知識(shí)點(diǎn)15：輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)問題考點(diǎn)一：輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)計(jì)算問題【知識(shí)思維方法技巧】應(yīng)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)解決連接體問題的思維是：使用整體法與隔離法確定研究對(duì)象后，再應(yīng)用正交分解法或分配原則法解題。題型一：同條件同加速度連接體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算問題【知識(shí)思維方法技巧】可以直接用質(zhì)量正比例分配原則法處理同條件同速度連接體的動(dòng)力學(xué)計(jì)算的問題。力的質(zhì)量正比例分配原則法：一起加速運(yùn)動(dòng)的問題，物體間的相互作用力按質(zhì)量正比例分配。與有無摩擦無關(guān)（若有摩擦，兩物體與接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)必須相同），與兩物體間有無連接物、何種連接物（輕繩、輕桿、輕彈簧）無關(guān)，而且物體系統(tǒng)處于平面、斜面、豎直方向此分配原則都成立。（1）若外力F作用于m1上，則m1和m2的相互作用力F12＝eq\f(m2F,m1＋m2)；（2）若外力F作用于m2上，則m1和m2的相互作用力F12＝eq\f(m1F,m1＋m2)；【典例1提高題】(多選)如圖所示，用力F拉A、B、C三個(gè)物體在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在中間的B物體上加一塊橡皮泥，它和中間的物體一起運(yùn)動(dòng)，且原拉力F不變，那么加上物體以后，兩段繩的拉力Ta和Tb的變化情況是()A．Ta增大B．Tb增大C．Ta減小D．Tb減小【典例1提高題】【答案】AD【解析】設(shè)最左邊的物體質(zhì)量為m，最右邊的物體質(zhì)量為m′，整體質(zhì)量為M，整體的加速度a＝eq\f(F,M)，對(duì)最左邊的物體分析，Tb＝ma＝eq\f(mF,M)，對(duì)最右邊的物體分析，有F－Ta＝m′a，解得Ta＝F－eq\f(m′F,M).在中間物體上加上一個(gè)小物體，則整體的加速度a減小，因?yàn)閙、m′不變，所以Tb減小，Ta增大，A、D正確．【典例1提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】（多選）如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩物體用輕繩連接，在M上施加恒力F，使兩物體一起沿恒力F方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)(輕繩與恒力F方向平行)，分析對(duì)比下列四種情況下兩物體間輕繩的張力大小T和兩物體的加速度大小a，正確的是()A．四種情況中(3)的加速度一定大于其他三種情況B．四種情況中(4)的加速度一定小于其他三種情況C．四種情況中(3)的輕繩張力一定小于其他三種情況D．四種情況輕繩的張力一定一樣大【典例1提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】AD【解析】(1)中加速度滿足：F－(M＋m)gsinθ－μ(M＋m)gcosθ＝(M＋m)a1，對(duì)m：T1－mgsinθ－μmgcosθ＝ma1.解得a1＝eq\f(F,M＋m)－gsinθ－μgcosθ，T1＝eq\f(Fm,M＋m).(2)中加速度滿足：F－(M＋m)gsinθ＝(M＋m)a2，對(duì)m：T2－mgsinθ＝ma2.解得a2＝eq\f(F,M＋m)－gsinθ，T2＝eq\f(Fm,M＋m).(3)中加速度滿足：F＝(M＋m)a3，對(duì)m：T3＝ma3.解得a3＝eq\f(F,M＋m)，T3＝eq\f(Fm,M＋m).(4)中加速度滿足：F－(M＋m)g＝(M＋m)a4，對(duì)m：T4－mg＝ma4.解得a4＝eq\f(F,M＋m)－g，T4＝eq\f(Fm,M＋m)由以上分析可知，選項(xiàng)A、D正確，B、C錯(cuò)誤，故選A、D.題型二：不同條件同加速度連接體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算問題【知識(shí)思維方法技巧】對(duì)于不同條件同速度連接體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算問題，我們先用整體法根據(jù)牛頓第二定律求加速度，再用隔離法確定對(duì)象，使用正交分解法求出物體間的作用力?！镜淅?提高題】如圖所示，質(zhì)量為M的小車放在光滑的水平面上。