2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)科普與科學(xué)普及考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、請(qǐng)選擇三個(gè)你熟悉的、適合進(jìn)行科普的數(shù)學(xué)概念（例如：勾股定理、斐波那契數(shù)列、概率論中的大數(shù)定律、微積分中的極限等），分別用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言解釋每個(gè)概念的基本含義，并各舉一個(gè)能體現(xiàn)其趣味性或應(yīng)用性的實(shí)例（實(shí)例可以是歷史故事、生活現(xiàn)象、或其他學(xué)科中的應(yīng)用），面向的受眾可以是中學(xué)生或?qū)?shù)學(xué)感興趣的普通大眾。要求語(yǔ)言通俗、表達(dá)清晰。二、假設(shè)你要為中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生準(zhǔn)備一次關(guān)于“函數(shù)及其圖像”的科普講座。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)該講座的詳細(xì)內(nèi)容大綱，包括但不限于：講座的引入方式（如何激發(fā)學(xué)生興趣）、核心內(nèi)容的講解計(jì)劃（如函數(shù)的定義、常用函數(shù)類型及其圖像特點(diǎn)、函數(shù)圖像變換等，需用淺顯比喻或?qū)嵗忉專?、互?dòng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)（如提問(wèn)、小實(shí)驗(yàn)或簡(jiǎn)單應(yīng)用）、講座的總結(jié)與延伸。要求體現(xiàn)科學(xué)性與趣味性結(jié)合，結(jié)構(gòu)清晰，語(yǔ)言生動(dòng)。三、閱讀以下這段關(guān)于“莫比烏斯帶”的科普描述：“想象一個(gè)長(zhǎng)方形的紙條，把它的一端扭轉(zhuǎn)180度，然后與另一端粘合起來(lái)。這樣一個(gè)扭轉(zhuǎn)后粘合的紙帶就構(gòu)成了莫比烏斯帶。有趣的是，如果你用筆在莫比烏斯帶表面沿著中線畫一條線，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你只畫了一條線就畫遍了整個(gè)表面，而且你始終沒(méi)有越過(guò)紙帶的邊緣，最終畫到了線的起點(diǎn)。這說(shuō)明莫比烏斯帶只有一個(gè)面，只有一個(gè)邊緣。”請(qǐng)分析這段描述的優(yōu)點(diǎn)和不足之處。如果你是這段描述的作者，你會(huì)如何修改或補(bǔ)充，使其更加準(zhǔn)確、清晰、易于理解，并更具趣味性？請(qǐng)闡述你的修改思路和具體建議。四、給定一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“如何用最少的直尺筆畫出所有整數(shù)個(gè)正方形（例如，用1筆畫出1個(gè)正方形，用2筆畫出1個(gè)和4個(gè)正方形，用3筆畫出1個(gè)、4個(gè)和9個(gè)正方形等）？”請(qǐng)首先給出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解法（即證明最少需要多少筆才能畫出從1到n的所有正方形）。然后，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，向一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的小學(xué)生解釋這個(gè)問(wèn)題的解法思路。要求使用形象化的比喻、生活中的實(shí)例，或者簡(jiǎn)單的圖形演示，解釋為什么按這個(gè)方法能夠成功，并強(qiáng)調(diào)其中的數(shù)學(xué)思想（如分類、遞推等）。試卷答案一、（以下為示例答案，實(shí)際答案需根據(jù)學(xué)生選擇的具體概念和實(shí)例而定）1.概念：勾股定理*解釋：勾股定理說(shuō)的是，在一個(gè)直角三角形（有一個(gè)角是90度的三角形）中，兩條直角邊（形成90度角的兩條邊）的平方和，等于斜邊（最長(zhǎng)的邊，對(duì)著90度角的那條邊）的平方。