2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將所有答案書(shū)寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。2.解答過(guò)程中，請(qǐng)注意展現(xiàn)你的思考過(guò)程和推理步驟。3.涉及計(jì)算和編程的題目，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)鍵步驟和核心代碼邏輯，而非僅僅列出最終結(jié)果。一、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的主要步驟及其含義。在解決一個(gè)實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，為什么模型假設(shè)至關(guān)重要？二、某城市中心區(qū)域有兩個(gè)大型超市A和B，它們銷(xiāo)售同類(lèi)商品，但價(jià)格略有不同。顧客從家到超市購(gòu)買(mǎi)商品后返回，選擇去哪個(gè)超市購(gòu)買(mǎi)取決于價(jià)格差異和出行成本（時(shí)間或距離）。假設(shè)城市可以被簡(jiǎn)化為一個(gè)平面區(qū)域，超市A位于點(diǎn)(0,0)，超市B位于點(diǎn)(10,0)。顧客的家均勻分布在以超市A和超市B為焦點(diǎn)的橢圓區(qū)域內(nèi)。橢圓的半長(zhǎng)軸為7，半短軸為5。假設(shè)顧客選擇去價(jià)格較低的超市，如果兩超市商品價(jià)格相同，則隨機(jī)選擇其中一個(gè)。請(qǐng)構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述顧客選擇去超市A或超市B的概率分布，并分析當(dāng)超市A和超市B的價(jià)格差如何影響這個(gè)分布。三、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的生態(tài)模型，描述某物種人口數(shù)量N隨時(shí)間t的變化。假設(shè)在沒(méi)有捕食者的情況下，該物種的增長(zhǎng)遵循指數(shù)增長(zhǎng)模型G(t)=N_0*e^(r*t)，其中N_0是初始人口，r是內(nèi)稟增長(zhǎng)率。存在另一種捕食者，其數(shù)量P遵循邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型P(t)=K/(1+a*e^(-b*t))，其中K是捕食者環(huán)境的最大承載量，a和b是正參數(shù)。捕食者主要捕食該物種，捕食速率與兩者人口數(shù)量的乘積成正比，比例系數(shù)為c。請(qǐng)建立一個(gè)描述該物種人口變化的數(shù)學(xué)模型，并分析捕食者對(duì)該物種種群動(dòng)態(tài)的影響。四、給定一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)，其中x_i是自變量，y_i是因變量。假設(shè)這些數(shù)據(jù)可以用一個(gè)非線(xiàn)性關(guān)系來(lái)描述，例如y=a*x^2+b*x+c。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)方法（無(wú)需編程實(shí)現(xiàn)，但需闡述原理）來(lái)估計(jì)模型參數(shù)a,b,c的值，使得模型在某種意義上（如最小二乘法）擬合數(shù)據(jù)的效果最好。簡(jiǎn)述你的方法，并說(shuō)明如何判斷擬合效果。五、設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。例如，可以是一個(gè)銀行柜臺(tái)服務(wù)顧客的排隊(duì)系統(tǒng)。系統(tǒng)應(yīng)包含顧客到達(dá)的規(guī)律（如服從泊松過(guò)程）、服務(wù)臺(tái)數(shù)量、服務(wù)時(shí)間分布（如定長(zhǎng)或負(fù)指數(shù)分布）、以及可能的排隊(duì)規(guī)則（如FIFO）。請(qǐng)定義模型中的關(guān)鍵參數(shù)，并描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的主要運(yùn)行指標(biāo)（如平均隊(duì)列長(zhǎng)度、平均等待時(shí)間、服務(wù)臺(tái)利用率等）的計(jì)算方法。不需要進(jìn)行具體的求解，只需闡述模型框架和指標(biāo)計(jì)算思路。六、假設(shè)你需要預(yù)測(cè)未來(lái)一年內(nèi)某種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量。你收集了過(guò)去五年的月度歷史銷(xiāo)售數(shù)據(jù)。請(qǐng)比較并簡(jiǎn)述使用以下兩種方法進(jìn)行預(yù)測(cè)的優(yōu)劣：1.