（人教版）七級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.2平行線及其判定知識點一知識點一平行線及其表示方法★1、平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：AB∥CD；記作：a∥b；讀作：直線AB平行于直線CD．讀作：直線a平行于直線b．【注意】1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)2、.線段或射線平行是指它們所在的直線平行．知識點二知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點三知識點三平行公理及其推論★1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.★2、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．2、平行公理中強(qiáng)調(diào)“直線外一點”，因為若點在直線上，不可能有平行線；“有且只有”強(qiáng)調(diào)這樣的直線是存在的，也是唯一的．知識點四知識點四平行線的判定方法★1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．★2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直．幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結(jié)論不一定成立.★3、判定兩直線平行的方法（1）平行線的定義；（2）平行公理的推論（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；（3利用同位角相等說明兩直線平行；（4）利用內(nèi)錯角相等說明兩直線平行；（5）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)說明兩直線平行；（6）同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.題型一平行線的定義與識別題型一平行線的定義與識別【例題1】（2023秋?埇橋區(qū)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進(jìn)行對比來進(jìn)行判斷.【變式1-1】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號）【變式1-2】下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行【變式1-3】（2022春?萊蕪區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條不相交的直線叫做平行線 B．一條直線的平行線有且只有一條 C．在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，a∥c，則b∥c D．若兩條線段不相交，則它們互相平行【變式1-4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在長方體ABCD-EFGH中，與棱EF異面且與平面EFGH平行的棱是．【變式1-5】（2022春?沙河市期末）觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-6】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫出其對應(yīng)的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【變式1-7】（2022春?趙縣月考）在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】A．1個或2個或3個 B．0個或1個或2個或3個 C．1個或2個 D．以上都不對解題技巧提煉用分類討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式2-1】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【變式2-2】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個交點．【變式2-3】平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有條平行線．【變式2-4】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點的個數(shù)為個．題型三作已知直線的平行線題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式3-1】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【變式3-2】如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【變式3-3】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【變式3-4】（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用【例題4】（2022?尋烏縣模擬）下面推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式4-1】（2022春?叢臺區(qū)校級期中）如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫（）A．兩條以上 B．2條 C．1條 D．0條【變式4-2】（2023春?薩爾圖區(qū)期中）下面說法正確的個數(shù)為（）

（1）在同一平面內(nèi)，過直線外一點有一條直線與已知直線平行；

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

（3）兩角之和為180°，這兩個角一定鄰補(bǔ)角；

（4）同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2023春?瀘縣校級期中）下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一點有一條直線與已知直線平行 B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【變式4-4】（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個平面內(nèi)【變式4-5】（2022春?和平區(qū)校級月考）下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-6】（2022春?大荔縣期末）如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由是．【變式4-7】（2022春?海陽市期末）若P，Q是直線AB外不重合的兩點，則下列說法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過點P的直線一定與直線AB相交 D．過點Q只能畫出一條直線與直線AB平行【變式4-8】如圖所示，將一張長方形紙對折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定題型五同位角相等，兩直線平行題型五同位角相等，兩直線平行【例題5】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當(dāng)∠2＝時，a∥b．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.【變式5-1】（2022春?洞頭區(qū)期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【變式5-2】（2023秋?淮陽區(qū)校級期末）如圖，木條a，b，c在同一平面內(nèi)，經(jīng)測量∠1＝115°，要使木條a∥b，則∠2的度數(shù)應(yīng)為（）A．65° B．75° C．115° D．165°【變式5-3】（2023秋?涇陽縣期末）如圖，直線AB、CD分別與EF相交于點G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，試說明：AB∥CD．【變式5-4】（2023秋?泰和縣期末）如圖，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求證：AB∥CD．【變式5-5】（2023春?樟樹市期中）將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．求證：CF∥AB．【變式5-6】（2023秋?靖邊縣期末）如圖，AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．試說明：AB∥CE．題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行【例題6】（2023秋?哈爾濱期末）如圖，能判定AB∥CD的條件是（）A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.【變式6-1】A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式6-2】（2023秋?蘭州期末）如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．【變式6-3】（2023秋?黃埔區(qū)期中）如圖，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，證明：AB∥CD．【變式6-4】（2023秋?高州市期末）已知：如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，∠EBC＝∠A，求證：BE∥CD．【變式6-5】（2023春?鄱陽縣期末）如圖，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2．試判斷BE與CF的關(guān)系，并說明你的理由．【變式6-6】（2023秋?福州期末）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點，連結(jié)OF．（1）求證：OC⊥OD；（2）若∠D與∠1互余，求證：ED∥AB．題型七同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行題型七同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【例題7】（2022春?灤南縣期末）如圖，由∠A+∠B=180°，可得：．理由是

