/湖北省新八校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．0 D．22．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．3．已知空間向量．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．104．一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到白球的概率是（

）A． B． C． D．5．在平行六面體中，設(shè)．若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則向量可表示為（

）A． B． C． D．6．已知直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線，則直線的斜率為（

）A．-3 B． C．3 D．47．已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．0二、多選題9．已知直線，則下列正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為B．若，則C．若或2，則與相互平行D．若，則直線不經(jīng)過第三象限10．在中，角的對(duì)邊分別是，則下列正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．若，則為等腰三角形C．若不是直角三角形，則滿足D．若，且，則為等邊三角形11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列正確的是（

）A．直線與平面所成最小角的余弦值為B．若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，平面與交于點(diǎn)，則C．若，則從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題12．直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于0，則直線的方程為．13．湖北恩施被譽(yù)為“世界硒都”，又被稱為祖國的后花園．恩施有大峽谷、騰龍洞、神農(nóng)溪這3個(gè)級(jí)景區(qū)，已知騰龍洞景區(qū)有金牌講解員2人，大峽谷景區(qū)有金牌講解員3人，若從這5人中隨機(jī)抽取2人，則抽取的這兩人來自不同景區(qū)的概率為．14．?dāng)?shù)學(xué)家笛卡爾通過研究一簇花瓣和葉形曲線特征，得到了一簇花瓣曲線的一般方程為：，該方程表示的曲線就是優(yōu)美的“笛卡爾葉形線”，若某種花瓣曲線特征滿足（如圖），該花瓣曲線上任意一點(diǎn)，則的范圍為．四、解答題15．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語．已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．求：(1)“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)2個(gè)成語的概率；(2)“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率．16．在中，已知點(diǎn)，過頂點(diǎn)作的垂線，該垂線方程為．(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且邊的中線所在直線的方程為，求直線的方程．17．2025年9月13日，以“峽谷英雄·騎遇恩施”為主題的2025中國公路自行車公開賽盛大開幕，其中志愿者的服務(wù)工作是賽事順利舉辦的重要保障．恩施市文旅局承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了200名志愿者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求的頻率，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績(jī)的下四分位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這200名志愿者面試成績(jī)的平均值；(3)現(xiàn)按比例分配采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這200名面試者抽取40人作為終點(diǎn)拉拉隊(duì)隊(duì)員，其中抽到的第三組和第五組的拉拉隊(duì)員組成隊(duì)，若抽到的第三組拉拉隊(duì)面試者的成績(jī)平均數(shù)和方差分別為70和22，抽到的第五組拉拉隊(duì)面試者的成績(jī)平均數(shù)和方差分別為90和12，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)隊(duì)志愿者面試成績(jī)的方差．18．如圖，在三棱柱中，滿足平面，且．(1)若，且，分別是，的中點(diǎn)．①證明：平面平面；②求平面與平面的夾角的余弦值．(2)若，求三棱錐的外接球的半徑的最小值．19．在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)求；(2)已知，且為銳角三角形，為其外心．①若點(diǎn)到邊的距離，求；②設(shè)為垂心，為內(nèi)心，且不是等邊三角形，求比值的取值范圍．

題號(hào)12345678910答案CDCADCBBABDACD題號(hào)11答案ABD1．C根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：C.2．D由直線方程可知斜率,進(jìn)而可得直線的傾斜角.【詳解】由直線方程可知斜率為.故選：D3．C根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由，可得，解?故選：C.4．A由古典概型的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可得摸到白球的概率為．故選：A5．D根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】在平行六面體中，設(shè)且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，可得．故選：D.

