．【詳解】解：，，，估計(jì)的值應(yīng)在5和6之間，故選：．3．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）若，則整數(shù)m的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法．首先確定和的范圍，然后求出整數(shù)m的值的值即可．【詳解】解：∵，即，，即，又∵，∴整數(shù)m的值為：3，故選：B．4．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）若一個(gè)正方體水晶磚的體積為100，則它的棱長(zhǎng)約在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【答案】D【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握估算無(wú)理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵．由題意可得正方體的棱長(zhǎng)為，然后進(jìn)行估算即可．【詳解】解：∵一個(gè)正方體的水晶磚的體積為100，其棱長(zhǎng)為，，，，，即它的棱長(zhǎng)大約在之間，故選：D．5．（22-23八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）若是的算術(shù)平方根，是的小數(shù)部分，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了算術(shù)平方根的概念和無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)算術(shù)平方根的概念和無(wú)理數(shù)的估算求出，即可，熟練掌握算術(shù)平方根的概念和無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的算術(shù)平方根，∴，∵，即，∴，∴，故選：．二、填空題6．（22-23七年級(jí)上·浙江寧波·期中）請(qǐng)寫出一個(gè)大于而小于的無(wú)理數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義和實(shí)數(shù)的大小比較，能熟記無(wú)理數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．本題是一道開放型的題目，答案不唯一，根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義和已知寫出一個(gè)即可．【詳解】解：大于而小于，即符合題意的有：，故答案為：（答案不唯一）．7．（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）與最接近的整數(shù)是．【答案】7【分析】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大?。浪銦o(wú)理數(shù)的大小，再確定更接近的整數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴最接近的整數(shù)是7，故答案為：7．8．（23-24七年級(jí)下·新疆伊犁·期末）比較大?。海?），（2）【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)平方法和估算法，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即：；故答案為：；．9．（22-23八年級(jí)上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知a，b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，則．【答案】7【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)大小的估算以及代數(shù)式求值，先估算出即可得出，，，再代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，∴，，∴．故答案為：7．10．（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知，，，．若n為整數(shù)且，則n的值是．【答案】44【分析】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握無(wú)理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知：，，為整數(shù)且，即，因此，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，為整數(shù)且，，，，，故答案為：44．三、解答題11．（23-24八年級(jí)上·山西運(yùn)城·期末）已知，的平方根是，是的整數(shù)部分．(1)求的算術(shù)平方根；(2)求的立方根．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的定義以及估算無(wú)理數(shù)大小的方法得出，，的值，進(jìn)而得出代數(shù)式的值，根據(jù)算術(shù)平方根（2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定義求出答案．【詳解】（1）解：，，解得，的平方根是，，解得，，的整數(shù)部分．把，，代入得，原式，的算術(shù)平方根是4，的算術(shù)平方根為4；（2）解：由（1）知：，，，∴．的立方根是，的立方根為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根及估算無(wú)理數(shù)的大小等知識(shí)點(diǎn)，能夠理解和明確已知中相關(guān)概念及其性質(zhì)是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（23-24七年級(jí)下·江西宜春·期末）根據(jù)表回答問(wèn)題：x1616.116.216.316.416.516.616.716.8256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24(1)272.25的平方根是；(2)，；(3)設(shè)的整數(shù)部分為m，求的立方根．【答案】(1)(2)163；1.66(3)【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算和平方根：（1）根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)一位，由此計(jì)算即可；（3）根據(jù)可得，則的整數(shù)部分，，再求出的立方根為【詳解】（1）解：∵，∴272.25的平方根是，故答案為：；（2）解：∵開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)一位，∴，，故答案為：163，1.66；（3）解：，，的整數(shù)部分，，的立方根為．13．（22-23七年級(jí)上·浙江·期中）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)和之間，且，那么__________，____________．(2)是的小數(shù)部分，是的整數(shù)部分，求____________，____________．(3)求的立方根．【答案】(1)2；3(2)；3(3)2【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算及立方根的定義，結(jié)合已知條件求得對(duì)應(yīng)字母的值是解題的關(guān)鍵．（1）估算出在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可；（2）結(jié)合（1）中所求，估算出，分別在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可求得，的值；（3）將，的值代入中計(jì)算后，根據(jù)立方根的定義即可求得答案．【詳解】（1），，介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)和之間，且，，，故答案為：2；3；（2），，，則，，故答案為：；3；（3）結(jié)合（2）可得，故的立方根為：2．14．（23-24七年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期末）觀察：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．規(guī)定符號(hào)表示實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：，，請(qǐng)你運(yùn)用上述規(guī)律解決下面的問(wèn)題：(1)按此規(guī)定________；(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)的估算．（1）先估算出，得到，根據(jù)定義即可得到答案；（2）先估算出的小數(shù)部分，的整數(shù)部分為，進(jìn)一步計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，故答案為：（2）∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分．

∵，即，∴的整數(shù)部分．

∴．

∴．∴．15．（23-24七年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期中）根據(jù)表回答下列問(wèn)題：x1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918x2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324(1)316.84的平方根是；(2)＝，＝；(3)若介于17.6與17.7之間，則滿足條件的整數(shù)n有個(gè)；(4)若小數(shù)部分為m，求的值．【答案】(1)；(2)171；1.77(3)4(4)315【分析】本題考查平方根，算術(shù)平方根，估算無(wú)理數(shù)大小，無(wú)理數(shù)小數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算．（1）根據(jù)平方根的定義求解即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的規(guī)律求解即可；（3）根據(jù)，得，（4）根據(jù)，得出，則，所以小數(shù)部分，再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴316.84的平方根是，故答案為：；（2）解：開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)每向右或左移動(dòng)一位，∵，∴，∵，∴，故答案為：171；1.77．（3）解：∵介于17.6與17.7之間，∴，∴，∴滿足條件的整數(shù)n有310，311，312，313，∴整數(shù)n有4個(gè)，故答案為：4．（4）解：∵，∴17.7，∴，∴小數(shù)部分，∴．16．（23-24七年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┫乳喿x下面的文字，然后解答問(wèn)題．大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來(lái)，于是小明用的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，差就是小數(shù)部分．由此我們還可以得到一個(gè)真命題：如果，其中x是整數(shù)，那么，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么，；(2)已知，其中是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)3，(2)【分析】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．（1）估算出，可得，依此即可確定出，的值；（2）根據(jù)題意確定出與的值，代入求出即可．【詳解】（1）解：，其中是整數(shù)，且，，，，，則；（2）解：，其中是整數(shù)，且，，，則．17．（23-24七年級(jí)下·山西忻州·期末）下面是小明在學(xué)習(xí)“無(wú)理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記．無(wú)理數(shù)的估算：大家知道