．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.【變式7-1】（2022秋?陽山縣期末）如圖，∠2=∠3=65°，要使直線a∥b,則∠1=度．【變式7-2】如圖，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求證：BC∥GD．【變式7-3】（2022春?江陰市校級月考）如圖，∠1=75°，∠2=105°，AB與ED平行嗎？為什么？【變式7-4】（2023春?白銀期末）如圖，這是一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1＝62°，∠2＝62°，∠3＝118°，找出圖中的平行線，并說明理由．【變式7-5】（2022秋?新興縣校級期中）已知：如圖，E為AC上一點，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求證：AB∥CD．【變式7-6】（2022春?郾城區(qū)校級月考）如圖，∠B+∠E+∠C=360°，試判斷AB與CD是否平行？請說明理由．題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題【例題8】（2022春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應(yīng)的判定定理求解.【變式8-1】（2022春?太原期中）木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式8-2】如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補(bǔ)充一個什么條件？【變式8-3】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進(jìn)行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【變式8-4】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

【變式8-5】（2023春?沂水縣期中）【問題情境】學(xué)習(xí)了平行線后，小明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的①—④，虛線部分表示折痕）．【操作發(fā)現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)一：如圖④，由圖②中的折疊可知，PE⊥AB，由圖③中的折疊可知，PE⊥CD，則AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．發(fā)現(xiàn)二：如圖④，由圖②中的折疊可知，∠1＝90°，由圖③中的折疊可知∠2＝90°，則∠1＝∠2，所以AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．【解決問題】如圖⑤，AD⊥BC于點D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于點G．求證：∠E＝∠1．【變式8-6】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當(dāng)為多少度時，能使圖2中的AB′∥CD？請說明理由；（2）當(dāng)α分別為多少度時，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說明理由）題型九通過閱讀推理過程填空題型九通過閱讀推理過程填空【例題9】（20221秋?洛寧縣期末）如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫下面的解答過程，并填空或填寫理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．解題技巧提煉題中會給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，此時要認(rèn)真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.【變式9-1】（2022春?龍華區(qū)期中）在橫線上填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【變式9-2】（2023春?禪城區(qū)校級期中）如圖，已知E，B，C三點共線，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，試說明：BF∥AC．因為BE平分∠DBF（），所以＝（），又因為∠1＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（）．所以BF∥AC（）．【變式9-3】請你將下面的證明補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，點M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵M(jìn)P平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵M(jìn)P⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【變式9-4】（2022春?灌南縣校級期末）完成下面的證明：已知：如圖．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【變式9-5】（2023春?青浦區(qū)期中）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，GH是∠EGC的平分線，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，說明AB∥CD的理由．解：因為GH是∠EGC的角平分線（），所以∠EGH＝∠HGC＝56°（）．因為CD是條直線（已知），所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（）．所以∠IGD＝68°．因為∠EIB＝68°（已知），所以＝（）．所以AB∥CD（）．【變式9-6】（2022春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．題型十平行線判定方法的綜合運用題型十平行線判定方法的綜合運用【例題10】（2023秋?紫金縣期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6解題技巧提煉由兩角相等或互補(bǔ)關(guān)系，判定兩條直線平行，其關(guān)鍵是找出兩個角是哪兩條直線被第三條直線所截而成的角.2、選用兩角相等，還是選用互補(bǔ)關(guān)系說明兩條直線平行，應(yīng)根據(jù)所給的圖形，靈活運用其中一種方法說明即可.【變式10-1】（2023秋?太康縣期末（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°【變式10-2】（2023秋?西安期末）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是BC、BA、AC上的點，連接EF，ED，EC，則下列條件中，能判定DE∥AC的是（）A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4【變式10-3】（2022?武漢模擬）如圖，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，且∠2＝∠3，求證：BC∥AD．【變式10-4】（2022春?二七區(qū)校級月考）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．