2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)建模在實(shí)踐中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學(xué)建模的主要步驟及其在解決實(shí)際問題中的作用。二、某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A的利潤為3元，每單位產(chǎn)品B的利潤為2元。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗勞動力2個(gè)單位，消耗原材料3個(gè)單位；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗勞動力3個(gè)單位，消耗原材料2個(gè)單位。公司每周可用的勞動力總量為150個(gè)單位，原材料總量為180個(gè)單位。請建立此問題的線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是為公司制定一個(gè)利潤最大的生產(chǎn)計(jì)劃。三、已知某城市人口增長服從Logistic模型。假設(shè)該城市當(dāng)前人口為50萬，最大人口容量估計(jì)為200萬，人口增長率在當(dāng)前水平下為每年10%。請建立該城市人口增長的微分方程模型，并求解該模型，預(yù)測10年后該城市的人口數(shù)量。四、假設(shè)某商場銷售一種商品，其需求量（單位：件）與價(jià)格（單位：元）之間的關(guān)系近似為線性關(guān)系，具體為：需求量D（元）=1000-10P，其中P為價(jià)格。商場的成本函數(shù)（單位：元）為C（件）=50D+2000。請建立該商場的利潤函數(shù)，并確定使利潤最大化的價(jià)格和最大利潤。五、某投資者有10000元資金，計(jì)劃投資兩種風(fēng)險(xiǎn)不同的股票A和B。股票A的預(yù)期年回報(bào)率為12%，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為0.1；股票B的預(yù)期年回報(bào)率為18%，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為0.2。投資者希望投資組合的預(yù)期年回報(bào)率不低于14%，且風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)不超過0.15。請建立此問題的線性規(guī)劃模型，幫助投資者確定投資于股票A和股票B的資金額，使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。六、考慮一個(gè)簡單的供應(yīng)鏈問題。某產(chǎn)品由供應(yīng)商A生產(chǎn)，然后運(yùn)往倉庫W，再從倉庫W運(yùn)往客戶C。供應(yīng)商A到倉庫W的運(yùn)輸成本為每單位10元，運(yùn)輸能力為每天100單位；倉庫W到客戶C的運(yùn)輸成本為每單位15元，運(yùn)輸能力為每天80單位。供應(yīng)商A的供應(yīng)能力為每天120單位，客戶C的需求量為每天90單位。請建立此問題的線性規(guī)劃模型，確定一個(gè)滿足需求且總運(yùn)輸成本最小的運(yùn)輸方案（即確定從A到W的運(yùn)輸量，從W到C的運(yùn)輸量）。七、假設(shè)某公司需要決定是否投資一個(gè)新項(xiàng)目。如果投資，需要初始投資1000萬元，預(yù)計(jì)在接下來三年內(nèi)每年年末可獲得收益300萬元。如果不投資，則沒有成本和收益。請用決策樹的方法分析，在期望值準(zhǔn)則下，該公司是否應(yīng)該投資此項(xiàng)目？（假設(shè)貼現(xiàn)率為10%）八、為了評估兩種教學(xué)方法A和B的效果，隨機(jī)選取了60名學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中30名采用方法A，30名采用方法B。一段時(shí)間后，對這60名學(xué)生進(jìn)行測試，成績?nèi)缦拢ㄊ÷跃唧w數(shù)據(jù)）。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)研究方案，利用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法比較這兩種教學(xué)方法的效果是否顯著存在差異。簡述你的研究思路和可能使用的分析方法。試卷答案一、數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題抽象、簡化并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言描述的過程，通過建立數(shù)學(xué)模型來分析問題、解決問題或預(yù)測未來趨勢。其主要步驟通常包括：1）問題理解與界定：明確建模目的，收集相關(guān)信息，界定問題范圍和約束條件；2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際情況，對問題進(jìn)行簡化，提出合理的數(shù)學(xué)假設(shè)；3）模型建立：選擇合適的數(shù)學(xué)工具和方法，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（如方程、不等式、優(yōu)化模型等）；4）模型求解：運(yùn)用數(shù)學(xué)方法或計(jì)算機(jī)技術(shù)求解模型，得到數(shù)學(xué)解；5）模型檢驗(yàn)：將模型解回代入實(shí)際問題，檢驗(yàn)其合理性和有效性，與實(shí)際情況進(jìn)行比較；6）模型應(yīng)用與修正：若模型檢驗(yàn)通過，則可應(yīng)用于實(shí)際問題，并根據(jù)實(shí)際情況反饋對模型進(jìn)行修正和完善。