2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在金融學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述隨機(jī)過程在金融學(xué)建模中的重要性，并舉例說明幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型適用于描述哪種金融資產(chǎn)的價(jià)格行為。二、解釋什么是投資組合的有效前沿。一個(gè)投資者如果風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度提高，他會(huì)如何調(diào)整其投資組合在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的配置？三、定義期權(quán)的時(shí)間價(jià)值。為什么歐式看漲期權(quán)的價(jià)值一定大于或等于其內(nèi)在價(jià)值？四、寫出伊藤引理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。簡(jiǎn)要說明伊藤引理在期權(quán)定價(jià)理論中的核心作用。五、設(shè)股票當(dāng)前價(jià)格為S0，服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dS=μSdt+σSdW，其中μ和σ為常數(shù)。無風(fēng)險(xiǎn)利率為r。請(qǐng)推導(dǎo)歐式看漲期權(quán)C的價(jià)格滿足的偏微分方程（即Black-Scholes方程）。六、假設(shè)你正在使用二叉樹模型為某股票的歐式看漲期權(quán)定價(jià)。樹形結(jié)構(gòu)有3期，股票價(jià)格上升和下降的比例為1:1。當(dāng)前股票價(jià)格為S0，到期日股票價(jià)格可能為S0u或S0d。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K。請(qǐng)寫出在節(jié)點(diǎn)t=1時(shí)，期權(quán)的價(jià)值表達(dá)式（用后續(xù)節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值表示）。七、解釋什么是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的貼現(xiàn)率與無風(fēng)險(xiǎn)利率有何關(guān)系？為什么風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是可行的？八、一個(gè)投資組合包含100股股票A和50股股票B。股票A的當(dāng)前價(jià)格為50元，波動(dòng)率為20%；股票B的價(jià)格為10元，波動(dòng)率為30%。假設(shè)兩只股票的收益相關(guān)系數(shù)為0.4。請(qǐng)計(jì)算該投資組合的波動(dòng)率（總風(fēng)險(xiǎn)）。九、解釋什么是市場(chǎng)套利機(jī)會(huì)。如果你發(fā)現(xiàn)了一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，你會(huì)如何構(gòu)建一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資策略？十、簡(jiǎn)要說明在Black-Scholes模型中，希臘字母Gamma和Theta的經(jīng)濟(jì)含義是什么。試卷答案一、解析：隨機(jī)過程是描述金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間變化的不確定性動(dòng)態(tài)路徑的工具。它允許我們捕捉價(jià)格波動(dòng)的不確定性特征，是構(gòu)建現(xiàn)代金融衍生品定價(jià)模型（如Black-Scholes模型）和風(fēng)險(xiǎn)管理模型的基礎(chǔ)。幾何布朗運(yùn)動(dòng)因其連續(xù)性、漂移率和波動(dòng)率的恒定性，常被用來模擬具有連續(xù)價(jià)格變化特征的金融資產(chǎn)（如股票）在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的價(jià)格路徑。二、解析：投資組合的有效前沿是指在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下，能夠提供最高預(yù)期回報(bào)率的所有投資組合的集合；或者在給定預(yù)期回報(bào)率下，能夠承擔(dān)最低風(fēng)險(xiǎn)（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）的所有投資組合的集合。有效前沿反映了不同風(fēng)險(xiǎn)偏好下的最優(yōu)投資選擇。風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度提高的投資者，意味著他們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受能力下降，對(duì)回報(bào)的確定性要求更高。因此，他們會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資，增加在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資，從而使其投資組合更靠近有效前沿上的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)端點(diǎn)。三、解析：期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是指期權(quán)溢價(jià)中超出其內(nèi)在價(jià)值（即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格之差，對(duì)于看漲期權(quán)）的部分。它反映了期權(quán)在未來可能獲得更高收益的潛力，這種潛力來源于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的未來波動(dòng)性。期權(quán)的時(shí)間價(jià)值隨著到期日的臨近而減少（Theta效應(yīng)），并在到期日變?yōu)榱?。歐式看漲期權(quán)在行權(quán)前具有時(shí)間價(jià)值，因?yàn)橥顿Y者有權(quán)在未來以確定的價(jià)格購買資產(chǎn)，其價(jià)值不僅取決于當(dāng)前的內(nèi)在價(jià)值，還取決于未來價(jià)格波動(dòng)的可能性。因此，其價(jià)值一定大于或等于其內(nèi)在價(jià)值（行權(quán)價(jià)為0時(shí)等于內(nèi)在價(jià)值，行權(quán)價(jià)大于0時(shí)，價(jià)值至少等于0）。四、解析：伊藤引理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：若X_t是一個(gè)滿足特定條件的隨機(jī)過程，f(X_t)是X_t的函數(shù)，則d(f(X_t))=f'(X_t)dX_t+0.5f''(X_t)(dX_t)^2+...