【變式10-5】（2023春?涪城區(qū)期末）已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°．證明：AB∥EF，DE∥BC．【變式10-6】（2022春?雙流區(qū)校級期中）如圖，已知點E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．（1）求證：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求證：AB∥CD．【變式10-7】（2023春?威海期末）如圖1，線段BA⊥AC于點A，BD平分∠ABC，M為射線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．（1）如圖1，當(dāng)M為線段AC上一點，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請說明理由；（2）如圖2，M為線段AC延長線上一點，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請說明理由．【變式10-8】（2022春?洛龍區(qū)期中）將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度數(shù)；（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若三角板ABC保持不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板DCE，在轉(zhuǎn)動過程中，試探究∠BCD等于多少度時，CD∥AB？請你直接寫出答案．（人教版）七級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.2平行線及其判定知識點一知識點一平行線及其表示方法★1、平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：AB∥CD；記作：a∥b；讀作：直線AB平行于直線CD．讀作：直線a平行于直線b．【注意】1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)2、.線段或射線平行是指它們所在的直線平行．知識點二知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點三知識點三平行公理及其推論★1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.★2、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．2、平行公理中強(qiáng)調(diào)“直線外一點”，因為若點在直線上，不可能有平行線；“有且只有”強(qiáng)調(diào)這樣的直線是存在的，也是唯一的．知識點四知識點四平行線的判定方法★1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．★2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直．幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結(jié)論不一定成立.★3、判定兩直線平行的方法（1）平行線的定義；（2）平行公理的推論（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；（3利用同位角相等說明兩直線平行；（4）利用內(nèi)錯角相等說明兩直線平行；（5）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)說明兩直線平行；（6）同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.題型一平行線的定義與識別題型一平行線的定義與識別【例題1】（2023秋?埇橋區(qū)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【分析】根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行，故C正確；故選：C．【點評】本題考查了平行線，兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線．解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進(jìn)行對比來進(jìn)行判斷.【變式1-1】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號）【分析】根據(jù)平行線、相交線的定義，逐項進(jìn)行判斷，即可正確得出結(jié)果．【解答】解：①中一條直線，一條射線，不可相交，也不會平行；②中一條直線，一條線段，不可相交，也不會平行；③中一條直線，一條線段，可相交；④中都是線段，不可延長，不可相交，也不平行，⑤中都是直線，延長后不相交，是平行．故答案為：③，⑤．【點評】本題考查平行線和相交線，解題的關(guān)鍵是掌握直線可以沿兩個方向延伸，射線可以沿一個方向延伸，線段不能延伸．【變式1-2】下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行【分析】根據(jù)平行線的判定及垂直、相交的定義判斷求解即可．【解答】解：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么這兩條直線相交，故A不符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故B不符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故C符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，它們不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定、垂直、相交等知識，熟練掌握有關(guān)定理、定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?萊蕪區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條不相交的直線叫做平行線 B．一條直線的平行線有且只有一條 C．在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，a∥c，則b∥c D．若兩條線段不相交，則它們互相平行【分析】根據(jù)平行線的定義、性質(zhì)、判定方法判斷，排除錯誤答案．【解答】解：A、平行線的定義：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線．故錯誤；B、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．一條直線的平行線有無數(shù)條，故錯誤；C、在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．故正確；D、根據(jù)平行線的定義知是錯誤的．故選：C．【點評】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在長方體ABCD-EFGH中，與棱EF異面且與平面EFGH平行的棱是．【分析】與棱EF異面且與平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：與棱EF異面且與平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．