基于時(shí)間序列的移動(dòng)平均法。2.基于回歸分析的模型（例如線(xiàn)性回歸或指數(shù)回歸）。在哪種情況下你認(rèn)為哪種方法可能更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由。試卷答案一、數(shù)學(xué)建模的主要步驟包括：1)問(wèn)題理解與分析：明確建模目的、背景和要求，收集數(shù)據(jù)；2)模型假設(shè)：簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)，確定模型適用的條件和范圍；3)模型建立：選擇合適的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和方法，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；4)模型求解：運(yùn)用解析或數(shù)值方法求解模型；5)模型檢驗(yàn)：將結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)象對(duì)比，驗(yàn)證模型的有效性；6)模型應(yīng)用與推廣：利用模型解決問(wèn)題，并根據(jù)需要進(jìn)行修正和推廣。模型假設(shè)至關(guān)重要，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界極其復(fù)雜，不可能完全精確地用數(shù)學(xué)模型完全描述。合理的假設(shè)能夠抓住問(wèn)題的主要矛盾，忽略次要因素，使模型變得可操作和可求解。不合理的假設(shè)可能導(dǎo)致模型偏離現(xiàn)實(shí)，無(wú)法有效解決問(wèn)題，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，假設(shè)的合理性直接影響模型的質(zhì)量和應(yīng)用價(jià)值。二、設(shè)超市A的價(jià)格為P_A，超市B的價(jià)格為P_B，超市A和超市B的價(jià)格差為ΔP=|P_A-P_B|。顧客的家位于橢圓x^2/(7^2)+y^2/(5^2)=1內(nèi)。顧客選擇去超市A的概率p_A取決于價(jià)格差和距離。當(dāng)ΔP>0時(shí)，顧客傾向于去價(jià)格較低的超市。對(duì)于橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)，到超市A和超市B的距離分別為d_A=sqrt(x^2+y^2)和d_B=sqrt((x-10)^2+y^2)。顧客選擇去哪個(gè)超市，除了價(jià)格因素，還可能受到距離因素的微小影響（例如，如果價(jià)格相同或價(jià)格差很小，距離較近的會(huì)被優(yōu)先選擇）。構(gòu)建概率模型的一種方法是引入一個(gè)權(quán)重函數(shù)W(d,ΔP)，表示在價(jià)格差為ΔP時(shí)，距離為d的點(diǎn)選擇價(jià)格較低超市的傾向度。該函數(shù)可以設(shè)計(jì)為W(d,ΔP)=f(ΔP)/(f(ΔP)+g(d))，其中f(ΔP)是與價(jià)格差相關(guān)的函數(shù)，g(d)是與距離相關(guān)的函數(shù)，且f(ΔP)和g(d)都隨其自變量增大而增大。例如，f(ΔP)=ΔP，g(d)=d。則點(diǎn)(x,y)選擇去超市A的概率為：p_A(x,y)=W(d_A,ΔP)*I(P_A<P_B)+W(d_B,ΔP)*I(P_A>=P_B)其中I(條件)是指示函數(shù)，當(dāng)條件為真時(shí)值為1，否則為0。為了得到全局概率分布，需要對(duì)該概率函數(shù)在橢圓區(qū)域上進(jìn)行積分（或求和，如果離散化處理）：總概率p_A=∫∫_橢圓區(qū)域p_A(x,y)dxdy分析：當(dāng)ΔP增大時(shí)，函數(shù)f(ΔP)增大，W(d,ΔP)的值更依賴(lài)于ΔP，意味著價(jià)格差異對(duì)選擇的影響更大，p_A(x,y)將更集中于價(jià)格較低的超市區(qū)域。反之，當(dāng)ΔP接近0時(shí)，距離因素g(d)的相對(duì)影響增大，選擇將更均勻分布。三、設(shè)該物種人口數(shù)量為N(t)，捕食者數(shù)量為P(t)。模型為：dN/dt=rN-αNP-βNdP/dt=δNP-γP其中rN_0*e^(r*t)是無(wú)捕食者時(shí)的指數(shù)增長(zhǎng)項(xiàng)；αNP是捕食者存在時(shí)對(duì)該物種的捕食項(xiàng)，α為捕食率系數(shù)；βN是該物種的死亡率或資源消耗項(xiàng)（可能與種群密度有關(guān)）；δNP是該物種被捕食者利用來(lái)增長(zhǎng)的食物項(xiàng)，δ為轉(zhuǎn)化效率；γP是捕食者的自然死亡率或資源消耗項(xiàng)。此模型是一個(gè)包含非線(xiàn)性項(xiàng)（αNP,δNP）的常微分方程組，描述了物種數(shù)量隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化。