小車上用細(xì)線懸吊一質(zhì)量為m的小球，M>m?，F(xiàn)用一力F水平向右拉小球，使小球和車一起以加速度a向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線與豎直方向成α角，細(xì)線的拉力為T；若用另一力F′水平向左拉小車，使小球和車一起以加速度a′向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線與豎直方向也成α角，細(xì)線的拉力為T′。則()A．a(chǎn)′＝a，T′＝TB．a(chǎn)′>a，T′＝TC．a(chǎn)′<a，T′＝T D．a(chǎn)′>a，T′>T【典例2提高題】【答案】B【解析】先對(duì)左圖中情況下的整體受力分析，受重力、支持力和拉力根據(jù)牛頓第二定律，有F＝(M＋m)a，再對(duì)左圖中情況下的小球受力分析，如圖根據(jù)牛頓第二定律，有F－Tsinα＝ma，Tcosα－mg＝0，由以上三式可解得T＝eq\f(mg,cosα)，a＝eq\f(mgtanα,M)，再對(duì)右圖中小球受力分析，如圖由幾何關(guān)系得：F合＝mgtanα，T′＝eq\f(mg,cosα)，再由牛頓第二定律，得到a′＝gtanα由于M>m，故a′>a，T′＝T，故選B。【典例2提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖所示，小車分別以加速度a1、a2、a3、a4向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，bc是固定在小車上的水平橫桿，物塊M穿在桿上，M通過細(xì)線懸吊著小物體m，m在小車的水平底板上，加速度為a1、a2時(shí)，細(xì)線在豎直方向上，全過程中M始終未相對(duì)桿bc移動(dòng)，M、m與小車保持相對(duì)靜止，M受到的摩擦力大小分別為f1、f2、f3、f4，則以下結(jié)論正確的是()A．若eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，則eq\f(f1,f2)＝eq\f(2,1) B．若eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)，則eq\f(f2,f3)＝eq\f(1,2)C．若eq\f(a3,a4)＝eq\f(1,2)，則eq\f(f3,f4)＝eq\f(1,2) D．若eq\f(a3,a4)＝eq\f(1,2)，則eq\f(tanθ,tanα)＝eq\f(1,2)【典例2提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】CD【解析】對(duì)第一、二幅圖有若eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，對(duì)M根據(jù)牛頓第二定律有f＝Ma，則eq\f(f1,f2)＝eq\f(1,2)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)第二、三幅圖有f2＝Ma2，設(shè)細(xì)線的拉力為F，則f3－Fsinθ＝Ma3，若eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)，則eq\f(f2,f3)≠eq\f(1,2)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)第三、四幅圖有對(duì)M和m整體分析有f＝(M＋m)a，若eq\f(a3,a4)＝eq\f(1,2)，則eq\f(f3,f4)＝eq\f(1,2)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)m水平方向有F3sinθ＝ma3、F4sinα＝ma4，豎直方向有F3cosθ＝mg、F4cosα＝mg，解得a3＝gtanθ，a4＝gtanα，若eq\f(a3,a4)＝eq\f(1,2)，則eq\f(tanθ,tanα)＝eq\f(1,2)，故選項(xiàng)D正確。題型三：同速率輕繩連接體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算問題【知識(shí)思維方法技巧】分別對(duì)兩物體隔離分析，應(yīng)用牛頓第二定律正交分解法進(jìn)行求解?！镜淅?提高題】如圖所示，質(zhì)量均為0.2kg的兩個(gè)小物塊A、B用繞過光滑輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連，將A從圖示位置由靜止釋放，釋放前瞬間A的底部到水平地面的高度為0.8m，輕繩處于伸直狀態(tài)，A落地后不反彈，B繼續(xù)沿水平臺(tái)面向右運(yùn)動(dòng)．