故答案為：棱AD和棱BC．【點評】【變式1-5】（2022春?沙河市期末）觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)長方體即平行線的性質(zhì)解答．【解答】解：圖中與AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3條．故選：B．【點評】本題考查了平行線的定義、長方體的性質(zhì)．一個長方形的兩條對邊平行．【變式1-6】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫出其對應(yīng)的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【分析】（1）結(jié)合平行線的定義進(jìn)行解答即可；（2）結(jié)合相交的定義進(jìn)行解答即可；（3）結(jié)合重合的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2沒有公共點，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一個公共點，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有兩個公共點，所以l1和l2重合；故答案為：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【點評】本題側(cè)重考查兩直線的位置關(guān)系，掌握平行定義是解題關(guān)鍵．【變式1-7】（2022春?趙縣月考）在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條直線也相交．解答即可．【解答】解：因為a∥c，直線a，b相交，所以直線b與c也有交點；故答案為：相交．【點評】本題主要考查了平行線和相交線，同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條直線也相交．題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】A．1個或2個或3個 B．0個或1個或2個或3個 C．1個或2個 D．以上都不對【分析】根據(jù)平行線的定義，相交線的定義，可得答案．【解答】解：當(dāng)三條直線互相平行，交點是個0；當(dāng)兩條直線平行，與第三條直線相交，交點是2個；當(dāng)三條直線兩兩相交交于同一點，交點個數(shù)是1個；當(dāng)三條直線兩兩相交且不交于同一點，交點個數(shù)是3個；故選：B．【點評】本題考查了平行線，分類討論是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉用分類討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式2-1】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【分析】同一平面內(nèi)，直線的位置關(guān)系通常有兩種：平行或相交；垂直不屬于直線的位置關(guān)系，它是特殊的相交．【解答】解：平面內(nèi)的直線有平行或相交兩種位置關(guān)系．故選：C．【點評】本題主要考查了在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系．【變式2-2】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個交點．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)直線的位置關(guān)系得到第三條直線與另兩平行直線相交，再根據(jù)直線平行和直線相交的定義即可得到交點的個數(shù)．【解答】解：∵在同一平面內(nèi)有三條直線，如果其中有兩條且只有兩條相互平行，∴第三條直線與另兩平行直線相交，∴它們共有2個交點．故答案為2．【點評】本題考查了直線平行的定義：沒有公共點的兩條直線是平行直線．也考查了同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有：平行，相交．【變式2-3】平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有條平行線．【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交或平行，及一條直線的平行線有無數(shù)條，由四條直線相互平行，其交點為0個開始分析，然后依次變?yōu)槿龡l直線相互平行、兩條直線相互平行即可求解．【解答】解：若四條直線相互平行，則沒有交點；若四條直線中有三條直線相互平行，則此時恰好有三個交點；若四條直線中有兩條直線相互平行，另兩條不平行，則此時有三個交點或五個交點；若四條直線中有兩條直線相互平行，另兩條也平行，但它們之間相互不平行，則此時有四個交點；若四條直線中沒有平行線，則此時的交點是一個或四個或六個．綜上可知，平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有三條平行線．故答案是：三．【點評】本題考查了平行線，題目沒有明確平面上四條不重合直線的位置關(guān)系，需要運用分類討論思想，從四條直線都是平行線，然后數(shù)量上依次遞減，直至都不平行，這樣可以做到不重不漏，準(zhǔn)確找出答案．【變式2-4】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點的個數(shù)為個．【分析】從平行線的角度考慮，先考慮四條直線都平行，再考慮三條、兩條直至都不平行，作出草圖即可看出．【解答】解：（1）當(dāng)四條直線平行時，無交點；（2）當(dāng)三條平行，另一條與這三條不平行時，有三個交點；（3）當(dāng)兩兩直線平行時，有4個交點；（4）當(dāng)有兩條直線平行，而另兩條不平行時，有5個交點；（5）當(dāng)四條直線同交于一點時，只有一個交點；（6）當(dāng)四條直線兩兩相交，且不過同一點時，有6個交點；（7）當(dāng)有兩條直線平行，而另兩條不平行并且交點在平行線上時，有3個交點．故答案為：0，1，3，4，5，6．