想象一個(gè)樓梯，如果樓梯踏板和墻壁的寬度分別是3和4，那么你從地面到天花板的高度，就是5（因?yàn)?2+42=9+16=25=52）。*實(shí)例：古代埃及人曾利用勾股定理建造金字塔。他們可能將兩根繩子分別系在兩個(gè)木樁上，拉直成直角，再用第三根繩子在繩圈處打結(jié)，沿著這個(gè)繩圈走，就能圍成一個(gè)直角三角形，從而確保建筑結(jié)構(gòu)的直角。2.概念：斐波那契數(shù)列*解釋：斐波那契數(shù)列是一串?dāng)?shù)字，從0和1開(kāi)始，后面的每一個(gè)數(shù)字都是前面兩個(gè)數(shù)字的和。序列是：0,1,1,2,3,5,8,13,21...這個(gè)數(shù)列很有趣，因?yàn)樗谧匀唤缰薪?jīng)常出現(xiàn)。比如，很多植物的花瓣數(shù)、種子排列方式、樹葉在莖上的排列等，都遵循這個(gè)數(shù)列的規(guī)律。*實(shí)例：蝴蝶的翅膀圖案常常呈現(xiàn)出斐波那契數(shù)列相關(guān)的螺旋結(jié)構(gòu)。向日葵的種子排列也是按照斐波那契數(shù)列的規(guī)律，以螺旋方式緊密排列，這樣可以最大限度地利用空間。3.概念：概率論中的大數(shù)定律*解釋：大數(shù)定律告訴我們，如果你重復(fù)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)很多次，比如拋硬幣，正面朝上的次數(shù)和總次數(shù)的比值，就會(huì)越來(lái)越接近正面朝上的概率（如果是均勻硬幣，就是50%）。次數(shù)越多，這個(gè)比值就越接近理論概率。它不是說(shuō)每次拋硬幣都會(huì)平均，而是說(shuō)長(zhǎng)期來(lái)看是穩(wěn)定的。*實(shí)例：超市每天收銀臺(tái)都會(huì)處理大量顧客，通過(guò)統(tǒng)計(jì)大量交易數(shù)據(jù)，可以大致推斷出什么商品是暢銷品（購(gòu)買次數(shù)多的商品）。雖然某一天某個(gè)商品銷量可能很高或很低，但長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)下來(lái)，各種商品的銷量比例會(huì)趨向于一個(gè)穩(wěn)定值。二、講座內(nèi)容大綱：函數(shù)及其圖像1.引入：*方式：展示幾幅有趣的圖像，如心電圖（隨時(shí)間變化的曲線）、氣溫變化曲線、音樂(lè)波形圖等，提問(wèn)：“大家看這些圖像，它們有什么共同點(diǎn)？它們是怎么表示信息的？”引導(dǎo)學(xué)生思考“關(guān)系”和“對(duì)應(yīng)”的概念，自然過(guò)渡到函數(shù)。*內(nèi)容：簡(jiǎn)述函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述事物之間變化關(guān)系的一種重要模型，無(wú)處不在。2.核心內(nèi)容講解：*函數(shù)的基本概念：什么是函數(shù)？可以把它想象成一個(gè)“機(jī)器”或“規(guī)則”，你輸入一個(gè)值（叫做自變量），它就按照規(guī)則輸出一個(gè)對(duì)應(yīng)的值（叫做因變量）。強(qiáng)調(diào)“一一對(duì)應(yīng)”的特性（在一個(gè)函數(shù)中，同一個(gè)輸入只能對(duì)應(yīng)一個(gè)輸出）。*函數(shù)的表示方法：介紹三種常見(jiàn)方法：解析式（用數(shù)學(xué)符號(hào)和字母表示，如y=x2）、列表法（用表格列出自變量和對(duì)應(yīng)的因變量值）、圖像法（用坐標(biāo)系中的曲線表示）。重點(diǎn)講解圖像法。*常用函數(shù)類型及其圖像特點(diǎn)：*一次函數(shù)(y=kx+b):像一條直線。k決定斜率（陡峭或平緩），b決定與y軸的交點(diǎn)。用“爬山”或“傾斜”的比喻解釋k的意義。*二次函數(shù)(y=ax2+bx+c):像一個(gè)拋物線（碗口朝上或朝下）。a決定開(kāi)口大小和方向，b影響對(duì)稱軸位置，c決定與y軸的交點(diǎn)。用“投籃弧線”、“山谷”的比喻。*其他簡(jiǎn)單函數(shù)（可選）：如正比例函數(shù)（特例一次函數(shù)）、指數(shù)函數(shù)（強(qiáng)調(diào)快速增長(zhǎng)或衰減，如細(xì)菌分裂、人口增長(zhǎng)）、對(duì)數(shù)函數(shù)（反函數(shù)，強(qiáng)調(diào)緩慢增長(zhǎng)）等，通過(guò)圖像直觀展示其特點(diǎn)。