1.

學(xué)會用尺規(guī)作圖作一個角的平分線，并理解其中的原理.2.

能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，并利用角的平分線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題.2025年4月19日，第42屆濰坊國際風(fēng)箏會開幕，天空中飛翔著各式各樣的風(fēng)箏，有中歐班列風(fēng)箏，有《西游記》里的孫悟空風(fēng)箏，甚至還有火車風(fēng)箏.小紅想自制一個如圖所示的四邊形板子風(fēng)箏來參加風(fēng)箏節(jié)，四邊形的長對角線平分四邊形的這兩個對角，你能幫她做出一個這樣的風(fēng)箏嗎？任務(wù)一

確定長對角線的位置如圖，抽象出幾何圖形，得到了如圖所示的∠AOB，OC是∠AOB的平分線.

接下來我們通過平面圖形來探索一下角平分線上的點(diǎn)的特點(diǎn)？總結(jié)出角平分線的畫法.

長對角線是∠AOB的平分線，可是如何準(zhǔn)確地確定角平分線的位置呢？角平分線上的點(diǎn)有什么特點(diǎn)呢？ABOC問題1

點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，M、N分別是OA、OB上的點(diǎn)，當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時，PM=PN？分析：在△OPM與△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.當(dāng)OM=ON時，PM=PN.ABOPMN問題2

如果OM=ON，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN，求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.ABOPMN證明：連接OP，在△OPM與△OPN中，OP=OP，OM=ON，PM=PN，△OPM≌△OPN(SSS)，所以∠POM=∠PON，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.思考1

根據(jù)上述探究，你能想到如何作一個角的平分線嗎？分析：根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個點(diǎn)的射線，就能得到角的平分線了.ABO作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；ABOCMN(2)分別以點(diǎn)M，N

為圓心，大于

的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；(3)作射線OC，射線OC即為∠AOB的平分線.以小于的長為半徑畫弧，則兩弧沒有交點(diǎn)，無法確定點(diǎn)C的位置.想一想為什么？任務(wù)二

確定點(diǎn)M、N的位置根據(jù)前面的方法，率先確定了風(fēng)箏長對角線的位置.在查閱資料后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM、PN分別與角的兩邊垂直時，制作出來的風(fēng)箏就會飛的越高且越穩(wěn)定.ABOCPMN

接下來我們繼續(xù)通過對平面圖形的探索，解決大家的疑惑.

我們需要提前準(zhǔn)備PM、PN對應(yīng)位置的兩根木條，應(yīng)該準(zhǔn)備多長的木條呢？這兩根木條之間的長度會有什么關(guān)系？ABOCPMN問題3

同學(xué)們可以猜想一下，當(dāng)PM、PN分別與角的兩邊垂直時，PM與PN有什么關(guān)系呢？分析：我們可以畫幾組垂直于角的兩邊的線段來觀察一下.ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P1，P2，P3，…在OC上，過點(diǎn)P1，P2，P3，…分別畫OA與OB的垂線，垂足分別為M1與N1、M2與N2、M3與N3…分別比較P1M1與P1N1、P2M2與P2N2、P3M3與P3N3……，你有什么發(fā)現(xiàn)？可以發(fā)現(xiàn)，P1M1=P1N1，P2M2=P2N2，P3M3=P3N3，…ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3由此我們猜想角的平分線有以下性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.如何證實這個猜想呢？ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件.ABOCDDPABOCEDP證明:∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，

∠AOC=∠BOC，

∠PDO=∠PEO，

OP=OP，∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE.歸納總結(jié)一般情況下，要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.易錯警示：如圖，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離為PD、PE，不是PF、PG.ABOCEDFGP1.(2024青海)如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點(diǎn)P到OA的距離是()A.4

B.3

C.2

D.1C2.如圖，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，△ABD的面積為15，則DE的長為(

)A.1

B.2

C.3

D.5CCBDAOPCBDEA3.(2024深圳)在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是()A.①②

B.①③

C.②③

D.只有①

BCBDEAF4.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD=DF，求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