2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——常微分方程數(shù)值解法研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.對于初值問題`y'=f(t,y),y(t?)=y?`，數(shù)值解`y_n`是在離散節(jié)點`t?=t_0<t_1<...<t_n`上的近似值，其中`y_n≈y(t_n)`。下列說法中，正確的是()A.數(shù)值解`y_n`一定收斂于解析解`y(t)`。B.數(shù)值解`y_n`的收斂性取決于步長`h`的選擇，與具體數(shù)值方法無關(guān)。C.數(shù)值方法的一致性（相容性）是指`y(t_n)-y_n`隨`h→0`的行為。D.數(shù)值方法的收斂性是指當(dāng)步長`h`趨于零時，數(shù)值解`y_n`收斂到精確解`y(t_n)`。2.某數(shù)值方法求解`y'=f(t,y)`，其局部截斷誤差（LTE）的階為`p`，則稱該方法是()A.穩(wěn)定的。B.收斂的。C.具有`p`階精度。D.一致的。3.改進歐拉法（Heun'sMethod）可以看作是()A.歐拉法與中點法的加權(quán)平均。B.歐拉法與梯度的結(jié)合。C.一個隱式單步法。D.一個具有二階精度的顯式單步法。4.對于初值問題`y'=λy`(其中`λ`為復(fù)數(shù))，顯式歐拉方法絕對穩(wěn)定區(qū)域僅限于復(fù)平面的()A.左半平面。B.右半平面。C.實軸上。D.整個復(fù)平面。5.Adams-Bashforth方法（如二階和三階）是()A.顯式多步法。B.隱式多步法。C.單步法。D.R-K方法。二、填空題6.數(shù)值方法`y_{n+1}=y_n+hφ(t_n,y_n,h)`的局部截斷誤差（LTE）是`y(t_{n+1})-y_{n+1}`的`h`的______階無窮小量。7.若一個數(shù)值方法是一致的，則其精度階`p`必須滿足______條件。8.隱式歐拉方法`y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})`的局部截斷誤差（LTE）的階為______。9.龍格-庫塔方法（R-K方法）的核心思想是利用泰勒展開，通過選取合適的______和______來構(gòu)造高精度格式。10.Adams-Moulton方法（如二階和三階）是______多步法。三、計算題11.(10分)用改進歐拉法（Heun'sMethod）求解初值問題`y'=t+y`,`y(0)=1`，取步長`h=0.1`，計算`y(0.1)`和`y(0.2)`的近似值。（要求：先用歐拉法預(yù)測，再用隱式格式校正一次）12.(10分)考慮初值問題`y'=-10y`,`y(0)=1`。(1)分析用顯式歐拉法求解該問題時，步長`h`的限制條件（即穩(wěn)定性條件）。(2)若取`h=0.1`，判斷該步長是否穩(wěn)定？為什么？13.(15分)對于二階Adams-Bashforth方法：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_n))`。(1)寫出該方法的局部截斷誤差（LTE）的表達式`y(t_{n+2})-y_{n+2}`。(2)證明該方法是二階精度（即證明其LTE的階為2）。四、證明題14.(15分)證明梯形法（TrapezoidalMethod）`y_{n+1}=y_n+(h/2)(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))`是收斂的。即證明：若`f(t,y)`滿足Lipschitz條件，則梯形法收斂于初值問題`y'=f(t,y)`,`y(t?)=y?`的解`y(t)`。15.(15分)考慮線性測試方程`y'=λy`，其中`λ`為復(fù)數(shù)，`λ=α+iβ`。設(shè)一個數(shù)值方法的形式為`y_{n+1}=ωy_n`，其中`ω`為復(fù)數(shù)。證明該方法是絕對穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)`|ω|≤1`。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.B4.A5.A二、填空題6.一7.h→0時趨于08.二9.節(jié)點，系數(shù)10.隱式三、計算題11.解：初值問題：`y'=t+y`,`y(0)=1`,`h=0.1`改進歐拉法公式：`y_0=1`,`t_0=0`預(yù)測值：`y_1^*=y_0+h(f(t_0,y_0))=1+0.1(0+1)=1.1`校正值：`y_1=y_0+h(f(t_0+h,y_1^*))=1+0.1((0+0.1)+1.1)=1+0.1(1.2)=1.12``y_1=1.12``t_1=0.1`預(yù)測值：`y_2^*=y_1+h(f(t_1,y_1))=1.12+0.1(0.1+1.12)=1.12+0.1(1.22)=1.12+0.122=1.242`校正值：`y_2=y_1+h(f(t_1+h,y_2^*))=1.12+0.1((0.1+0.2)+1.242)=1.12+0.1(0.3+1.242)=1.12+0.1(1.542)=1.12+0.1542=1.2742``y(0.2)≈y_2=1.2742`12.解：(1)顯式歐拉法公式：`y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)`將`y'=-10y`代入：`y_{n+1}=y_n-10hy_n=y_n(1-10h)`令`R(h)=1-10h`，需要`|R(h)|<1`才能穩(wěn)定。解不等式：`|1-10h|<1`=>`-1<1-10h<1`=>`0<10h<2`=>`0<h<0.2`所以步長`h`的限制條件是`0<h<0.2`。(2)若取`h=0.1`，則`0<0.1<0.2`。因為`0.1`在穩(wěn)定區(qū)間`(0,0.2)`內(nèi)，所以該步長是穩(wěn)定的。13.解：(1)方法：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_n,y_n))`局部截斷誤差`LTE=y(t_{n+2})-y_{n+2}`使用泰勒展開，`y(t_{n+2})`在`t_n`處展開：`y(t_{n+2})=y(t_n)+(t_{n+2}-t_n)y'(t_n)+(t_{n+2}-t_n)2/2y''(t_n)+(t_{n+2}-t_n)3/6y'''(t_n)+O(h?)`由于`t_{n+2}-t_n=2h`，代入：`y(t_{n+2})=y(t_n)+2hy'(t_n)+2h2/2y''(t_n)+2h3/6y'''(t_n)+O(h?)