數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題時(shí)，能夠提供量化的分析工具，幫助決策者更科學(xué)、更系統(tǒng)地理解問題，做出更合理的決策。二、設(shè)每周生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x單位，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為y單位。則該問題的線性規(guī)劃模型如下：目標(biāo)函數(shù)：最大化Z=3x+2y約束條件：1.勞動力約束：2x+3y≤1502.原材料約束：3x+2y≤1803.非負(fù)約束：x≥0,y≥0三、根據(jù)Logistic模型，人口增長速率與當(dāng)前人口數(shù)及最大人口容量有關(guān)。設(shè)人口數(shù)量為P(t)，最大容量為K=200萬，當(dāng)前人口為P(0)=50萬，增長率在當(dāng)前水平下為r=10%/年=0.1/年。Logistic微分方程模型為：dP/dt=rP(1-P/K)。代入?yún)?shù)得：dP/dt=0.1*P*(1-P/200)。求解該微分方程，初始條件為P(0)=50，得到人口數(shù)量隨時(shí)間變化的表達(dá)式：P(t)=200/(1+3*exp(-0.1t))。預(yù)測10年后人口數(shù)量，即計(jì)算P(10)：P(10)=200/(1+3*exp(-1))。四、需求量D=1000-10P。利潤函數(shù)L=總收入-總成本?？偸杖?P*D=P*(1000-10P)=1000P-10P^2。總成本C(D)=50D+2000=50(1000-10P)+2000=50000-500P。利潤函數(shù)L(P)=(1000P-10P^2)-(50000-500P)=-10P^2+1500P-50000。為使利潤最大化，對L(P)求導(dǎo)并令其等于0：dL/dP=-20P+1500=0，解得P=75。此時(shí)最大利潤L_max=-10(75)^2+1500(75)-50000。五、設(shè)投資于股票A的資金額為x元，投資于股票B的資金額為y元。則該問題的線性規(guī)劃模型如下：目標(biāo)函數(shù)：最小化Z=0.1x+0.2y約束條件：1.資金總額約束：x+y=100002.預(yù)期回報(bào)率約束：0.12x+0.18y≥0.14*100003.風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)約束：0.1x+0.2y≤0.15*100004.非負(fù)約束：x≥0,y≥0六、設(shè)從供應(yīng)商A到倉庫W的運(yùn)輸量為x單位，從倉庫W到客戶C的運(yùn)輸量為y單位。則該問題的線性規(guī)劃模型如下：目標(biāo)函數(shù)：最小化Z=10x+15y約束條件：1.供應(yīng)商A供應(yīng)能力約束：x≤1202.從A到W運(yùn)輸量與從W到C運(yùn)輸量的關(guān)系：y=x3.倉庫W到客戶C運(yùn)輸能力約束：y≤804.非負(fù)約束：x≥0,y≥0七、構(gòu)建決策樹：*節(jié)點(diǎn)A：代表投資決策（分支1：投資，分支2：不投資）。*分支1（投資）：結(jié)果1.1（收益300萬/年，持續(xù)3年）；成本1000萬。凈現(xiàn)值NPV=-1000+300/(1+0.1)+300/(1+0.1)^2+300/(1+0.1)^3。*分支2（不投資）：結(jié)果2（無收益）。計(jì)算分支1的凈現(xiàn)值：NPV=-1000+300/1.1+300/1.21+300/1.331。比較兩個(gè)分支的期望值（此處即凈現(xiàn)值），選擇期望值較大的方案。若NPV>0，則應(yīng)投資。八、研究方案設(shè)計(jì)：1.數(shù)據(jù)收集：獲取30名采用方法A和30名采用方法B學(xué)生的測試成績數(shù)據(jù)。2.數(shù)據(jù)預(yù)處理：檢查數(shù)據(jù)是否存在缺失或異常值，進(jìn)行必要的處理。3.假設(shè)檢驗(yàn)：提出零假設(shè)H0（兩種方法效果無顯著差異）和備擇假設(shè)H1（兩種方法效果有顯著差異）。4.方法選擇：由于涉及兩組數(shù)據(jù)的均值比較，且樣本量相等（或接近），可以考慮使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（如果成績服從正態(tài)分布且方差相等）或Welch'st檢驗(yàn)（如果方差不等）。如果成績數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，可以考慮使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。5.統(tǒng)計(jì)分析：使用統(tǒng)計(jì)軟件（如SPSS,R,Python等）執(zhí)行選定的檢驗(yàn)方法，計(jì)