2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——多項(xiàng)式插值在圖形學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)）1.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?)，若要構(gòu)造一個(gè)通過這三點(diǎn)的二次多項(xiàng)式插值函數(shù)P?(x)，則該函數(shù)是唯一的。(A)對任何x∈[x?,x?](B)僅當(dāng)x?≠x?且x?≠x?時(shí)(C)僅當(dāng)x?,x?,x?互不相等且線性無關(guān)時(shí)(D)僅當(dāng)y?,y?,y?成線性相關(guān)時(shí)2.在拉格朗日插值多項(xiàng)式L(x)的構(gòu)造中，L(x?)的值等于：(A)f(x?)(B)f(x?)(C)0(D)13.牛頓插值多項(xiàng)式P(x)的形式P(x)=f[x?]+f[x?,x?](x-x?)+...+f[x?,...,x?](x-x?)...(x-x???)中的f[x?,x?,...,x?]表示：(A)拉格朗日插值系數(shù)(B)k階差商(C)k次多項(xiàng)式系數(shù)(D)函數(shù)值f(x?)4.對于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)集{(x?,y?)}?<0xE2><0x82><0x99>?，分段線性插值函數(shù)是：(A)唯一確定的(B)不唯一的(C)只能在n=2時(shí)唯一確定(D)無法確定5.在圖形學(xué)中，Hermite插值相比于拉格朗日插值的主要優(yōu)勢在于：(A)計(jì)算量更小(B)能更好地保持曲線的光滑度(C)對數(shù)據(jù)點(diǎn)噪聲不敏感(D)更容易實(shí)現(xiàn)局部修改二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)插值理論，存在唯一的次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式P?(x)滿足插值條件P?(x?)=f(x?)(i=0,1,...,n)，則稱P?(x)是f(x)在節(jié)點(diǎn)a=x?<x?<...<x?=b上的________插值。7.對于數(shù)據(jù)點(diǎn)(1,2),(3,6),(4,5)，其一階差商f[x?,x?]=________，f[x?,x?]=________。8.Bézier曲線是通過一組控制點(diǎn)P?,P?,...,P?來定義的參數(shù)曲線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式通常用伯恩斯坦基函數(shù)B??(t)(t∈[0,1])表示，其中B??(t)的定義是________。9.B-Spline曲線的節(jié)點(diǎn)向量U=(u?,u?,...,u?)的長度m+1通常等于控制點(diǎn)P?,P?,...,P?的數(shù)量________。10.在圖形學(xué)中，若要求生成一條三次參數(shù)曲線C(t)(t∈[0,1])，其通過點(diǎn)P?,P?且在P?處的切向量為T?，在P?處的切向量為T?，則可以使用________插值方法來實(shí)現(xiàn)。三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）11.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(1,3),(2,5),(3,2)。構(gòu)造一個(gè)通過這三點(diǎn)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式P?(x)，并計(jì)算P?(1.5)的值。12.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(0,1),(1,3),(2,2)。構(gòu)造一個(gè)通過這三點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式P?(x)，并寫出其差商表。利用該插值多項(xiàng)式計(jì)算P?(0.5)的值。13.設(shè)三次Bézier曲線的控制點(diǎn)為P?