``y(t_{n+2})=y(t_n)+2h(f(t_n,y(t_n)))+h2y''(t_n)+(4h3/6)y'''(t_n)+O(h?)``y(t_{n+2})=y(t_n)+2hf(t_n,y(t_n))+h2y''(t_n)+(2h3/3)y'''(t_n)+O(h?)`右邊`y_{n+2}`的表達式：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)[f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_n,y_n)]``f(t_{n+1},y_{n+1})`在`t_n`處展開：`f(t_{n+1},y_{n+1})=f(t_n+h,y_n+hf(t_n,y_n))``=f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+hf_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)+O(h2)``=f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h2f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)+O(h2)``f(t_n,y_n)`保持不變。代入`y_{n+2}`：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)[(f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h2f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n))+f(t_n,y_n)]``=y_n+(3h/2)[2f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h2f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)]``=y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h2/2)f_t(t_n,y_n)+(3h3/2)f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)``=y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h2/2)f_t(t_n,y_n)+(3h3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)`計算`LTE=y(t_{n+2})-y_{n+2}`：`LTE=[y(t_n)+2hf(t_n,y(t_n))+h2y''(t_n)+(2h3/3)y'''(t_n)+O(h?)]``-[y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h2/2)f_t(t_n,y_n)+(3h3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]``=[y(t_n)-y_n]+[2hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]``+[h2y''(t_n)-(3h2/2)f_t(t_n,y_n)]``+[(2h3/3)y'''(t_n)-(3h3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)`利用`y(t_n)-y_n=hy'(t_n)+O(h2)=hf(t_n,y(t_n))+O(h2)`：`LTE=hf(t_n,y(t_n))+O(h2)+[2hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]``+[h2y''(t_n)-(3h2/2)f_t(t_n,y_n)]+[(2h3/3)y'''(t_n)-(3h3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)``=[3hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]+[h2y''(t_n)-(3h2/2)f_t(t_n,y_n)]``+[(2h3/3)y'''(t_n)-(3h3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)``=3h[f(t_n,y(t_n))-f(t_n,y_n)]+h2[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h3[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)`由于`f(t,y)`滿足Lipschitz條件，`f(t_n,y(t_n))-f(t_n,y_n)=f_t(t_n,η)(y(t_n)-y_n)=f_t(t_n,η)hf(t_n,y_n)`，其中`η`介于`y_n`和`y(t_n)`之間。`LTE=3h[f_t(t_n,η)hf(t_n,y_n)]+h2[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h3[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)``=3h2f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)+h2[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h3[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h?)`由于`f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)`是`O(1)`量級，`y''(t_n)`是`O(1)`量級，`f_t(t_n,η)`是`O(1)`量級，`y'''(t_n)`是`O(1)`量級，`f_y(t_n,y_n)`是`O(1)`量級。上式中，`3h2f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)`是`O(h2)`量級，`h2[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,