6．C由題意可知直線與直線平行，得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的斜率為，求解即可．【詳解】由題意可知直線與直線平行，則直線的斜率與直線的斜率相等，等于．設(shè)直線的傾斜角為，則，則直線的斜率為．故選：C．7．B根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式結(jié)合條件可得圓臺(tái)底面圓半徑，然后根據(jù)圓臺(tái)的體積公式即得.【詳解】設(shè)圓臺(tái)底面圓半徑分別為，則由圓臺(tái)側(cè)面積公式得，所以，又由題可知，所以，所以，所以圓臺(tái)的體積為．故選：B.8．B記，用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算解題．【詳解】設(shè)等邊的重心為，記，則有，從而，又，可得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.9．ABD根據(jù)直線的斜率和方向向量的關(guān)系，可判定A正確；根據(jù)兩直線垂直列出方程，可判定B正確；根據(jù)兩直線平行，列出方程組，可得判定C不正確；根據(jù)直線的斜率和在軸上的截距，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，所以A正確；對(duì)于B，由，可得，解得，所以B正確；對(duì)C，若與相互平行，則，解得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線的斜率小于0，且在軸上的截距為，且過點(diǎn)，直線不經(jīng)過第三象限，所以D正確．故選：ABD.10．ACD對(duì)于A，由兩邊平方整理得，則，故為鈍角；對(duì)于B，因?yàn)榻Y(jié)合正弦定理可得或；選項(xiàng)C：利用兩角和的正切公式求解判斷；對(duì)于D，由條件結(jié)合余弦定理可得，．【詳解】對(duì)于A，，兩邊平方得，即，則，因?yàn)?，可知，則，故為鈍角，故A對(duì)；對(duì)于B，因?yàn)?，所以由，根?jù)正弦定理可得，所以可得，即，即或，因?yàn)?，所以或，則為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C：因?yàn)?，且是的?nèi)角，所以，故C正確；對(duì)于D，，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，?jù)余弦定理：，可得：，化簡(jiǎn)得：，即得：，故，又，則為等邊三角形，則D正確．故選：ACD．11．ABD以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法，結(jié)合二次函數(shù)最值可求得A正確；作出截面后，結(jié)合平行線分線段成比例可確定點(diǎn)位置，知B正確；平面沿展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求得C錯(cuò)誤；利用向量法可找到的垂面，進(jìn)而確定點(diǎn)軌跡，知D正確.【詳解】對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，平面的法向量，，若直線與平面所成角最小，則取最小值，，當(dāng)時(shí)，即與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角最小，此時(shí)，最小角的余弦值為，A正確；對(duì)于B，連接，分別為中點(diǎn)，，又，，則平面即為平面，，，，，即，B正確；對(duì)于C，將平面沿展開，使得平面與平面共面，連接，則即為所求最短距離；若，則，，，又，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，由A知：，，，，，，，，，，，，平面，平面；，點(diǎn)軌跡即為的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)為，D正確.故選：ABD.12．和根據(jù)題意，分直線過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）若過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于0，則直線過原點(diǎn)滿足，此時(shí)直線的方程為：；（2）設(shè)直線，將代入方程，解得：，故直線的方程為：；故直線的方程為：和．故答案為：和13．/0.6由古典概型的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】大峽谷景區(qū)3人，騰龍洞景區(qū)2人，設(shè)大峽谷景區(qū)的3人分別為，騰龍洞景區(qū)2人分別為，則在其中任取2人的基本事件總數(shù)，分別為：．則抽取的這兩人來自不同景區(qū)的情況分別為：；故抽取的這兩人來自不同景區(qū)的概率為．故答案為：14．根據(jù)題意，設(shè)，代入曲線方程，然后分與討論，即可得到的范圍，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，代入曲線方程得，即，當(dāng)，即時(shí)，得，矛盾；當(dāng)即時(shí)，可得，又，故，所以.故答案為：15．(1)(2)根據(jù)題意，由獨(dú)立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)分別表示“甲，乙兩輪猜對(duì)個(gè)成語”的事件，其中．根據(jù)獨(dú)立性假定，得，，記“兩輪活動(dòng)中”星隊(duì)”共猜對(duì)2個(gè)成語“，則，且互斥，與與與相互獨(dú)立，所以．因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)2個(gè)成語的概率為.（2）記“兩輪活動(dòng)中‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語”，則．所以，．因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為．16．(1)(2)（1）根據(jù)垂直直線方程可得所求直線的斜率，利用已知點(diǎn)以及點(diǎn)斜式方程，可得答案；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)其所在直線以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立方程組，解得坐標(biāo)，再由兩個(gè)已知點(diǎn)，可得答案.【詳解】（1）由題意，直線的斜率為，所以直線的方程為，即（2）設(shè)點(diǎn)，則，的中點(diǎn)在中線上，則，聯(lián)立解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以，直線的斜率為，故直線的方程為．17．(1)，下四分位數(shù)為63；(2)69.5(3)57（1）先確定，即可求，再由下四分位數(shù)的定義即可求解；（2）由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（3）由兩組數(shù)據(jù)方差計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由圖得，解之可得，故的頻率；成績(jī)落在的頻率為0.05，成績(jī)的頻率為0.25設(shè)樣本成績(jī)的下四分位數(shù)為，則，解得．（2）根據(jù)題意知，估計(jì)200名志愿者候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為69.5．（3）據(jù)題意知：抽到的第三組、第五組拉拉隊(duì)面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)、方差分別為，且抽到的兩組的頻數(shù)之比為，則抽到的隊(duì)的面試成績(jī)的平均數(shù)為，抽到的隊(duì)的面試成績(jī)的方差：則抽到的隊(duì)的面試成績(jī)的方差為57．18．(1)①證明見解析；②；(2).（1）①利用勾股定理與線面垂直的判定得到平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理證明即可，②建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解余弦值即可.（2）利用外接球的性質(zhì)結(jié)合正弦定理得到，再結(jié)合基本不等式求解其最小值，最后得到的最小值即可.【詳解】（1）①如圖，在三棱柱中，因?yàn)槊?，且面，所以，由題意得，設(shè)；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)椋?，所以面，因?yàn)槊妫?，由勾股定理得，則可得，得到，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?②建立為軸，為軸，過點(diǎn)垂直于底面的直線為軸的空間直角坐標(biāo)系，據(jù)題可知，，則，設(shè)平面的法向量為，則得到，令，解得，，則，由上問可知平面，而面，故，又因?yàn)槠矫?，且面，所以，而平面，則平面，可得平面的法向量為，故平面與平面的夾角的余弦值．（2）據(jù)題知，在等腰中，設(shè)的外