2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)值線性代數(shù)的理論及方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.對于線性方程組Ax=b，若矩陣A的條件數(shù)κ(A)很大，則（）。A.迭代法求解該方程組必然收斂B.迭代法求解該方程組必然發(fā)散C.直接法求解該方程組數(shù)值穩(wěn)定性好D.直接法求解該方程組數(shù)值穩(wěn)定性差2.設(shè)矩陣A為非奇異矩陣，使用高斯消元法解Ax=b時，若在消元過程中沒有進(jìn)行行交換，則得到的上三角矩陣為U，則U等于（）。A.PA^TB.P^TAPC.LUD.PA3.對于矩陣范數(shù)||·||和向量范數(shù)||·||，向量不等式||Ax||≤||A||||x||成立，則矩陣范數(shù)||A||滿足（）。A.||Ax||=||A||||x||B.||Ax||≥||A||||x||C.||Ax||≤||A||||x||D.||Ax||≥||x||4.若矩陣A滿足0<λ1≤λ2≤...≤λn是A的特征值，則A的譜范數(shù)σ(A)=max{λi}等于（）。A.λ1B.λnC.(λ1+λn)/2D.(∑λi)/n5.使用雅可比迭代法解方程組Ax=b，若系數(shù)矩陣A的對角占優(yōu)（即對于所有i，有|aii|>∑|aik|,k≠i），則該迭代法（）。A.一定收斂B.一定發(fā)散C.可能收斂也可能發(fā)散D.收斂速度取決于初始值的選取二、計算題（本大題共4小題，共45分。請寫出詳細(xì)的計算過程。）6.（10分）考慮線性方程組：4x1+x2=3x1+5x2=2使用高斯消元法（不進(jìn)行行交換）將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣U，并寫出LU分解的L和U矩陣。7.（12分）給定矩陣A和向量b：A=[[3,1],[12,4]],b=[[1],[2]]（1）計算矩陣A的1-范數(shù)、2-范數(shù)（譜范數(shù)）和infinity-范數(shù)。（2）計算向量b的2-范數(shù)和infinity-范數(shù)。8.（15分）使用雅可比迭代法求解線性方程組：10x1-x2=9-x1+10x2=7要求迭代3次，初始值為x1^(0)=0,x2^(0)=0。請寫出每次迭代的結(jié)果，并判斷該迭代法是否收斂。9.（8分）給定矩陣A和初始向量x^(0)：A=[[2,-1],[1,3]],x^(0)=[[1],[0]]使用冪法（取ε=0.001）近似計算矩陣A按模最大的特征值λ1，并給出前兩次迭代的結(jié)果。三、證明題（本大題共2小題，共40分。請給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。）10.（20分）證明：若矩陣A為對稱正定矩陣，則A的喬萊斯基分解存在，且滿足A=LL^T，其中L為下三角矩陣，其對角線元素為正。11.（20分）設(shè)矩陣A為非奇異矩陣，迭代法求解Ax=b的迭代公式為x^(k+1)=Gx^(k)+c，其中G為非對角占優(yōu)矩陣。證明該迭代法收斂到唯一解的充分必要條件是譜半徑ρ(G)<1。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.C4.B5.A二、計算題6.解：增廣矩陣為[[4,1,|,3],[1,5,|,2]]。R2=R2-(1/4)R1=>[[4,1,|,3],[0,19/4,|,5/4]]。令U=[[4,1],[0,19/4]],L=[[1,0],[1/4,1]](單位下三角矩陣)。驗證A=LU:[[4,1],[1,5]]=[[1,0],[1/4,1]]*[[4,1],[0,19/4]]=[[4,1],[1,19/4]]。略有誤差，修正L的第二行第一個元素應(yīng)為1/4。正確的L和U為：L=[[1,0],[1/4,1]],U=[[4,1],[0,19/4]]。LU分解為A=[[1,0],[1/4,1]]*[[4,1],[0,19/4]]。7.解：（1）1-范數(shù)||A||?=max(∑|a??|overrows)=max(|3|+|1|,|12|+|4|)=max(4,16)=16。2-范數(shù)||A||?=σ(A)=λ?=max{||[3,1]||?,||[12,4]||?}=max(sqrt(32+12),sqrt(122+42))=max(sqrt(10),sqrt(160))=sqrt(160)=4√10。