B與臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，取重力加速度大小g＝10m/s2,B不會(huì)與滑輪相碰，不計(jì)空氣阻力．下列說法正確的是()A．A落地前輕繩的拉力大小為2NB．B運(yùn)動(dòng)的最大速度為4m/sC．A落地后，B向右運(yùn)動(dòng)的路程為1.2mD．B運(yùn)動(dòng)的平均速度大小為1m/s【典例3提高題】【答案】D【解析】設(shè)A落地前輕繩的拉力大小為T，A、B的加速度大小均為a1，則對(duì)A、B分別應(yīng)用牛頓第二定律可得mg－T＝ma1，T－μmg＝ma1，聯(lián)立解得a1＝2.5m/s，T＝1.5N，故A錯(cuò)誤；A落地時(shí)B達(dá)到最大速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得最大速度為v＝eq\r(2a1h)＝2m/s，故B錯(cuò)誤；A落地后，B做勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為a2＝μg＝5m/s2，B向右運(yùn)動(dòng)的路程為s＝eq\f(v2,2a2)＝0.4m，故C錯(cuò)誤；根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知B在勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)過程的平均速度大小均為eq\x\to(v)＝eq\f(v,2)＝1m/s，所以整個(gè)過程中B運(yùn)動(dòng)的平均速度大小為1m/s，故D正確．【典例3提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】（多選）質(zhì)量分別為M和m的物塊形狀大小均相同，將它們通過輕繩跨過光滑定滑輪連接，如圖甲所示，繩子平行于傾角為α的斜面，M恰好能靜止在斜面上，不考慮M、m與斜面之間的摩擦。若互換兩物塊位置，按圖乙放置，然后釋放M，斜面仍保持靜止。則下列說法正確的是()A．輕繩的拉力等于MgB．輕繩的拉力等于mgC．M運(yùn)動(dòng)的加速度大小為(1－sinα)gD．M運(yùn)動(dòng)的加速度大小為eq\f(M－m,M)g【典例3提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】BCD【解析】互換位置前，M靜止在斜面上，則有Mgsinα＝mg，互換位置后，對(duì)M有Mg－FT＝Ma，對(duì)m有FT′－mgsinα＝ma，又FT＝FT′，解得a＝(1－sinα)g＝eq\f(M－m,M)g，F(xiàn)T＝mg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B、C、D正確。題型四：不同速率輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)計(jì)算問題類型一：一動(dòng)一靜模型【知識(shí)思維方法技巧】分別對(duì)輕繩連接體的兩物體隔離分析，應(yīng)用牛頓第二定律正交分解法進(jìn)行求解。類型二：含動(dòng)滑輪輕繩連接體模型【典例4b提高題】如圖所示，A、B兩滑塊的質(zhì)量分別為4kg和2kg，用一輕繩將兩滑塊相連后分別置于兩等高的光滑水平桌面上，并用手按著兩滑塊固定不動(dòng)．現(xiàn)將一光滑輕質(zhì)動(dòng)滑輪置于輕繩上，然后將一質(zhì)量為4kg的鉤碼C掛于動(dòng)滑輪上．現(xiàn)先后按以下兩種方式操作：第一種方式只釋放A而B按著不動(dòng)；第二種方式只釋放B而A按著不動(dòng)．重力加速度g＝10m/s2，則C在以上兩種釋放方式中獲得的加速度大小之比為()A．1∶1B．2∶1C．3∶2 D．3∶5【典例4b提高題】【答案】D【解析】當(dāng)只釋放A時(shí)，設(shè)繩子上的力為FT1，由動(dòng)滑輪特點(diǎn)xA＝2xC，故A的加速度大小aA＝2aC1對(duì)于A：FT1＝mAaA對(duì)于C：mCg－2FT1＝mCaC1解得aC1＝2m/s2同理，只釋放B時(shí)，有aB＝2aC2。對(duì)于B：FT2＝mBaB對(duì)于C：mCg－2FT2＝mCaC2解得aC2＝eq\f(10,3)m/s2所以eq\f(aC1,aC2)＝eq\f(3,5)，選項(xiàng)D正確．考點(diǎn)二：輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)圖象問題【知識(shí)思維方法技巧】連接體動(dòng)力學(xué)圖象問題的解題方法：（1）函數(shù)斜率面積法：先由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出兩個(gè)物理量間的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的斜率、截距的意義求出相應(yīng)的問題，特別是解決對(duì)于不太熟悉的如eq\f(x,t)－t、x－v2、a-t、F-t、F-a圖像等要注意這種轉(zhuǎn)化。