【點評】本題沒有明確平面上四條不重合直線的位置關(guān)系，需要運用分類討論思想，從四條直線都平行線，然后數(shù)量上依次遞減，直至都不平行，這樣可以做到不重不漏，準(zhǔn)確找出所有答案；本題對學(xué)生要求較高．題型三作已知直線的平行線題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？【分析】根據(jù)平行公理及推論進(jìn)行解答．【解答】解：（1）如圖，過直線a外的一點畫直線a的平行線，有且只有一條直線與直線a平行；（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行．理由如下：如圖，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【點評】本題考查了平行公理及推論．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行（平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思）；推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式3-1】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)AB所在直線，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根據(jù)圖形得出EF，MD⊥CD，標(biāo)出字母即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【點評】此題考查了基本作圖以及直角三角形的性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)得出平行線以及垂線是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，過點A可以畫一條直線和a平行．（3）結(jié)論：AC⊥AB．【解答】解：（1）直線AB、AC如圖所示；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直．過點A可以畫一條直線和a平行．理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行．（3）結(jié)論：AC⊥AB．【點評】本題考查復(fù)雜作圖、垂線、平行線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3-3】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【分析】（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線；（2）在直線AD上到A得等于BC的點D，則直線CD即為所求；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)的直線即為所求．【解答】解：如圖，（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；（2）在直線AE上，到A距離是5個格長的點就是D，則CD就是所求與AB平行的直線；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)作直線，就是所求．【點評】本題考查復(fù)雜作圖、垂線、平行線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，【變式3-4】（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？【分析】用兩個三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的關(guān)系為：相等或互補(bǔ)．【解答】解：（1）（2）如圖所示，（3）l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補(bǔ)．【點評】注意∠2與∠O是互補(bǔ)關(guān)系，容易漏掉．題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用題型四對平行公理及其推論的理解和應(yīng)用【例題4】（2022?尋烏縣模擬）下面推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根據(jù)平行公理的推論“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行“進(jìn)行分析，得出正確答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，應(yīng)該推出的是a∥c，而非c∥d，故錯誤；B、沒有兩條直線都和第三條直線平行，推不出平行，故錯誤；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正確；D、a、c與不同的直線平行，無法推出兩者也平行．故選：C．【點評】本題考查的重點是平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式4-1】（2022春?叢臺區(qū)校級期中）如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫（）A．兩條以上 B．2條 C．1條 D．0條【分析】經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【解答】解：因為經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．所以如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫1條．故選：C．【點評】本題考查了平行公理及推論．平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．【變式4-2】（2023春?薩爾圖區(qū)期中）下面說法正確的個數(shù)為（）