其中αNP項(xiàng)表示捕食者數(shù)量越多，對(duì)該物種的捕食速率越快；δNP項(xiàng)表示該物種數(shù)量越多，為捕食者提供的食物越多，捕食者增長(zhǎng)越快。分析：該模型類(lèi)似于帶有捕食作用的邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型。N(t)的增長(zhǎng)會(huì)受到自身資源限制（βN），同時(shí)會(huì)受到捕食者P(t)的抑制（αNP）。P(t)的增長(zhǎng)依賴(lài)于捕食N(t)（δNP），同時(shí)也會(huì)因自身死亡率的γP而衰減。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為（如振蕩、穩(wěn)定點(diǎn)）取決于模型參數(shù)r,α,β,δ,γ的取值以及初始條件N(0),P(0)。捕食者的存在通常會(huì)降低該物種的穩(wěn)定平衡點(diǎn)數(shù)量或大小，并可能導(dǎo)致兩者種群數(shù)量的周期性波動(dòng)。四、方法：可以使用多元線(xiàn)性回歸的思想，通過(guò)變量變換將非線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性關(guān)系。對(duì)于模型y=a*x^2+b*x+c，進(jìn)行變量變換。令z=x^2，則模型變?yōu)閥=a*z+b*x+c。這可以看作是y對(duì)z和x的線(xiàn)性回歸模型y=a*z+b*x+c。1.計(jì)算z_i=x_i^2。2.構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣(X,Y)，其中X是設(shè)計(jì)矩陣，包含z_i和x_i作為列向量：X=[[z_1,x_1],[z_2,x_2],...[z_n,x_n]]Y=[[y_1],[y_2],...[y_n]]3.使用最小二乘法估計(jì)參數(shù)向量β=[a,b,c]^T：β=(X^TX)^(-1)X^TY其中X^T是X的轉(zhuǎn)置矩陣。4.解出a,b,c即為所求模型參數(shù)的估計(jì)值。擬合效果判斷：1.計(jì)算殘差R_i=y_i-(az_i+bx_i+c)。2.計(jì)算總平方和TSS=Σ(y_i-?)^2，其中?是y的平均值。3.計(jì)算殘差平方和RSS=ΣR_i^2。4.計(jì)算決定系數(shù)R^2=1-RSS/TSS。R^2接近1表示模型擬合效果較好。5.可以進(jìn)行F檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)，判斷回歸系數(shù)a,b是否顯著不為0。6.也可以繪制擬合曲線(xiàn)y=a*x^2+b*x+c與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_i,y_i)的圖形，直觀(guān)判斷擬合效果。五、模型框架：1.顧客到達(dá)：假設(shè)顧客按照泊松過(guò)程到達(dá)系統(tǒng)，平均到達(dá)率為λ(λ>0)。即t時(shí)刻到達(dá)的顧客數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布。相鄰顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從參數(shù)為1/λ的負(fù)指數(shù)分布。2.服務(wù)臺(tái)：假設(shè)有S個(gè)獨(dú)立服務(wù)臺(tái)（服務(wù)窗口）。當(dāng)有服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，到達(dá)的顧客立即獲得服務(wù)；當(dāng)所有服務(wù)臺(tái)均忙時(shí)，顧客進(jìn)入隊(duì)列等待。3.服務(wù)時(shí)間：假設(shè)每個(gè)服務(wù)臺(tái)對(duì)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從一個(gè)分布。例如，定長(zhǎng)分布（每個(gè)顧客服務(wù)時(shí)間固定為s_0），或負(fù)指數(shù)分布（平均服務(wù)時(shí)間為1/μ，μ>0）。設(shè)服務(wù)時(shí)間的期望值為1/μ。4.排隊(duì)規(guī)則：假設(shè)采用先到先服務(wù)（FIFO）的排隊(duì)規(guī)則。即先到達(dá)的顧客先接受服務(wù)。穩(wěn)態(tài)指標(biāo)計(jì)算思路：1.系統(tǒng)狀態(tài)定義：用(n,k)表示系統(tǒng)中有n個(gè)顧客等待（在隊(duì)列中）或正在被服務(wù)（在服務(wù)臺(tái)前），其中k表示正在工作的服務(wù)臺(tái)數(shù)量(0<=k<=S)。