infinity-范數(shù)||A||∞=max(∑|a??|overcolumns)=max(|3|+|12|,|1|+|4|)=max(15,5)=15。（2）向量b=[[1],[2]]。b的2-范數(shù)||b||?=sqrt(12+22)=sqrt(5)。b的infinity-范數(shù)||b||∞=max(|1|,|2|)=2。8.解：方程組可寫為：x?=(9+x?)/10，x?=(7+x?)/10。迭代公式：x?^(k+1)=(9+x?^(k))/10，x?^(k+1)=(7+x?^(k))/10。k=0:x?^(0)=0,x?^(0)=0。x?^(1)=(9+0)/10=0.9。x?^(1)=(7+0)/10=0.7。k=1:x?^(1)=0.9,x?^(1)=0.7。x?^(2)=(9+0.7)/10=0.96。x?^(2)=(7+0.9)/10=0.76。k=2:x?^(2)=0.96,x?^(2)=0.76。x?^(3)=(9+0.76)/10=0.976。x?^(3)=(7+0.96)/10=0.796。迭代結(jié)果為：(x?^(3),x?^(3))=(0.976,0.796)。判斷收斂：系數(shù)矩陣A'=[[0,1/10],[1/10,0]]的譜半徑ρ(A')=max{|λ|}=1/10<1，故雅可比迭代法收斂。9.解：A=[[2,-1],[1,3]]。迭代公式：x^(k+1)=Ax^(k)。k=0:x^(0)=[[1],[0]]。x?^(1)=2*1+(-1)*0=2。x?^(1)=1*1+3*0=1。x^(1)=[[2],[1]]。k=1:x^(1)=[[2],[1]]。x?^(2)=2*2+(-1)*1=3。x?^(2)=1*2+3*1=5。x^(2)=[[3],[5]]。近似特征值為x?^(2)/x?^(2)=3/5=0.6。λ?≈0.6。由于A的第一行和第二行元素之和（3和4）大于第一列和第二列元素之和（3和1），矩陣可能具有較大的主特征值。此處迭代結(jié)果0.6可能對應(yīng)次小特征值或受初始值影響。嚴(yán)格按冪法，需多次迭代并觀察收斂趨勢。三、證明題10.證明：設(shè)A為對稱正定矩陣，則A=A^T，且對于任意非零向量x，有x^TAx>0。對稱正定矩陣可進(jìn)行喬萊斯基分解：A=LL^T，其中L為下三角矩陣，對角線元素d?>0。令x=Lz，其中z為相應(yīng)維度的向量。則x^TAx=(Lz)^TA(Lz)=z^TL^TLz=z^TL^TALz=z^TL^TLz=z^TL^TLz=z^T(L^TL)z=z^T(A)z。由于A正定，x^TAx>0對所有非零x成立，即z^T(A)z>0對所有非零z成立。由于L是可逆的（對角線元素為正），存在x使得x≠0當(dāng)且僅當(dāng)z≠0。因此，z^T(L^TL)z>0對所有非零z成立，這意味著矩陣L^TL也是對稱正定的。根據(jù)施瓦茨不等式，對于任意向量y，有||y||?≤||L^T||?||y||?。因為L是下三角矩陣，其2-范數(shù)（譜范數(shù)）等于其最大對角元素乘以L的逆的最大對角元素，且由于L可逆，此值非零。更直接地，由于L^TL是正定矩陣，其最小特征值大于0，所以||L^T||?=||L||?>0。因此，存在非零向量z使得z^T(L^TL)z=||z||?2>0。對于任意非零向量x，令z=L^Tx，則x=Lz，且z≠0當(dāng)x≠0。x^TAx=z^T(L^TL)z=||z||?2>0。這證明了A=LL^T形式的喬萊斯基分解存在且唯一（由正定性保證分解中L的對角線元素為正）。11.證明：迭代法收斂到唯一解x?的充分必要條件是序列{x^(k)}收斂到x?。x^(k+1)=Gx^(k)+c。令x?=Gx?+c，則x?是解。x^(k+1)-x?=G(x^(k)-x?)。令e^(k)=x^(k)-x?，則e^(k+1)=Ge^(k)。若ρ(G)<1，則矩陣G的譜半徑小于1。根據(jù)矩陣范數(shù)與譜半徑的關(guān)系，存在一個向量范數(shù)||·||，使得||G||<1。對于任意向量e^(k)，有||e^(k+1)||=||Ge^(k)||≤||G||||e^(k)||。遞歸應(yīng)用得||e^(k)||≤||G||^k||e^(0)||。由于||G||<1，當(dāng)k→∞時，||G||^k→0，從而||e^(k)||→0。即，誤差向量{e^(k)}收斂于零，這意味著x^(k)收斂于x?。必要性得證。充分性：若x^(k)收斂于x?，則誤差向量e^(k)=x^(k)-x?收斂于零。e^(k+1)=Ge^(k)。兩邊取范數(shù)，||e^(k+1)||≤||G||||e^(k)||。由于