（1）在同一平面內(nèi)，過直線外一點有一條直線與已知直線平行；

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

（3）兩角之和為180°，這兩個角一定鄰補(bǔ)角；

（4）同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，過直線外一點有一條直線和已知直線平行即可判斷（1）；在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直即可判斷（2）；舉出反例即可判斷（3）；根據(jù)在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系是平行或相交，即可判斷（4）．【解答】解：在同一平面內(nèi)，過直線外一點有一條直線和已知直線平行，故（1）正確；

只有在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，故（2）錯誤；

如圖：

∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是兩角不是鄰補(bǔ)角，故（3）錯誤；

同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交正確，

因為不特別指出時，一般認(rèn)為，兩條直線重合就是同一條直線，所以所提出的命題是正確的，故（4）正確．

即正確的個數(shù)是2個．

故選：B．【點評】本題考查了平行公理和推論，鄰補(bǔ)角，垂線，平行線等知識點，此題比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．【變式4-3】（2023春?瀘縣校級期中）下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一點有一條直線與已知直線平行 B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】平行線公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．【解答】解：根據(jù)平行線公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷只有D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了平行公理，要熟練掌握．【變式4-4】（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個平面內(nèi)【分析】根據(jù)平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可得答案．【解答】解：當(dāng)a∥c時，a∥b，c∥d，得b∥d；當(dāng)a、c重合時，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正確；故選：C．【點評】本題考查了平行公理及推論，利用了平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．【變式4-5】（2022春?和平區(qū)校級月考）下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系是相交、平行；過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進(jìn)行分析即可．【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；②過一點有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯誤，應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b，說法錯誤；④若直線a∥b，b∥c，則c∥a，說法正確；故選：D．【點評】此題主要考查了平行線，關(guān)鍵是掌握平行公理：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【變式4-6】（2022春?大荔縣期末）如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由是．【分析】利用平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，進(jìn)而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．故答案為：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【點評】此題主要考查了平行公理，正確掌握平行公理是解題關(guān)鍵．【變式4-7】（2022春?海陽市期末）若P，Q是直線AB外不重合的兩點，則下列說法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過點P的直線一定與直線AB相交 D．過點Q只能畫出一條直線與直線AB平行【分析】根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行以及兩直線的位置關(guān)系即可回答．【解答】解：PQ與直線AB可能平行，也可能垂直，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故A、B、D均正確，故C錯誤；故選：C．【點評】本題考查了平行線、相交線、垂線的性質(zhì)，掌握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-8】如圖所示，將一張長方形紙對折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定【分析】根據(jù)平行公理和垂直的定義解答．【解答】解：∵長方形對邊平行，∴根據(jù)平行公理，前兩次折痕互相平行，∵第三次折疊，是把平角折成兩個相等的角，∴是90°，與前兩次折痕垂直．∴折痕與折痕之間平行或垂直．故選：C．【點評】本題利用平行公理和垂直定義求解，需要熟練掌握．題型五同位角相等，兩直線平行題型五同位角相等，兩直線平行【例題5】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當(dāng)∠2＝時，a∥b．【分析】由直角三角板的性質(zhì)可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，當(dāng)∠2＝40°時，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：當(dāng)∠2＝40°時，a∥b；理由如下：如圖所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，當(dāng)∠2＝40°時，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案為：40°．【點評】本題考查了平行線的判定方法、平角的定義；熟記同位角相等，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.【變式5-1】（2022春?洞頭區(qū)期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，

∴AB∥EF，

故A不符合題意；

∵∠1=∠4，

∴AB∥EF，

故B不符合題意；

∵∠1=∠B，

∴DF∥BC，

故C符合題意；

∵∠B+∠2=180°，

∴AB∥EF，

故D不符合題意；

故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023秋?淮陽區(qū)校級期末）如圖，木條a，b，c在同一平面內(nèi)，經(jīng)測量∠1＝115°，要使木條a∥b，則∠2的度數(shù)應(yīng)為（）A．65° B．75° C．115° D．165°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和平行線的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度數(shù)應(yīng)為65°．證明：如圖，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故選：A．【點評】本題考查鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，平行線的判定．熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋?涇陽縣期末）如圖，直線AB、CD分別與EF相交于點G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，試說明：AB∥CD．【分析】根據(jù)對頂角相等得出∠1＝∠AGH，進(jìn)而根據(jù)∠2＝∠AGH，即可得證．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【點評】本題考查了對頂角相等，同位角相等兩直線平行，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2023秋?泰和縣期末）如圖，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求證：AB∥CD．【分析】根據(jù)平行線的判定，依據(jù)角平分線的定義即可解決問題．【解答】證明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分線定義），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代換），∴AB∥CD（同位角相等兩直線平行）．【點評】本題主要考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式5-5】（2023春?樟樹市期中）將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．求證：CF∥AB．【分析】根據(jù)CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根據(jù)三角形ABC為等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，兩直線平行”即可證出結(jié)論．【解答】證明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，找出相等（或互補(bǔ)）的角的關(guān)鍵．【變式5-6】（2023秋?靖邊縣期末）如圖，AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．試說明：AB∥CE．【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合對頂角得到∠ECD＝∠ACB，則可證明∠B＝∠ECD，根據(jù)平行線的判定即可證明AB∥CE．【解答】證明：因為CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分線的定義）．因為∠ACB＝∠FCD（對頂角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代換）．因為∠B＝∠ACB，所以∠B＝∠ECD（等量代換）．所以AB∥CE（同位角相等，兩直線平行）．【點評】本題考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行【例題6】（2023秋?哈爾濱期末）如圖，能判定AB∥CD的條件是（）A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故A不符合題意；由∠A＝∠C，不能判定AB∥CD，故B不符合題意；∵∠CBD＝∠ADB，∴AD∥BC，故C不符合題意；∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故D符合題意；故選：D．【點評】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.【變式6-1】A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)題意可得：∠ADB=∠CBD=90°，然后利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥BC，即可解答．【解答】解：由題意得：∠ADB=∠CBD=90°，

∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

故選：B．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋?蘭州期末）如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．【分析】先利用角平分線定義得到∠3=12∠ADC，∠2=12∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，則∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，則∠1＝∠3，于是可根據(jù)平行線的判定得到【解答】證明：∵BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∴∠3=12∠ADC，∠2=1∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DC∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式6-3】（2023秋?黃埔區(qū)期中）如圖，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，證明：AB∥CD．【分析】在△ABC中，∠B＝42°即已知∠A+∠1＝180°﹣42°＝138°，又∠A+10°＝∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A＝64°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以證出結(jié)論．【解答】證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°，∴∠A+∠1＝138°，又∵∠A+10°＝∠1，∴∠A+∠A+10°＝138°，解得：∠A＝64°．∴∠A＝∠ACD＝64°，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解決問題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理和∠A與∠1的關(guān)系求出∠A的度數(shù)，再利用平行線的判定方法得證．【變式6-4】（2023秋?高州市期末）已知：如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，∠EBC＝∠A，求證：BE∥CD．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代換可得∠EBC＝∠BCD，再根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB，∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，∴∠BCD＝∠A，∵∠EBC＝∠A，∴∠EBC＝∠BCD，∴BE‖CD．【點評】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2023春?鄱陽縣期末）如圖，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2．試判斷BE與CF的關(guān)系，并說明你的理由．【分析】根據(jù)垂直的定義以及∠1＝∠2，可以得到∠EBC＝∠FCB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可證得BE∥CF．【解答】解：BE∥CF．理由如下：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直的定義）即∠1+∠EBC＝∠2+∠BCF（等量關(guān)系）；又∵∠1＝∠2（已知），∴∠EBC＝∠BCF（等量關(guān)系），∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．【變式6-6】（2023秋?福州期末）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點，連結(jié)OF．（1）求證：OC⊥OD；（2）若∠D與∠1互余，求證：ED∥AB．【分析】（1）根據(jù)OC平分∠AOF，OD平分∠BOF可知∠COF=12∠AOF，∠DOF=1（2）由（1）知∠COD＝90°，故可得出∠1+∠DOB＝90°，再由∠D+∠1＝90°可知∠D＝∠DOB，故可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，∴∠COF=12∠AOF，∠DOF=1∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴∠COF+∠DOF=12（∠AOF+∠∴OC⊥OD；（2）由（1）知，OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB．【點評】關(guān)鍵．題型七同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行題型七同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【例題7】（2022春?灤南縣期末）如圖，由∠A+∠B=180°，可得：．理由是

．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：由∠A+∠B=180°，可得：AD∥BC，理由是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點評】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.【變式7-1】（2022秋?陽山縣期末）如圖，∠2=∠3=65°，要使直線a∥b,則∠1=度．【分析】根據(jù)平行線的判定解決問題即可．【解答】解：要使直線a∥b,必須∠1+∠2+∠3=180°，

∴∠1=180°﹣65﹣65°=50°，

故答案為50．【點評】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式7-2】如圖，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求證：BC∥GD．【分析】由已知等式等量代換得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行即可得證．【解答】證明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知），∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代換），∴BC∥GD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022春?江陰市校級月考）如圖，∠1=75°，∠2=105°，AB與ED平行嗎？為什么？【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠1+∠COA=180°，然后再計算出∠COA的度數(shù)，進(jìn)而可得根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB與ED平行．【解答】解：AB與ED平行，

∵∠1+∠COA=180°，∠1=75°，

∴∠COA=180°﹣75°=105°，

∵∠2=105°，

∴∠AOC=∠2，

∴AB∥ED．【點評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．【變式7-4】（2023春?白銀期末）如圖，這是一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1＝62°，∠2＝62°，∠3＝118°，找出圖中的平行線，并說明理由．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得出AB∥CD；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得出AC∥BD．【解答】解：AB∥CD，AC∥BD．理由：∵∠1＝62°，∠2＝62°，∴∠1＝∠2，∴AB∥CD；∵∠1＝62°，∠3＝118°，∴∠1+∠3＝180°，∴AC∥BD．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式7-5】（2022秋?新興縣校級期中）已知：如圖，E為AC上一點，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求證：AB∥CD．【分析】由BE⊥DE，得到∠1+∠2＝90°，于是得到∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，于是得到結(jié)論．【解答】證明：∵BE⊥DE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，∵∠A+∠1+∠B＝∠C+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定，垂線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-6】（2022春?郾城區(qū)校級月考）如圖，∠B+∠E+∠C=360°，試判斷AB與CD是否平行？請說明理由．【分析】過點E作AB∥EF，再根據(jù)平行公理的推論得出即可．【解答】解：AB與CD平行，理由如下：