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移率：定義λ_n為系統(tǒng)處于狀態(tài)(n,k)時(shí)的顧客到達(dá)率。根據(jù)泊松到達(dá)過(guò)程的無(wú)后效性，λ_n=λ。定義μ_k為系統(tǒng)處于狀態(tài)(n,k)時(shí)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)率。如果k<S，即有空閑服務(wù)臺(tái)，則所有空閑服務(wù)臺(tái)同時(shí)開(kāi)始服務(wù)，總服務(wù)率為S*μ。如果k=S，即所有服務(wù)臺(tái)均忙，則服務(wù)率仍為S*μ（假設(shè)忙時(shí)服務(wù)率不變，或?yàn)棣蹋?.穩(wěn)態(tài)平衡方程：對(duì)于穩(wěn)態(tài)分布π_n，建立關(guān)于所有狀態(tài)(n,k)的平衡方程：Σ_(n'=0)^∞π_(n',k')*λ_(n',k')=Σ_(n'=0)^∞π_(n,k')*λ_(n,k')該方程表示進(jìn)入狀態(tài)(n,k)的總流率等于離開(kāi)狀態(tài)(n,k)的總流率。4.正規(guī)化條件：所有狀態(tài)概率之和為1：Σ_(n=0)^∞Σ_(k=0)^(S)π_(n,k)=1。5.求解穩(wěn)態(tài)分布π_n：聯(lián)立平衡方程和正規(guī)化條件，求解得到各穩(wěn)態(tài)概率π_(n,k)。6.計(jì)算運(yùn)行指標(biāo)：*平均隊(duì)列長(zhǎng)度L_q=Σ_(n=1)^∞n*π_n。*平均系統(tǒng)中的顧客數(shù)L=L_q+S*ρ，其中ρ=(S*μ*λ)/(S*μ)^2=λ/μ是交通強(qiáng)度，要求ρ<1。*平均等待時(shí)間W_q=L_q/λ。*平均系統(tǒng)時(shí)間W=W_q+1/μ。*服務(wù)臺(tái)利用率ρ=L/(S*μ)。六、1.移動(dòng)平均法：*原理：對(duì)過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的數(shù)據(jù)值（如n個(gè)或m個(gè)）進(jìn)行平均，以平滑短期波動(dòng)，預(yù)測(cè)下一個(gè)值。常用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均（SMA）或加權(quán)移動(dòng)平均（WMA）。SMA對(duì)最近和較近的數(shù)據(jù)賦予相同權(quán)重。WMA對(duì)較近的數(shù)據(jù)賦予較大權(quán)重。*優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量小，對(duì)近期變化反應(yīng)較快（特別是WMA）。*缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮時(shí)間趨勢(shì)和季節(jié)性，僅基于歷史數(shù)據(jù)，可能無(wú)法捕捉長(zhǎng)期趨勢(shì)。預(yù)測(cè)值總是滯后于實(shí)際數(shù)據(jù)的近期高點(diǎn)或低點(diǎn)。對(duì)異常值敏感。只適用于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)水平趨勢(shì)或波動(dòng)較小的情況。2.回歸分析模型（線(xiàn)性/指數(shù)回歸）：*原理：建立因變量（需求量）與自變量（時(shí)間，如月份t）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（模型）。線(xiàn)性回歸假設(shè)需求量隨時(shí)間線(xiàn)性增長(zhǎng)（y=a+bt）。指數(shù)回歸假設(shè)需求量的增長(zhǎng)率（環(huán)比）是常數(shù)（ln(y)=a+bt）。*優(yōu)點(diǎn)：能捕捉數(shù)據(jù)的趨勢(shì)（線(xiàn)性）或變化率（指數(shù)），提供對(duì)未來(lái)值的預(yù)測(cè)值。模型可以解釋自變量對(duì)因變量的影響程度。可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，判斷模型擬合的好壞以及參數(shù)的顯著性。*缺點(diǎn)：假設(shè)可能不完全符合實(shí)際（如線(xiàn)性增長(zhǎng)可能不持續(xù)），模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合效果好壞直接影響預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。易受異常值影響?？赡芎雎约竟?jié)性因素（簡(jiǎn)單線(xiàn)性/指數(shù)回歸）。比較與選擇：選擇哪種方法取決于數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和預(yù)測(cè)目標(biāo)。*如果歷史數(shù)