(0,0),P?(1,2),P?(3,3),P?(4,0)。求該曲線在參數(shù)t=1/3處的切線方向向量。14.給定B-Spline曲線的控制點(diǎn)P?(0,0),P?(1,2),P?(2,3),P?(3,2),P?(4,0)，節(jié)點(diǎn)向量為U=(0,0,0,1,2,3,4)。求該曲線在參數(shù)t=1處的函數(shù)值。四、應(yīng)用與分析題（每小題17分，共34分）15.比較拉格朗日插值和牛頓插值在計(jì)算上的優(yōu)缺點(diǎn)。在圖形學(xué)應(yīng)用中，為什么對于復(fù)雜形狀的表示，分段多項(xiàng)式插值（如分段線性、Hermite、Bézier、B-Spline）通常比單一的高次多項(xiàng)式插值更受青睞？16.考慮一個(gè)需要生成一段光滑曲線的圖形學(xué)任務(wù)。已知曲線應(yīng)通過點(diǎn)A(0,0)和B(1,1)，并且要求在A點(diǎn)處的切線方向?yàn)?1,2)，在B點(diǎn)處的切線方向?yàn)?2,1)。請分別說明使用三次Hermite插值和三次Bézier曲線來構(gòu)造該曲線時(shí)，需要確定哪些條件（控制點(diǎn)位置、切線向量等），并簡述求解這些條件的基本思路。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.A5.B二、填空題6.拉格朗日7.4,-18.n階多項(xiàng)式B_i^n(t)的系數(shù)，滿足非負(fù)性、對稱性和和為1的性質(zhì)9.加110.Hermite三、計(jì)算題11.解析思路：利用拉格朗日基函數(shù)L_i(x)=Π_(j≠i)(x-xj)/(xi-xj)構(gòu)造P2(x)=Σ_(i=0to2)yi*L_i(x)。計(jì)算各基函數(shù)L0(1.5),L1(1.5),L2(1.5)的值，然后求和得到P2(1.5)。P?(x)=3*[(x-2)(x-3)/(1-2)(1-3)]+5*[(x-1)(x-3)/(2-1)(2-3)]+2*[(x-1)(x-2)/(3-1)(3-2)]P?(x)=(3/2)(x2-5x+6)-5(x2-4x+3)+(x2-3x+2)P?(x)=3x2-15x+18-5x2+20x-15+x2-3x+2P?(x)=-x2+2x+5P?(1.5)=-(1.5)2+2*(1.5)+5=-2.25+3+5=5.7512.解析思路：先計(jì)算各階差商：f[x?]=1,f[x?]=3,f[x?]=2。f[x?,x?]=(f[x?]-f[x?])/(x?-x?)=(3-1)/(2-1)=2。f[x?,x?]=(f[x?]-f[x?])/(x?-x?)=(2-3)/(3-2)=-1。f[x?,x?,x?]=(f[x?,x?]-f[x?,x?])/(x?-x?)=(-1-2)/(3-1)=-3/2。差商表見下。利用牛頓插值公式P?(x)=f[x?]+f[x?,x?](x-x?)+f[x?,x?,x?](x-x?)(x-x?)計(jì)算P?(0.5)。差商表：xy一階差商二階差商--------------------------01(缺失)13222-1--------------------------(0,1)1(1,2)2(2,3)-1P?(x)=1+2(x-0)+(-3/2)(x-0)(x-1)P?(0.5)=1+2(0.5-0)+(-3/2)(0.5-0)(0.5-1)=1+1-(-3/2)(0.5)(-0.5)=1+1-3/8=2-3/8=13/8=1.62513.解析思路：三次Bézier曲線的切線方向向量在t處為dC/dt=3(1-t)2P?+6(1-t)tP?+3t2P?。將P?,P?,P?坐標(biāo)代入，并計(jì)算t=1/3時(shí)的值。C(t)=(1-t)3P?+3(1-t)2tP?+3(1-t)t2P?+t3P?dC/dt=3(1-t)2(P?-P?)+6(1-t)tp?-p?+3t2(P?-P?)在t=1/3處：dC/dt|_(t=1/3)=3(1-1/3)2(P?-P?)+6(1-1/3)(1/3)(P?-P?)+3(1/3)2(P?-P?)=3(2/3)2[(1,2)-(0,0)]+6(2/3)(1/3)[(3,3)-(1,2)]+3(1/9)[(3,3)-(1,2)]=3(4/9)[(1,2)]+6(2/9)[(2,1)]+3(1/9)[(2,1)]=(4/3)(1,2)+(12/9)(2,1)+(1/3)(2,1)=(4/3,8/3)+(8/3,4/3)+(2/3,1/3)=(4/3+8/3+2/3,8/3+4/3+1/3)=(14/3,13/3)切線方向向量為(14/3,13/3)或任何其非零倍數(shù)，例如(14,13)。