1.探索平方差公式，理解平方差公式的幾何意義.2.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

某校組織了《“徽”聚夢(mèng)想

引領(lǐng)班風(fēng)》的班徽創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽，小穎同學(xué)積極參賽，先設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形的班徽?qǐng)D形(如圖)，準(zhǔn)備進(jìn)一步優(yōu)化改造，加一些文字；需要將原正方形的一組對(duì)邊增加3cm，另一組對(duì)邊減少3cm，改造以后的圖形面積與原來(lái)的面積相比相同嗎？除了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法，

你還有更簡(jiǎn)單的方法驗(yàn)證嗎?(1)(x＋1)(x－1)=

；(2)(m＋2)(m－2)=

；(3)(2x＋1)(2x－1)=

.

x2－1m2－44x2－1探

究

計(jì)算下列各式：思考:觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)?①都是形如a+b的多項(xiàng)式與形如a+b的多項(xiàng)式相乘；②兩數(shù)和×兩數(shù)差=平方差.猜想:(a+b)(a－b)=a2－b2

(a+b)(a－b)

=

a2－ab+ab－b2

(多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式)

=

a2－b2

(合并同類項(xiàng))猜

想

(a+b)(a－b)=a2－b2，如何驗(yàn)證猜想是否正確?所以，對(duì)于具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，可以直接寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果，即(a+b)(a－b)=a2－b2歸納總結(jié)兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2這個(gè)公式叫作(乘法的)平方差公式：平方差公式是多項(xiàng)式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形.思

考

你能根據(jù)下圖圖形的面積說(shuō)明平方差公式嗎?ababb①②③④分析：觀察由圖形各邊長(zhǎng)可知，(1)S①+S②=S①+S③；

(2)區(qū)域④和區(qū)域(①+③+④)均為正方形.由圖可知：S①+S②=(a+b)(a－b)，S①+S③=a2－S④

=a2－b2，∵S①+S②=S①+S③，∴(a+b)(a－b)=a2－b2問(wèn)題解決

某校組織了《“徽”聚夢(mèng)想

引領(lǐng)班風(fēng)》的班徽創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽，小穎同學(xué)積極參賽，先設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形的班徽?qǐng)D形(如圖)，準(zhǔn)備進(jìn)一步優(yōu)化改造，加一些文字；需要將原正方形的一組對(duì)邊增加3cm，另一組對(duì)邊減少3cm，改造以后的圖形面積與原來(lái)的面積相比相同嗎？解：設(shè)原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為acm，面積為a2cm2，變化后圖形的長(zhǎng)為(a+3)cm，寬為(a﹣3)cm，則變化后的面積為(a2﹣9)cm2，因?yàn)閍2＞(a2﹣9)，所以改造以后的圖形面積與原來(lái)的面積相比減少了.=(3x)2－22.例1計(jì)算：(1)(3x+2)(3x－2)；

分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

(3x+2)(3x－2)(a+b)(a－b)=a2－

b2解：(1)(3x+2)(3x－2)

=(3x)2－22

=9x2－4；例1計(jì)算：(2)(－x+2y

)

(－x－2y

)

.(2)(－x+2y

)

(－x－2y

)

=(－x)2－(2y)2

=x2－4y2

.例2計(jì)算：(1)(x－1)(x+

1)(x2

+

1)；

解：(1)(x－1)(x+

1)(x2

+

1)=(x2－1)(x2

+

1)=x4－1；例2計(jì)算：(2)(y+

2)(y－2)－(y－1)(y+5)；

(2)(y+

2)(y－2)－(y－1)(y+5)=y2－22－(y2

+4y－5)=y2－4－y2－4y+5=－4y+1；不符合平方差公式運(yùn)算條件的乘法，按乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.例2計(jì)算：(3)102×98.(3)102×98=(100+2)(100－2)=1002－22

=1000－4=9996.歸納總結(jié)1.左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；2.右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；3.公式中的

a

和

b

可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：平方差公式的常見(jiàn)變形位置變化(b+a)(－b+a)=a2－b2符號(hào)變化(－a－b)(a－b)=b2－a2系數(shù)變化(2a+3b)(2a－3b)=4a2－9b2指數(shù)變化(a2+b2)(a2－b2)=a4－b4換式變化(a+b+c)(a－b－c)=[a+(b+c)][a－(b+c)]=a2－(b+c)2增項(xiàng)變化(a+b+c)(a+b－c)=(a+b)2－c2連用公式(a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a?－b?逆用公式a2－b2=(a+b)(a－b)1.下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.(2024逐寧)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.3a－2a=1B.a2·a3=a6C.(－a)4=－a4D.(a+3)(a－3)=a2－9D－63.

(2024涼山州)已知a2－b2=12，且a－b=－2，則a+b=

.4.

計(jì)算.(1)(a+3b)(a－3b)；=4x4－y2；=a2－9b2；(2)原式=(－2x2)2－y2解:(1)原式=a2－(3b)2(2)(－2x2－y)(－2x2+y)；(3)原式=(3x)2－42－(6x2+5x－6)=9x2－16－6x2－5x+6=3x2－5x－10；(3)(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2)；(4)20182－2016×2020.(4)原式=20182－(2018－2)×(2018+2)=20182－(20182－22)=22=4.5.從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形(如圖①)，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖②).(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______________________；(2)應(yīng)用(1)中的等式，完成下列各題：①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值；a2－b2＝(a＋b)(a－b)解：(2)①因?yàn)閤2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)，

x2－4y2＝12，x＋2y＝4，所以12＝4(x－2y)，即x－2y＝3；②計(jì)算：(12＋32＋52＋…＋992)－(22＋42＋62＋…＋1002).②原式＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)

＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)

＝－(1＋2)－(3＋4)－…－(99＋100)

＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)

＝－5050.6.觀察：(2+3)2－22=7×3；(4+3)2－42=11×3.嘉嘉發(fā)現(xiàn)規(guī)律：比任意一個(gè)偶數(shù)大3的數(shù)與此偶數(shù)的平方差能被3整除.驗(yàn)證：(1)(6+3)2－62的結(jié)果是3的

倍；(2)設(shè)偶數(shù)為2n，試說(shuō)明比2n大3的數(shù)與2n的平方差能被3整除.15解：由題意得偶數(shù)為2n，比偶數(shù)大3的數(shù)為(2n+3)，

所以(2n+3)2－(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3－2n)=3(4