過點E作AB∥EF，

∵AB∥EF，

∴∠B+∠BEF=180°，

∵∠B+∠E+∠C=360°，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴EF∥CD，

∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定和平行公理的推論的應(yīng)用，能求出AB和EF平行是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題【例題8】（2022春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b．【解答】解：平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠6，∴a∥b．【點評】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應(yīng)的判定定理求解.【變式8-1】（2022春?太原期中）木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論．【解答】解：木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是同位角相等，兩直線平行，

故選：A．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補(bǔ)充一個什么條件？【分析】根據(jù)平行線的判定方法由∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°不能斷定AB∥CD，當(dāng)補(bǔ)充BA＝BC時，則∠BAC＝∠3＝60°＝∠2，于是可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到AB∥CD．【解答】解：不能判斷AB∥CD，可以補(bǔ)充BA＝BC．∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠3＝60°，而∠2＝60°，∴∠BAC＝∠2，∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式8-3】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進(jìn)行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【分析】根據(jù)光線反射得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°，再利用平角的定義得到∠ABC=120°，∠BCD=60°，則∠ABC+∠BCD=180°，于是根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判斷直線AB與CD平行．【解答】解：AB∥CD．理由如下：

根據(jù)光的反射定律和等角的余角相等得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°

∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式8-4】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

【分析】首先分別求出∠5，∠6的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，進(jìn)行判定．【解答】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，

∴∠5=180°-45°×2=90°，

∠6=180°-45°×2=90°，

∴∠5=∠6，

故進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的．【點評】本題考查了平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式8-5】（2023春?沂水縣期中）【問題情境】學(xué)習(xí)了平行線后，小明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的①—④，虛線部分表示折痕）．【操作發(fā)現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)一：如圖④，由圖②中的折疊可知，PE⊥AB，由圖③中的折疊可知，PE⊥CD，則AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．發(fā)現(xiàn)二：如圖④，由圖②中的折疊可知，∠1＝90°，由圖③中的折疊可知∠2＝90°，則∠1＝∠2，所以AB∥CD．用數(shù)學(xué)符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．【解決問題】如圖⑤，AD⊥BC于點D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于點G．求證：∠E＝∠1．【分析】發(fā)現(xiàn)一：利用同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行進(jìn)行分析即可；發(fā)現(xiàn)二：利用同位角相等，兩直線平行進(jìn)行分析即可；【解決問題】：由題意可得AD∥EG，則有∠1＝∠2，∠E＝∠3，再由角平分線的定義可得∠2＝∠3，則可求得∠1＝∠E．【解答】發(fā)現(xiàn)一：解：∵PE⊥AB，PE⊥CD，∴AB∥CD（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；發(fā)現(xiàn)二：解：∵∠1＝90°，∠2＝90°，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）；【解決問題】：證明：∵AD⊥BC于點D，EG⊥BC于點G，∴AD∥EG，∴∠1＝∠2，∠E＝∠3，又∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠3．∴∠E＝∠1．【點評】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用．【變式8-6】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當(dāng)為多少度時，能使圖2中的AB′∥CD？請說明理由；（2）當(dāng)α分別為多少度時，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說明理由）【分析】（1）由于∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′AC′＝45°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當(dāng)∠B′AC＝∠ACD＝30°時，AB′∥CD，則α＝15°；同理可得α為195度時，能使圖2中的AB′∥CD；（2）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當(dāng)α＝∠B′C′A＝45°或225°，B′C′∥AD；當(dāng)∠C′AD＝∠ADC＝60°或α為330°時，AC′∥DC，此時α＝150°．【解答】解：（1）α為15