14.解析思路：根據(jù)給定控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量，計(jì)算B-Spline基函數(shù)N??(t)在t=1時(shí)的值。使用牛頓型B-Spline表示：P(t)=Σ_(i=0ton)P?*N??(t)。將t=1代入并求和得到P(1)。節(jié)點(diǎn)向量U=(0,0,0,1,2,3,4)，n=4，控制點(diǎn)P=(P?,P?,P?,P?)=(0,0,1,2,3,4)。求P(1)。需要計(jì)算N??(1),N??(1),N??(1),N??(1)。N??(1)=N??(1)=0(因?yàn)楣?jié)點(diǎn)區(qū)間[1,2)不包含t=1)N??(1)=N??(1)=0(因?yàn)楣?jié)點(diǎn)區(qū)間[3,4)不包含t=1)這里似乎控制點(diǎn)數(shù)量與節(jié)點(diǎn)向量長度不匹配（應(yīng)為n+1=5），或者節(jié)點(diǎn)向量給法特殊。通常假設(shè)節(jié)點(diǎn)向量是均勻參數(shù)化的，U=(0,1,2,3,4,5)。若按此假設(shè)：N??(1)=N??(1)=0N??(1)=N??(1)=0P(1)=P?*N??(1)+P?*N??(1)+P?*N??(1)+P?*N??(1)=0+0+1*0+2*0=0（注：若節(jié)點(diǎn)向量為(0,0,0,1,2,3,4)，則所有基函數(shù)在t=1處為0，導(dǎo)致P(1)=0。這與控制點(diǎn)位置矛盾，除非題目有特殊說明或存在筆誤。按標(biāo)準(zhǔn)定義計(jì)算結(jié)果為0。）四、應(yīng)用與分析題15.解析思路：首先對比兩者計(jì)算優(yōu)缺點(diǎn)。拉格朗日插值形式簡潔，但直接計(jì)算系數(shù)可能涉及復(fù)雜的分式運(yùn)算，且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)增加，計(jì)算量和數(shù)值穩(wěn)定性問題顯著（龍格現(xiàn)象）。牛頓插值使用差商，形式便于遞歸計(jì)算和修改數(shù)據(jù)點(diǎn)（增加或刪除節(jié)點(diǎn)），且在理論分析上更方便（差商與插值多項(xiàng)式的關(guān)系）。然后分析為何分段多項(xiàng)式更優(yōu)：高次單一多項(xiàng)式（如n>5或6）容易產(chǎn)生劇烈振蕩（龍格現(xiàn)象），難以精確控制形狀細(xì)節(jié)，且計(jì)算可能不高效。分段線性插值最簡單，但形狀不平滑。分段多項(xiàng)式（Hermite、Bézier、B-Spline）通過局部控制（控制點(diǎn)/向量）和分段實(shí)現(xiàn)，既能提供足夠自由度塑造復(fù)雜形狀，又能通過選擇合適的分段函數(shù)（如B-Spline）保證曲線/曲面的光順性（連續(xù)性），同時(shí)避免了單一高次多項(xiàng)式的問題。Bézier曲線具有良好的幾何意義和控制特性。B-Spline具有局部修改性、參數(shù)等距性等優(yōu)點(diǎn)，更適合復(fù)雜工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和動畫。16.解析思路：對于Hermite插值：需要確定4個(gè)控制點(diǎn)P?,P?,P?,P?。已知P?=(0,0),P?=(1,1)。還需要確定P?和P?的坐標(biāo)以及它們在端點(diǎn)的切線信息。在P?處，切線方向?yàn)?1,2)，意味著P?=P?+h?*(切向量/2)=(0,0)+h?*(1/2,1)。在P?處，切線方向?yàn)?2,1)，意味著P?=P?-h?*(切向量/2)=(1,1)-h?*(1/2,1)。其中h?和h?是待定參數(shù)（控制切線長度）。需要補(bǔ)充條件（如曲線總長度或特定點(diǎn)曲率）來唯一確定h?和h?。求解思路是利用已知的端點(diǎn)坐標(biāo)和切線方向，建立關(guān)于h?和h?的方程組，解出這兩個(gè)參數(shù)，進(jìn)而確