（對(duì)于伊藤引理通常是二階）。在金融學(xué)中，核心形式常簡(jiǎn)化處理為涉及隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)。其核心作用在于為涉及隨機(jī)變量的函數(shù)（如金融資產(chǎn)價(jià)格）提供微分法則，使得我們可以推導(dǎo)出隨機(jī)微分方程的解，特別是在期權(quán)定價(jià)中，它是推導(dǎo)Black-Scholes偏微分方程的關(guān)鍵工具，允許我們將漂移項(xiàng)和無風(fēng)險(xiǎn)利率聯(lián)系起來。五、解析：推導(dǎo)過程如下：1.設(shè)股票價(jià)格S_t服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dS=μSdt+σSdW。2.歐式看漲期權(quán)C的價(jià)值V是S_t的函數(shù)，V=V(S_t,t)。3.應(yīng)用伊藤引理到V(S_t,t)，得到：dC=?C/?tdt+?C/?SdS+0.5*?2C/?S2(dS)24.將dS的表達(dá)式代入，得到：dC=(?C/?t+μS?C/?S+0.5*σ2S2?2C/?S2)dt5.在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下（Q測(cè)度），股票的預(yù)期回報(bào)率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，即dS=rSdt。代入上式：dC=(?C/?t+rS?C/?S+0.5*σ2S2?2C/?S2)dt6.由于期權(quán)的價(jià)值變動(dòng)dC需要用無風(fēng)險(xiǎn)利率r進(jìn)行貼現(xiàn)，即dC=rCdt。比較兩式，得到Black-Scholes方程：?C/?t+rS?C/?S+0.5*σ2S2?2C/?S2=rC六、解析：在二叉樹模型的t=1節(jié)點(diǎn)，假設(shè)股票價(jià)格達(dá)到了S0u（上升路徑）或S0d（下降路徑）。期權(quán)在t=2時(shí)刻的價(jià)值已知（分別為Cu和Cd）。在t=1節(jié)點(diǎn)，期權(quán)的價(jià)值C1是其未來兩個(gè)可能價(jià)值的期望值（在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中）的現(xiàn)值。由于我們通常在每一步使用相同的風(fēng)險(xiǎn)中性概率q和1-q，且貼現(xiàn)率也為r，表達(dá)式為：C1=e??[q*Cu+(1-q)*Cd]其中，e??是從t=1到t=2期間的貼現(xiàn)因子，q和1-q是股票價(jià)格上升和下降的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。七、解析：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是指所有資產(chǎn)在未來時(shí)刻的預(yù)期收益都按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，以確定其當(dāng)前價(jià)值的定價(jià)方法。風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度（Q測(cè)度）是一個(gè)假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測(cè)度。在這種測(cè)度下，期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。其可行性在于，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)的定價(jià)只依賴于其當(dāng)前狀態(tài)和未來可能的價(jià)格路徑，而不依賴于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好。因此，無論投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度如何，只要他們使用相同的市場(chǎng)價(jià)格信息，他們得出的期權(quán)價(jià)值都是一致的。這使得定價(jià)過程簡(jiǎn)化且具有一致性。八、解析：計(jì)算投資組合波動(dòng)率（σp）需要先計(jì)算組合的方差(σp)2。設(shè)σA=σ(SA)=20%,σB=σ(SB)=30%,Corr(SA,SB)=ρ=0.4,WA=100,WB=50,SA=50,SB=10。1.計(jì)算組合中各資產(chǎn)的投資比例：wA=WA*SA/(WA*SA+WB*SB)=100*50/(100*50+50*10)=5000/(5000+500)=5000/5500≈0.9091wB=WB*SB/(WA*SA+WB*SB)=50*10/(100*50+50*10)=500/5500≈0.09092.計(jì)算組合方差：(σp)2=wA2*σA2+wB2*σB2+2*wA*wB*σA*σB*ρ(σp)2=(0.9091)2*(0.20)2+(0.0909)2*(0.30)2+2*0.9091*0.0909*0.20*0.30*0.4(σp)2=(0.8264)*(0.04)+(0.0083)*(0.09)+2*(0.9091)*(0.0909)*(0.20)*(0.30)*(0.4)(σp)2=0.033056+0.000747+0.004926≈0.0387293.計(jì)算組合波動(dòng)率：σp=√(0.038729)≈0.1968或19.68%九、解析：市場(chǎng)套利機(jī)會(huì)是指在不冒任何風(fēng)險(xiǎn)（或風(fēng)險(xiǎn)可被完全對(duì)沖）的情況下，能夠同時(shí)買入和賣出（或反向操作）某種資產(chǎn)，從而鎖定無風(fēng)險(xiǎn)利潤的交易機(jī)會(huì)。例如，如果同一種資產(chǎn)的期貨價(jià)格顯著高于其現(xiàn)貨價(jià)格，且持有成本低于兩者之間的差額，就可能存在套利空間。構(gòu)建無風(fēng)險(xiǎn)套利策略通常涉及：1)買入被低估的資產(chǎn)；2)賣出（做空）被高估的資產(chǎn)；3)對(duì)沖剩余風(fēng)險(xiǎn)（如通過期貨合約）；4)確保策略的凈現(xiàn)金流在初始時(shí)刻為正，這部分現(xiàn)金流即為預(yù)期的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。十、解析：Gamma(γ)是期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)(?2C/?S2)。它衡量了期權(quán)價(jià)格曲線的彎曲程度。Gamma值越高，意味著期權(quán)價(jià)格隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化越敏感，Delta變化的速度越快。在經(jīng)濟(jì)含義上，Gamma與期權(quán)處