①x－t圖象的斜率表示速度的大小及方向，縱軸截距表示t＝0時(shí)刻的初始位置，橫軸截距表示位移為零的時(shí)刻。②v－t圖線(或切線)的斜率表示物體的加速度，v－t圖線(或切線)的斜率表示物體的加速度。③a－t圖線與t軸所圍的“面積”代表速度改變量。④由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，由此知eq\f(x,t)－t圖象的斜率為eq\f(1,2)a，縱軸截距為v0。⑤由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，故v2－x圖象斜率為2a，縱軸截距為v02。⑥由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax得x＝eq\f(1,2a)v2－eq\f(1,2a)veq\o\al(2,0)，故x－v2圖象斜率為1/2a，縱軸截距為eq\f(1,2a)v02。⑦由x＝eq\f(1,2)at2，可知x－t2圖線的斜率表示eq\f(1,2)a。（2）函數(shù)數(shù)據(jù)代入法：先由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出兩個(gè)物理量間的函數(shù)表達(dá)式，再把圖像中的特殊數(shù)據(jù)代入函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。題型一：根據(jù)動(dòng)力學(xué)情境選擇輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)圖象問題題型二：根據(jù)動(dòng)力學(xué)圖象分析計(jì)算輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)問題【典例2提高題】如圖甲所示，某人正通過定滑輪將質(zhì)量為m的物體提升到高處．滑輪的質(zhì)量和摩擦均不計(jì)，物體獲得的加速度a與繩子對(duì)物體豎直向上的拉力T之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示．由圖可以判斷以下說法正確的是()①圖線與縱軸的交點(diǎn)M的值aM＝－g②圖線與橫軸的交點(diǎn)N的值TN＝mg③圖線的斜率等于物體的質(zhì)量m④圖線的斜率等于物體質(zhì)量的倒數(shù)eq\f(1,m)A．②④ B．②③C．①②③ D．①②④【典例2提高題】【答案】D【解析】對(duì)物體受力分析，受重力mg和拉力T，根據(jù)牛頓第二定律，有T－mg＝ma，得a＝eq\f(T,m)－g.當(dāng)T＝0時(shí)，a＝－g，即圖線與縱軸的交點(diǎn)M的值aM＝－g，①正確；當(dāng)a＝0時(shí)，T＝mg，故圖線與橫軸的交點(diǎn)N的值TN＝mg，②正確；圖線的斜率表示質(zhì)量的倒數(shù)eq\f(1,m)，③錯(cuò)誤，④正確．【典例2提高提對(duì)應(yīng)練習(xí)】（多選）如圖甲所示，水平地面上固定一足夠長的光滑斜面，斜面頂端有一理想定滑輪，一輕繩跨過滑輪，繩兩端分別連接小物塊A和B。保持A的質(zhì)量不變，改變B的質(zhì)量m，當(dāng)B的質(zhì)量連續(xù)改變時(shí)，得到A的加速度a隨B的質(zhì)量m變化的圖線，如圖乙所示，圖中a1、a2、m0為未知量，設(shè)加速度沿斜面向上的方向?yàn)檎较?，空氣阻力不?jì)，重力加速度g取9.8m/s2，斜面的傾角為θ，下列說法正確的是()A．若θ已知，可求出A的質(zhì)量B．若θ未知，可求出乙圖中a1的值C．若θ已知，可求出乙圖中a2的值D．若θ已知，可求出乙圖中m0的值【典例2提高提對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】BC【解析】根據(jù)牛頓第二定律得：對(duì)B得：mg－F＝ma①對(duì)A得：F－mAgsinθ＝mAa②聯(lián)立得a＝eq\f(mg－mAgsinθ,mA＋m)③若θ已知，由③知，不能求出A的質(zhì)量mA，故A錯(cuò)誤。由③式變形得a＝eq\f(g－\f(mA,m)gsinθ,\f(mA,m)＋1)。當(dāng)m→∞時(shí)，a＝a1＝g，故B正確。由③式得，m＝0時(shí)，a＝a2＝－gsinθ，故C正確。當(dāng)a＝0時(shí)，由③式得，m＝m0＝mAsinθ，可知m0不能求出，故D錯(cuò)誤。考點(diǎn)三：輕繩連接體模型的動(dòng)力學(xué)臨界極值問題【知識(shí)思維方法技