*函數(shù)圖像的變換：介紹平移（上下左右移動(dòng)）、伸縮（拉伸或壓縮）、反射（關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱）等基本變換，并解釋它們?nèi)绾斡绊憟D像形狀和位置。用“圖形魔術(shù)”的比喻。3.互動(dòng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)：*提問(wèn)：“請(qǐng)大家觀察這張直線圖像，它表示什么關(guān)系？（溫度隨時(shí)間變化？）”“這個(gè)拋物線開(kāi)口是向上還是向下？它最高/最低點(diǎn)在哪里？”*活動(dòng)：小組合作，根據(jù)給定的幾個(gè)點(diǎn)畫函數(shù)圖像，并描述該函數(shù)代表的情境（如“一個(gè)物體自由落體，記錄下不同時(shí)間的高度”）。*演示：教師在黑板上用粉筆動(dòng)態(tài)畫出函數(shù)圖像的變換過(guò)程。4.總結(jié)與延伸：*總結(jié)：回顧函數(shù)的核心概念、圖像表示以及幾種常見(jiàn)函數(shù)的形狀特點(diǎn)。強(qiáng)調(diào)函數(shù)是理解世界變化規(guī)律的工具。*延伸：簡(jiǎn)單介紹函數(shù)在物理（運(yùn)動(dòng)學(xué)）、經(jīng)濟(jì)學(xué)（成本收益）、計(jì)算機(jī)科學(xué)（算法）等領(lǐng)域的應(yīng)用。鼓勵(lì)學(xué)生留意生活中函數(shù)的例子。布置思考題：觀察你身邊的事物，能否找到可以用函數(shù)關(guān)系描述的變化？三、莫比烏斯帶科普描述評(píng)析與修改建議優(yōu)點(diǎn)：1.概念清晰：描述準(zhǔn)確地解釋了莫比烏斯帶的形成方式（扭轉(zhuǎn)180度粘合）。2.核心特性突出：準(zhǔn)確指出了莫比烏斯帶只有一個(gè)面、一個(gè)邊緣的核心特性，并通過(guò)“中線畫線”的實(shí)例進(jìn)行了有效驗(yàn)證。3.結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單：敘述邏輯清晰，從定義到特性再到驗(yàn)證，步驟分明。不足之處：1.語(yǔ)言略顯生硬：部分表述（如“沿著中線畫一條線”、“始終沒(méi)有越過(guò)紙帶的邊緣”）雖然準(zhǔn)確，但不夠生動(dòng)形象，對(duì)于普通讀者可能不夠友好。2.比喻缺失：整段描述偏重于直接解釋和邏輯說(shuō)明，缺乏易于理解的比喻或類比，使得抽象的空間概念不易被非專業(yè)讀者直觀把握。3.引入平淡：開(kāi)頭直接定義，缺乏引人入勝的引入方式，可能無(wú)法立刻抓住讀者的興趣。4.缺乏背景和應(yīng)用：沒(méi)有提及莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)背景、名字由來(lái)，也沒(méi)有介紹它在現(xiàn)實(shí)世界（如工業(yè)、藝術(shù)）中的應(yīng)用，科普的廣度和深度不足。修改思路與具體建議：1.增加生動(dòng)比喻：可以將莫比烏斯帶比作“單行道紙帶”——當(dāng)你走在一條紙帶上時(shí)，通常需要兩邊行走，但在莫比烏斯帶上，你只需沿著中線走，就能走遍整個(gè)表面，最終回到起點(diǎn)，而從未“離開(kāi)”紙帶。2.優(yōu)化語(yǔ)言表達(dá)：將“沿著中線畫一條線”改為“想象在紙帶的中線上畫一筆，不用管你從哪邊開(kāi)始”；將“始終沒(méi)有越過(guò)紙帶的邊緣”改為“你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你只畫了一筆，就畫遍了整條紙帶，包括你最初畫的‘上邊’和‘下邊’，而且你根本沒(méi)有‘翻過(guò)面’”。3.設(shè)計(jì)引入：可以從“你相信一張紙帶翻個(gè)面粘合后，筆能只畫一次就畫到所有面上嗎？”這樣的疑問(wèn)開(kāi)始，激發(fā)好奇心。4.補(bǔ)充背景與應(yīng)用：簡(jiǎn)單介紹莫比烏斯帶是由德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的，以及它在工業(yè)上的應(yīng)用（如傳輸帶、膠帶，可以自纏繞永不磨損）和藝術(shù)上的應(yīng)用（如單面雕塑）。5.增加互動(dòng)思考：可以在描述后提出問(wèn)題，如“如果你把一張紙條粘合成莫比烏斯帶，然后用剪刀沿著中線剪開(kāi)，會(huì)發(fā)生什么？結(jié)果會(huì)是一短一長(zhǎng)兩條帶子嗎？”（答案是否定的，會(huì)變成一條更長(zhǎng)的、有兩圈孔的帶子），引發(fā)讀者進(jìn)一步思考和探索。修改后的示例片段（僅展示部分修改）：“想象一下，你手里拿著一根普通的紙帶?，F(xiàn)在，不用撕開(kāi)，把它的一端扭轉(zhuǎn)180度，然后與另一端粘合起來(lái)。哇！你創(chuàng)造了一個(gè)神奇的物體——莫比烏斯帶！這個(gè)形狀有什么特別之處呢？試試在紙帶的中線上畫一筆。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你只需一筆，就能畫遍整個(gè)表面，包括原本的‘里面’和‘外面’，而且你從未‘翻過(guò)身’。這就像一條單行道紙帶，你沿著中線走，就能走遍全境。這個(gè)只有一個(gè)面、一個(gè)邊緣的奇妙結(jié)構(gòu)，最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的。有趣的是，這種‘單面’特性在工業(yè)上有用武之地，比如制造可以自纏繞永不磨損的傳輸帶。不信？你可以自己動(dòng)手試試看！”四、問(wèn)題數(shù)學(xué)解法：最少需要2筆。*第1筆：畫一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形。*第2筆：同時(shí)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，使其一個(gè)頂點(diǎn)與第一個(gè)正方形的中心重合（或者一個(gè)頂點(diǎn)在第一個(gè)正方形內(nèi)部）。這樣，這個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形會(huì)與第一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形共享一部分區(qū)域，但通過(guò)巧妙放置，可以使得從外部看，這兩個(gè)正方形被一筆（連續(xù)的線條）連接起來(lái)，或者至少在一個(gè)視角上可以視為一筆畫出。更準(zhǔn)確的表述是，第2筆畫出的邊長(zhǎng)為2的正方形，其一部分線條覆蓋了第1筆正方形的一部分，使得整體看起來(lái)像是用2筆描繪了1+4+9=14個(gè)正方形（如果第2筆正方形足夠大且覆蓋恰當(dāng)）。但題目要求畫出從1到n的所有正方形，對(duì)于n=1,2,3,4,5...，2筆可以畫出所有這些正方形（通過(guò)第2筆正方形的不同放置策略）。關(guān)鍵在于第2筆的放置需要保證能覆蓋或包含前一個(gè)正方形，并與其他所需正方形形成連續(xù)或合理的組合。向小學(xué)生的解釋方案：“小朋友們，我們來(lái)玩一個(gè)畫正方形的游戲！規(guī)則是這樣的：你需要用直尺和筆，畫出盡可能多的不同大小的正方形。比如，先畫一個(gè)最小的正方形，這就算1個(gè)。然后畫一個(gè)比它大一點(diǎn)的正方形，這就算2個(gè)了。再畫一個(gè)更大更大的正方形，這就算3個(gè)、4個(gè)，甚至更多！但是，游戲有個(gè)小秘密：你只能用兩支筆（或者說(shuō)，畫兩次直線，可以畫斷再接，但中間不能完全中斷成兩筆獨(dú)立的長(zhǎng)線）來(lái)完成這個(gè)任務(wù)，能不能做到呢？”“想象一下，你畫了一個(gè)邊長(zhǎng)是1的小正方形?，F(xiàn)在，我們要畫一個(gè)大大的正方形，讓它里面能放下剛才那個(gè)小正方形，還能再放下好幾個(gè)小正方形。我們?cè)囋嚢堰@個(gè)大大的正方形畫成一個(gè)大大的‘十字’形狀，讓中間那個(gè)正方形就是剛才我們畫的小正方形。你看，這個(gè)十字形的大正方形里面，不是正好有四個(gè)角，每個(gè)角里面都藏著一個(gè)和原來(lái)一樣的小正方形嗎？這樣，我們這個(gè)大大的十字形正方形，就包含了：它自己這個(gè)最大的正方形，還有它中間的那個(gè)小正方形，再加上它四個(gè)角里面的四個(gè)小正方形！一共有5個(gè)正方形啦！”“而且，我們畫這個(gè)大大的十字形正方形，其實(shí)只需要一筆就能畫完（如